2025年高考数学一轮复习-9.6.1-双曲线的定义、标准方程及其几何性质【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-9.6.1-双曲线的定义、标准方程及其几何性质【导学案】，共16页。学案主要包含了课标解读，课程标准，核心素养，命题说明，必备知识·逐点夯实，核心考点·分类突破，加练备选等内容，欢迎下载使用。
【课程标准】
1.了解双曲线的实际背景及双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单的几何性质.(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)
3.了解双曲线几何性质的简单应用.
【核心素养】
数学运算、逻辑推理、直观想象.
【命题说明】
【必备知识·逐点夯实】
知识梳理·归纳
1.双曲线的定义
(1)一般地,把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(2)数学表达式:集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,00.
微点拨 (1)当|PF1|-|PF2|=2a(2a0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2-y2b2=t(t≠0).
5.双曲线的离心率公式可表示为e=1+b2a2.
基础诊断·自测
1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.( √ )
提示:(1)双曲线的焦点一定在实轴上;
(2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.( × )
提示:(2)若两条双曲线的焦点相同,ba=c2-a2a2=e2-1,若离心率不同,焦点在x轴上时,则渐近线的斜率的绝对值ba也不相同,则渐近线也不相同,同样焦点在y轴也有类似结论;
(3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.( √ )
提示:(3)ba=c2-a2a2=e2-1,焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,e越大,则ba越大,即渐近线斜率的绝对值ba越大;
(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.( × )
提示:(4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线,如双曲线x2a2-y2b2=1和y2b2-x2a2=1的渐近线相同,都为y=±bax.
2.(混淆焦点位置)已知双曲线的两个焦点分别为F1(0,-5),F2(0,5),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为( )
A.x29-y216=1B.x216-y29=1
C.y29-x216=1D.y216-x29=1
【解析】选C.由题意,c=5,2a=6,所以a=3,
则b=c2-a2=4,结合条件可知,双曲线的标准方程为y29-x216=1.
3.(选择性必修第一册P120例1变条件)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是( )
A.x216-y29=1B.x216-y29=1(x≥4)
C.x29-y216=1D.x29-y216=1(x≥3)
【解析】选D.由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C.又由题意可知c=5,a=3,所以b=c2-a2=4,故点M的轨迹方程为x29-y216=1(x≥3).
4.(2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2= 60°, |PF1|= 3|PF2|,则C的离心率为( )
A.7B.13C.72D.132
【解析】选C.设|PF1|=m,|PF2|=n,
则根据题意及余弦定理可得:m=3n12=m2+n2-4c22mn,
解得m=67cn=27c,所以所求离心率为2c2a=2cm-n=2c47c=72.
【核心考点·分类突破】
考点一双曲线的定义及应用
[例1](1)(2024·潍坊模拟)已知动圆M与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆M的圆心轨迹是( )
A.双曲线B.双曲线的一支
C.抛物线D.前三个答案都不对
【解析】选B.题中两圆分别记为圆A:x2+y2=1以及圆B:(x-3)2+y2=2,设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则|MA|=1+r|MB|=2+r,
于是|MB|-|MA|=2-1(0,b>0)的一条渐近线,且点(23,23)在双曲线C上,则双曲线C的方程为( )
A.x23-y24=1B.x23-y26=1
C.x26-y212=1D.x212-y224=1
【解析】选C.由双曲线C:x2a2-y2b2=1,则其渐近线方程为y=±bax,由题意可得:ba=2,整理可得b=2a,将(23,23)代入双曲线方程可得12a2-122a2=1,解得a2=6,b2=12,
所以双曲线C的方程为x26-y212=1.
(2)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.x24-y24=1B.x28-y28=1
C.x24-y28=1D.x28-y24=1
【解析】选B.由离心率为2,可知a=b,c=2a,所以F(-2a,0),
由题意知kPF=4-00-(-2a)=42a=1,所以2a=4,解得a=22,
所以双曲线的方程为x28-y28=1.
解题技法
求双曲线标准方程的方法
(1)定义法.
根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:
①c2=a2+b2;
②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
(2)待定系数法.
一般步骤.
对点训练
1.(2021·北京高考)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)过点(2,3),且离心率为2,则该双曲线的标准方程为( )
A.x2-y23=1B.x23-y2=1
C.x2-3y23=1D.3x23-y2=1
【解析】选A.由e=ca=2,得c=2a,b=c2-a2=3a,则双曲线的方程为x2a2-y23a2=1,
将点(2,3)的坐标代入双曲线的方程可得2a2-33a2=1,解得a=1,故b=3,
因此双曲线的标准方程为x2-y23=1.
2.在平面直角坐标系中,已知圆M:(x+2)2+y2=12,点N(2,0),Q是圆M上任意一点,线段NQ的垂直平分线与直线MQ相交于点P,设点P的轨迹为曲线E,则曲线E的方程为____________.
