2025年高考数学一轮复习-11.5-离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-11.5-离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练【含解析】，共12页。

【基础落实练】
1.(5分)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值的个数为( )
A.25B.10C.7D.6
2.(5分)设随机变量ξ的概率分布列如表,则P(|ξ-3|=1)=( )
A.712B.12C.512D.16
3.(5分)设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)和D(X)分别为( )
A.4,8B.2,8C.2,16D.2+b,16
4.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数,则P(X<2)=( )
A.715B.815C.1415D.1
5.(5分)(2023·长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目,能否猜对每件商品的名称相互独立,该听众猜对三件商品D,E,F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示:
规则如下:只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品,你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大( )
A.FDEB.FEDC.DEFD.EDF
6.(5分)(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2道题才算合格.则下列选项正确的是( )
A.答对0道题和答对3道题的概率相同,都为18
B.答对1道题的概率为38
C.答对2道题的概率为512
D.合格的概率为12
7.(5分)设X是一个离散型随机变量,其分布列为
则q=________.
【加练备选】
若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为________.
8.(5分)某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目,假设小张甲科目合格的概率为34,乙、丙科目合格的概率均为23,且3个科目是否合格相互独立.设小张3个科目中合格的科目数为X,则P(X=2)=________,E(X)=________.
9.(10分)(2024·泉州模拟)某同学尝试运用所学的概率知识研究如下游戏规则设置:游戏在两人中进行,参与者每次从装有3张空白券和2张奖券的盒子中轮流不放回地摸出一张,规定摸到最后一张奖券或能判断出哪一方获得最后一张奖券时游戏结束,能够获得最后一张奖券的参与者获胜.
(1)从胜负概率的角度,判断游戏规则设置是否公平;
(2)设游戏结束时参与双方摸券的次数为X,求随机变量X的分布列.
【能力提升练】
10.(5分)(多选题)口袋中有大小、形状都相同的4个红球,n 个白球,每次从中摸一个球,摸后再放回口袋中,摸到红球记2分,摸到白球记1分,共摸球3次.设所得分数为随机变量ξ ,若Pξ=3=27343 ,则随机变量ξ 的取值可能为( )
A.2B.3C.4D.5
11.(5分)已知集合A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,若a与b的和记为随机变量X,P(X=i)=pi>0(i∈N*),X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则( )
A.p4=2p2B.P(3≤X≤5)=79
C.E(X)=3D.D(X)=23
12.(5分)(多选题)已知随机变量ξ的分布列如表:
则当a在(0,12)内增大时( )
A.E(ξ)增大 B.E(ξ)减小
C.D(ξ)先增大再减小 D.D(ξ)先减小再增大
13.(5分)(2021·浙江高考)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=__________,E(ξ)=________.
14.(10分)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动,根据答题得分情况评选出一二三等奖若干,为了解不同性别学生的获奖情况,从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生,获奖情况统计结果如下:
假设所有学生的获奖情况相互独立.
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,求抽到的2名学生都获一等奖的概率;
(2)用频率估计概率,从该地区高一男生中随机抽取1名,从该地区高一女生中随机抽取1名,以X表示这2名学生中获奖的人数,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)用频率估计概率,从该地区高一学生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p0;从该地区高一男生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p1;从该地区高一女生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p2,试比较p0与p1+p22的大小.(结论不要求证明)
11.5-离散型随机变量及其分布列、均值与方差-专项训练【解析版】
(时间:45分钟 分值:80分)
【基础落实练】
1.(5分)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,任意抽取2个球,设2个球号码之和为X,则X的所有可能取值的个数为( )
A.25B.10C.7D.6
【解析】选C.X的可能取值为1+2=3,1+3=4,
1+4=2+3=5,1+5=4+2=6,2+5=3+4=7,3+5=8,4+5=9.
2.(5分)设随机变量ξ的概率分布列如表,则P(|ξ-3|=1)=( )
A.712B.12C.512D.16
【解析】选A.因为112+a+13+13=1,所以a=14,由|ξ-3|=1,解得ξ=2或ξ=4,所以P(|ξ-3|=1)=P(ξ=2)+P(ξ=4)=14+13=712.
3.(5分)设随机变量X,Y满足Y=2X+b(b为非零常数),若E(Y)=4+b,D(Y)=32,则E(X)和D(X)分别为( )
A.4,8B.2,8C.2,16D.2+b,16
【解析】选B.由题意可知E(Y)=2E(X)+b=4+b,D(Y)=4D(X)=32,
所以E(X)=2,D(X)=8.
4.(5分)有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若X表示取得次品的个数,则P(X<2)=( )
A.715B.815C.1415D.1
【解析】选C.由题意知X可取0,1,2,X服从超几何分布,则P(X=0)=C72C102=715, P(X=1)=C71C31C102=715,于是P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=715+715=1415.
