2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【含解析】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.7-抛物线-专项训练【含解析】，共13页。
A. 0,13 B. 13,0 C. 0,316 D. 0,23
2.已知双曲线C1:x28−y28=1 与抛物线C2:y2=2pxp>0 的准线交于A ，B 两点，若AB=42 ，则p= ( )
A. 22 B. 4 C. 42 D. 8
3.已知点P 是抛物线y2=8x 上的一个动点，则点P 到点A0,2 的距离与到抛物线准线距离之和的最小值是( )
A. 25 B. 3 C. 5 D. 22
4.（多选）已知F 是抛物线C:y2=16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点，则( )
A. C 的准线方程为x=−4
B. 点F 的坐标为0,4
C. FN=12
D. △ONF 的面积为162 （O 为坐标原点）
5.（多选）已知抛物线C:x2=2py 的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，点2,12 在抛物线上，则( )
A. p=1
B. 当AB⊥y 轴时，AB=4
C. 1AF+1BF 为定值1
D. 若AF=2FB ，则直线AB 的斜率为±24
6. 若点P 到直线y=−1 的距离比它到点0,3 的距离小2，则点P 的轨迹方程是 .
7.下图为抛物线型拱桥，当拱桥的顶点距离水面3 m 时，水面宽12 m ，则水面上升1 m 后，水面宽度为 m .
8. 若抛物线y2=4x 的准线为l ,P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x+4y+7=0 的距离之和的最小值为 .
9. 已知抛物线C:y2=2pxp>0 的焦点与椭圆：x24+y23=1 的一个焦点重合.
（1） 求抛物线C 的方程；
（2） 若直线l:x=my+4 交抛物线C 于Ax1,y1 ，Bx2,y2 两点，O 为原点，求证：OA⊥OB .
[B级 综合运用]
10.已知抛物线y2=4x 的焦点为F ，A 为抛物线上的动点，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，A 关于点P4,2 的对称点为C ，则AB+BC 的最小值为( )
A. 3 B. 5 C. 6 D. 10
11. 在平面直角坐标系Oxy 中，抛物线Γ:x2=8y 的焦点为F ，过点F'0,−2 的直线l 与抛物线Γ 交于Ax1,y1 ,Bx2,y2 两点（其中00 的焦点为F ，准线l 与x 轴交点为K ，点A 在C 上，点A 的横坐标为2，AF=3 ，以F 为圆心且与直线AK 相切的圆的标准方程为x−12+y2=3217 .
[解析]根据抛物线定义，AF=xA+p2=2+p2=3 ，解得p=2 ，所以抛物线方程为y2=4x ，F1,0 ，K−1,0 ，
根据对称性，不妨设点A 在第一象限，则A2,22 ，直线AK 的方程为y=222−−1x+1 ，
即22x−3y+22=0 ，点F1,0 到直线AK 的距离为22×1−3×0+22222+−32=4217 ，所求圆的标准方程为x−12+y2=3217 .
14.已知抛物线C:y2=2px 过点P1,1 ，过点0,12 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.
（1） 求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
[答案]解：把P1,1 代入y2=2px 得p=12 ,
所以抛物线C 的方程为y2=x ,
焦点坐标为14,0 ，准线方程为x=−14 .
（2） 求证：A 为线段BM 的中点.
[答案]证明：因为BM⊥x 轴，
所以设Mx1,y1 ,Nx2,y2 ,Ax1,yA ,Bx1,yB ,
根据题意显然有x1≠0 .
若要证明A 为BM 的中点，只需证2yA=yB+y1 即可，
左右同除以x1 有2yAx1=yBx1+y1x1 ，
即只需证明2kOA=kOB+kOM 成立，其中kOA=kOP=1 ,kOB=kON ,当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为零.
设直线MN:y=kx+12k≠0 ,
联立y=kx+12,y2=x， 消y 得，k2x2+k−1x+14=0 ,
Δ=k−12−4×14×k2=1−2k>0 ,所以k0 恒成立，则y1+y2=4m ,y1y2=−4 ,由弦长公式得AB=1+m216m2+16=4m2+1 ,
同理可得DE=41m2+1 .
所以AB+9DE=4m2+1+361m2+1=4m2+9m2+40≥64 ,
当且仅当m2=9m2 ，
即m=±3 时等号成立，
所以AB+9DE 的最小值为64，故选C.
16.已知F 为抛物线C:x2=2pyp>0 的焦点，P−4,m 是C 上一点，P 位于F 的上方且PF=5 .
（1） 求C 的方程；
[答案]解：由P−4,m 是C 上一点知16=2pm ，
故m=8p .
由抛物线定义可知，PF=m+p2=8p+p2=5 ，
化简得p2−10p+16=0 ，解得p=2 或p=8 ，
又因为P 位于F 的上方，故8p>p2 ，故p=2 ，
故抛物线方程为x2=4y .
（2） 已知过焦点的直线l 交C 于A ，B 两点，若PF 平分∠APB ，求l 的方程.
[答案]由（1）知P−4,4 ,F0,1 ，
显然，直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y=kx+1 ，
设点Ax1,x124 ，Bx2,x224 ,
联立y=kx+1，x2=4y， 整理得x2−4kx−4=0 ，
故x1+x2=4k ,x1x2=−4 ，
若PF 平分∠APB ，
则PAPB=AFBF=x1x2 ，故PA2PB2=x12x22 ，
即x1+42+x124−42x2+42+x224−42=x12x22 ，
即x1416−x12+8x1+32x2416−x22+8x2+32=x12x22 ，
即x12x2216⋅x12−x12x22+8x1x2x2+32x22=x12x2216⋅x22−x12x22+8x1x1x2+32x12 ,
将x1x2=−4 代入，
化简得31x22−32x2=31x12−32x1 ，
即31x2+x1x2−x1−32x2−x1=0 ，
因为x1≠x2 ，故31x2+x1=32 ，
即31×4k=32 ，得k=831 ，
故直线l 的方程为y=831x+1 .