【解析】因为P在线段NQ的垂直平分线上,所以|PQ|=|PN|,
所以||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=r=230,b>0),点B的坐标为(0,b),若C上的任意一点P都满足|PB|≥b,则C的离心率的取值范围是( )
A. (1,5+12]B.[5+12,+∞)
C.(1,2]D.[2,+∞)
【解析】选A.设P(x,y),|PB|≥b⇒x2+(y-b)2≥b⇒x2+y2-2by≥0(*),
由x2a2-y2b2=1⇒x2=a2(1+y2b2),代入不等式*中,化简,得c2b2y2-2by+a2≥0恒成立,
则有Δ=4b2-4a2c2b2≤0⇒b4≤a2c2⇒b2≤ac⇒c2-a2≤ac⇒e2-e-1≤0,
解得1-52≤e≤1+52,而e>1,所以10,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cs∠PF1F2=45,则双曲线的渐近线方程为( )
A.3x±4y=0B.4x±3y=0
C.3x±5y=0D.5x±4y=0
【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,如图所示,
因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点,
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a,
所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c,
因为cs∠PF1F2=45,所以|F1Q||F1F2|=cs∠PF1F2,
即a+c2c=45,得3c=5a,所以3a2+b2=5a,得ba=43,
故双曲线的渐近线方程为y=±43x,即4x±3y=0.
(2)(一题多法)(2022·北京高考)已知双曲线y2+x2m=1的渐近线方程为y=±33x,则m=______.
【解析】方法一:依题意得m0),则1a2-3b2=1且ba=2,联立解得a=12,b=1,则双曲线的方程为4x2-y2=1;
②若双曲线的焦点在y轴上,则可设y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),则3a2-1b2=1,且ab=2,此时无解,综上,双曲线的方程为4x2-y2=1.
方法二:由题可设双曲线方程为4x2-y2=λ(λ≠0),
因为双曲线经过点(1,3),所以λ=4×12-(3)2=1,
所以双曲线方程为4x2-y2=1.
答案:4x2-y2=1
解题技法
1.渐近线的求法
求双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令x2a2-y2b2=0,即得两渐近线方程xa±yb=0 (y=±bax).
2.根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程
(1)渐近线为y=nmx的双曲线方程可设为x2m2-y2n2=λ(λ≠0);
(2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2 =m (m≠0);
(3)与双曲线x2a2-y2b2=1共渐近线的双曲线方程可设为x2a2-y2b2=λ(λ≠0).
对点训练
1.(多选题)(2024·长沙模拟)已知点F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C位于第一象限内一点,若PF1·PF2=0,|PF1|=2|PF2|,则下列结论正确的是( )
A.△PF1F2的面积为32a2
B.双曲线C的离心率为5
C.双曲线C的渐近线方程为x±2y=0
D.若双曲线C的焦距为25,则双曲线C的方程为x2-y24=1
【解析】选BD.对于选项A:由定义可得|PF1|-|PF2|=2a,因为|PF1|=2|PF2|,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a,由已知∠F1PF2=90°,
所以△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|=12×4a×2a=4a2,故A错误;
对于选项B:由勾股定理得(2a)2+(4a)2=(2c)2,即5a2=c2,所以e=ca=c2a2=5,故B正确;
对于选项C:因为b2=c2-a2=4a2,所以b2a2=4,即ba=2,所以双曲线的渐近线方程为:2x±y=0,故C错误;
对于选项D:由双曲线C的焦距为25得c=5,从而a2=1,b2=4,所以双曲线C的方程为x2-y24=1,故D正确.
2.(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,F1A⊥F1B,F2A=-23F2B,则C的离心率为________.
【解析】方法一:依题意,设|AF2|=2m,则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m,
在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去),
所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a,
故cs∠F1AF2=|AF1||AB|=4a5a=45,所以在△AF1F2中,cs∠F1AF2=16a2+4a2-4c22×4a×2a=45,
整理得5c2=9a2,故e=ca=355.
方法二:依题意,得F1(-c,0),F2(c,0),令A(x0,y0),B(0,t),
因为F2A=-23F2B,所以(x0-c,y0)=-23(-c,t),则x0=53c,y0=-23t,
又F1A⊥F1B,所以F1A·F1B=(83c,-23t)(c,t)=83c2-23t2=0,则t2=4c2,
又点A在C上,则259c2a2-49t2b2=1,整理得25c29a2-4t29b2=1,则25c29a2-16c29b2=1,
所以25c2b2-16c2a2=9a2b2,即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2),
整理得25c4-50c2a2+9a4=0,
则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0,解得5c2=9a2或5c2=a2,
又e>1,所以e=355或e=55(舍去),故e=355.
答案:355
【加练备选】
(多选题)(2024·阜阳模拟)已知曲线C:x2m+y2n=1(m≠0,n≠0),则下列叙述正确的有( )
A.若曲线C为圆,则m=n
B.若m=-n,则曲线C的离心率为2
C.若0