5.(5分)(2023·长沙模拟)某听众打电话参加广播台猜商品名称节目,能否猜对每件商品的名称相互独立,该听众猜对三件商品D,E,F的名称的概率及猜对时获得的奖金如表所示:
规则如下:只有猜对当前商品名称才有资格猜下一件商品,你认为哪个答题顺序获得的奖金的均值最大( )
A.FDEB.FEDC.DEFD.EDF
【解析】选C.按照FDE的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.2+400×0.3 ×0.8×0.5+600×0.3×0.8×0.5=138(元);
按照FED的顺序获得的奖金的均值为300×0.3×0.5+500×0.3× 0.5×0.2+
600×0.3×0.5×0.8=132(元);
按照DEF的顺序获得的奖金的均值为100×0.8×0.5+300×0.8×0.5×0.7+
600×0.8×0.5×0.3=196(元);
按照EDF的顺序获得的奖金的均值为200×0.5×0.2+300×0.8×0.5×0.7
+600×0.8×0.5×0.3=176(元),
综上所述,按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大.
6.(5分)(多选题)某人参加一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2道题才算合格.则下列选项正确的是( )
A.答对0道题和答对3道题的概率相同,都为18
B.答对1道题的概率为38
C.答对2道题的概率为512
D.合格的概率为12
【解析】选CD.设此人答对题目的个数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,3, P(ξ=0)=C50C53C103=112,P(ξ=1)=C51C52C103=512,P(ξ=2)=C52C51C103=512,P(ξ=3)=C53C50C103=112,则答对0道题和答对3道题的概率相同,都为112,故A错误;答对1道题的概率为512,故B错误;答对2道题的概率为512,故C正确;合格的概率P=P(ξ=2)+P(ξ=3)=512+112=12,故D正确.
7.(5分)设X是一个离散型随机变量,其分布列为
则q=________.
【解析】由离散型随机变量分布列的性质得
12+1-q+q-q2=1,0≤1-q≤12,0≤q-q2≤12,解得q=22.
答案:22
【加练备选】
若随机变量X的分布列如表所示,则a2+b2的最小值为________.
【解析】由分布列的性质可知a+b=12,而a2+b2≥(a+b)22=18(当且仅当a=b=14时,等号成立),所以a2+b2的最小值为18.
答案:18
8.(5分)某专业资格考试包含甲、乙、丙3个科目,假设小张甲科目合格的概率为34,乙、丙科目合格的概率均为23,且3个科目是否合格相互独立.设小张3个科目中合格的科目数为X,则P(X=2)=________,E(X)=________.
【解析】P(X=2)=(1-34)×23×23+34×(1-23)×23+34×23×(1-23)=49;
P(X=0)= (1-34)×(1-23)×(1-23)=136,
P(X=1)=34×(1-23)×(1-23)+(1-34)×23×(1-23)+(1-34)×(1-23)×23=736,
P(X=3)=34×23×23=13,
所以E(X)=0×136+1×736+2×49+3×13=2512.
答案:49 2512
9.(10分)(2024·泉州模拟)某同学尝试运用所学的概率知识研究如下游戏规则设置:游戏在两人中进行,参与者每次从装有3张空白券和2张奖券的盒子中轮流不放回地摸出一张,规定摸到最后一张奖券或能判断出哪一方获得最后一张奖券时游戏结束,能够获得最后一张奖券的参与者获胜.
(1)从胜负概率的角度,判断游戏规则设置是否公平;
(2)设游戏结束时参与双方摸券的次数为X,求随机变量X的分布列.
【解析】(1)将3张空白券简记为“白”,将2张奖券简记为“奖”,率先摸券的一方获胜,包括以下几种情况:
①双方共摸券3次,出现“奖白奖”“白奖奖”“白白白”这三种情形,
对应的概率为P1=25×34×13+35×24×13+35×24×13=310;
②双方共摸券4次,出现的恰好是“三白一奖且前三次必定出现一次奖券”,
对应的概率为P2=25×34×23×12+35×24×23×12+35×24×23×12=310;
故先摸券的一方获胜的概率P=P1+P2=35,
又35>12,故这场游戏不公平.
(2)由题意可知X的可能取值为2,3,4,所以PX=2=25×14=110,
由(1)知PX=3=310,PX=4=35,
所以X的分布列为
【能力提升练】
10.(5分)(多选题)口袋中有大小、形状都相同的4个红球,n 个白球,每次从中摸一个球,摸后再放回口袋中,摸到红球记2分,摸到白球记1分,共摸球3次.设所得分数为随机变量ξ ,若Pξ=3=27343 ,则随机变量ξ 的取值可能为( )
A.2B.3C.4D.5
【解析】选BCD.由题意得摸到红球的概率是p1=4n+4,白球的概率是p2=nn+4 ,而ξ=3 即得3分,表示这3次摸的都是白球且Pξ=3=27343 ,所以nn+43=27343 ,解得n=3 ,所以ξ 的可能取值为3,4,5,6.
11.(5分)已知集合A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,若a与b的和记为随机变量X,P(X=i)=pi>0(i∈N*),X的数学期望和方差分别为E(X),D(X),则( )
A.p4=2p2B.P(3≤X≤5)=79
C.E(X)=3D.D(X)=23
【解析】选B.因为A=B={1,2,3},所以X的所有可能取值为2,3,4,5,6,
P(X=2)=13×13=19,P(X=3)=13×13+13×13=29,P(X=4)=13×13+13×13+13×13=39=13,P(X=5)=13×13+13×13=29,P(X=6)=13×13=19,所以p4=3p2,A错误;
P(3≤X≤5)=29+13+29=79,B正确;
E(X)=2×19+3×29+4×13+5×29+6×19=4,C错误;
D(X)=(2-4)2×19+(3-4)2×29+(4-4)2×13+(5-4)2×29+(6-4)2×19=43,D错误.
12.(5分)(多选题)已知随机变量ξ的分布列如表:
则当a在(0,12)内增大时( )
A.E(ξ)增大 B.E(ξ)减小
C.D(ξ)先增大再减小 D.D(ξ)先减小再增大
【解析】选AC.由随机变量ξ的分布列得
0≤b-a≤1,0≤b≤1,0≤a≤1,b-a+b+a=1,解得b=0.5,0≤a≤0.5,所以E(ξ)=0.5+2a,0≤a≤0.5.
故a在(0,12)内增大时,E(ξ)增大.
D(ξ)=(-2a-0.5)2(0.5-a)+(0.5-2a)2×0.5+(1.5-2a)2a=-4a2+2a+14=-4(a-14)2+12,
所以当a∈(0,14)时,D(ξ)增大,当a∈(14,12)时,D(ξ)减小,
故当a在(0,12)内增大时,D(ξ)先增大再减小.
13.(5分)(2021·浙江高考)袋中有4个红球,m个黄球,n个绿球.现从中任取两个球,记取出的红球数为ξ,若取出的两个球都是红球的概率为16,一红一黄的概率为13,则m-n=__________,E(ξ)=________.
【解析】由题意可得,P(ξ=2)=C42C4+m+n2=12(4+m+n)(3+m+n)=16,化简,得(m+n)2+
7(m+n)-60=0,解得m+n=5(负值舍去),取出的两个球一红一黄的概率P=C41Cm1C4+m+n2=
4m36=13,解得m=3,故n=2.所以m-n=1,易知ξ的所有可能取值为0,1,2,且P(ξ=2)=16,
P(ξ=1)=C41C51C92=59,P(ξ=0)=C52C92=518,所以E(ξ)=0×518+1×59+2×16=89.
答案:1 89
14.(10分)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动,根据答题得分情况评选出一二三等奖若干,为了解不同性别学生的获奖情况,从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生,获奖情况统计结果如下:
假设所有学生的获奖情况相互独立.
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,求抽到的2名学生都获一等奖的概率;
(2)用频率估计概率,从该地区高一男生中随机抽取1名,从该地区高一女生中随机抽取1名,以X表示这2名学生中获奖的人数,求X的分布列和数学期望E(X);
(3)用频率估计概率,从该地区高一学生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p0;从该地区高一男生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p1;从该地区高一女生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p2,试比较p0与p1+p22的大小.(结论不要求证明)
【解析】(1)设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”,则P(A)=C101C251C2001C3001=1240.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B,C相互独立,
且P(B)估计值为10+15+15200=15,P(C)估计值为25+25+40300=310.
所以P(X=0)=P(B C)=P(B)P(C)=1-15×1-310=1425,
P(X=1)=P(BC∪BC)=P(B)P(C)+P(B)P(C)=15×1-310+1-15×310=1950,
P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)=15×310=350.
所以X的分布列为
故X的数学期望EX=0×1425+1×1950+2×350=12.
(3)p0>p1+p22,理由:根据频率估计概率得p0=40+90500=1350=52200,由(2)知p1=15,p2=310,
故p1+p22=15+3102=14=50200,则p0>p1+p22.
ξ
1
2
3
4
P
112
a
13
13
商品
D
E
F
猜对的概率
0.8
0.5
0.3
获得的奖金/元
100
200
300
X
-1
0
1
P
12
1-q
q-q2
X
0
1
2
3
P
14
a
14
b
ξ
0
1
2
P
b-a
b
a
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
ξ
1
2
3
4
P
112
a
13
13
商品
D
E
F
猜对的概率
0.8
0.5
0.3
获得的奖金/元
100
200
300
X
-1
0
1
P
12
1-q
q-q2
X
0
1
2
3
P
14
a
14
b
X
2
3
4
P
110
310
35
ξ
0
1
2
P
b-a
b
a
性别
人数
获奖人数
一等奖
二等奖
三等奖
男生
200
10
15
15
女生
300
25
25
40
X
0
1
2
P
1425
1950
350