2025年高考数学一轮复习-8.6-双曲线【导学案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-8.6-双曲线【导学案】，共38页。

1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的______等于非零常数(____|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的____，两焦点间的距离叫做双曲线的____．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为________，离心率为e＝__．
[常用结论]
1．双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2．
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
(6)P是双曲线上一点，F1，F2是左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2−y2b2＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程x2m−y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线x2m2−y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2−y2n2＝0，即xm±yn＝0．( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2．( )
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线x224−y225＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．
3．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________．
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
考点一 双曲线的定义及其应用
[典例1] (1)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A．x24−y25＝1(x>2)
B．x29−y25＝1(x>3)
C．x29+y25＝1(00)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )
A．1 B．12
C．13 D．23
[听课记录]



1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2−x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2−y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2−x2b2＝0，得y＝±abx.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2−a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2024·山东潍坊模拟)已知双曲线M：x2a2−y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是( )
A．M的离心率为233
B．M的标准方程为x2－y23＝1
C．M的渐近线方程为y＝±33x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
(3)已知点F是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
考点四 直线与双曲线的位置关系
[典例6] (1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.
①求C的方程；
②设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
[听课记录]


解决直线与双曲线的位置关系有关的问题时，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
[跟进训练]
4．(1)已知双曲线x216−y29＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．−43，43
B．−∞，−34∪34，+∞
C．−34，34
D．−∞，−43∪43，+∞
(2)过双曲线x2－y23＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
(3)(多选)已知双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A．弦AB的最小值为2b2a
B．若AB＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C．若AB的中点为M，O为坐标原点且AB的斜率为k，则kOM·k＝b2a2
D．若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
参考答案与解析
[考试要求] 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2．掌握其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3．了解双曲线的简单应用．
1．双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2．
[常用结论]
1．双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)中的几个常用结论
(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．
(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a．
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．
(4)设P，A，B是双曲线上的三个不同的点，其中A，B关于原点对称，直线PA，PB斜率存在且不为0，则直线PA与PB的斜率之积为b2a2．
(5)P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
(6)P是双曲线上一点，F1，F2是左、右焦点，则|PF1|＋|PF2|≥2c.
2．巧设双曲线方程
(1)与双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2−y2b2＝t(t≠0)．
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)．

一、易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程x2m−y2n＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )
(3)双曲线x2m2−y2n2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x2m2−y2n2＝0，即xm±yn＝0．( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
二、教材经典衍生
1．(人教A版选择性必修第一册P127习题3.2T1改编)已知双曲线x2－y216＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．
6 [设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|＝4，则||PF1|－|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又双曲线上的点到它的焦点的距离的最小值为c－a＝17－1＞2，故|PF2|＝6．]
2．(人教A版选择性必修第一册P124例3改编)双曲线x224−y225＝－1的实轴长为________，离心率为________，渐近线方程为________．
10 75 y＝±5612x [双曲线y225−x224＝1中a＝5，b2＝24，c2＝25＋24＝49，
∴实轴长为2a＝10，离心率e＝ca＝75，
渐近线方程为y＝±5612x.]
3．(人教A版选择性必修第一册P120例1改编)已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是________．
x29−y216＝1(x≥3) [由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支．又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝c2−a2＝4，故点M的轨迹方程为x29−y216＝1(x≥3)．]
4．(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)若方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，则m的取值范围是________．
(－2，－1) [因为方程x22+m+y2m+1＝1表示双曲线，所以(2＋m)(m＋1)＜0，即－2＜m＜－1．]
考点一 双曲线的定义及其应用
[典例1] (1)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A．x24−y25＝1(x>2)
B．x29−y25＝1(x>3)
C．x29+y25＝1(00)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝2π3，则S△AF1F2S△ABF2＝( )
A．1 B．12
C．13 D．23
(1)A (2)B [(1)因为F1−3，0，F23，0，x022−y02＝1，所以MF1·MF2＝(－3－x0，－y0)·(3－x0，－y0)＝x02+y02－3＜0，即3y02－1＜0，解得－33＜y0＜33.故选A.
(2)如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，
所以|AF2|＝4a，
因为∠F1AF2＝2π3，
所以S△AF1F2＝12|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2
＝12×2a×4a×32＝23a2.
由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，
所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，
所以S△ABF2＝34|AB|2＝34×(4a)2＝43a2，
所以S△AF1F2S△ABF2＝23a243a2＝12.
故选B.]
1．求双曲线渐近线方程的方法
求双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2−x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2−y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a2−x2b2＝0，得y＝±abx.
2．求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2+b2a2＝1＋b2a2直接求e.
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2−a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
[跟进训练]
3．(1)(多选)(2024·山东潍坊模拟)已知双曲线M：x2a2−y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是( )
A．M的离心率为233
B．M的标准方程为x2－y23＝1
C．M的渐近线方程为y＝±33x
D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点
(2)(2021·新高考Ⅱ卷)已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为________．
(3)已知点F是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．
(1)ACD (2)y＝±3x (3)(1，2) [(1)因为双曲线M：x2a2−y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为4，所以有a2＋b2＝c2＝4，①，
双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则过一、三象限的渐近线的斜率为3或33，即ba＝3或ba＝33，②
联立①②可得：a2＝1，b2＝3，c2＝4或a2＝3，b2＝1，c2＝4.
因为a＞b，所以a2＝3，b2＝1，c2＝4，
故双曲线M的方程为x23－y2＝1.
M的离心率为43＝233，A正确；
双曲线M的标准方程为x23－y2＝1，B错误；
M的渐近线方程为y＝±33x，C正确；
直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点(2，0)，D正确．故选ACD.
(2)因为双曲线的方程是x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax，
因为离心率为e＝ca＝2，可得c＝2a，所以c2＝4a2，
即a2＋b2＝4a2，可得b＝3a，由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±3x.
(3)若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，则b2a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2．]
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1．如图1所示，双曲线具有光学性质，从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cs ∠BAC＝－35，AB⊥BD，则双曲线E的离心率为( )
A．52 B．173
C．102 D．5
B [依题意，直线CA，DB都过点F1，
如图，有AB⊥BF1，cs ∠BAF1＝35.
设|BF2|＝m，则|BF1|＝2a＋m，显然有tan ∠BAF1＝43，|AB|＝34|BF1|＝34(2a＋m)，|AF2|＝32a－14m，因此|AF1|＝2a＋|AF2|＝72a－14m.
在Rt△ABF1中，|AB|2＋|BF1|2＝|AF1|2，
即916(2a＋m)2＋(2a＋m)2＝72a−14m2，
解得m＝23a，即|BF1|＝83a，|BF2|＝23a.
令双曲线半焦距为c，
在Rt△BF1F2中，|BF2|2＋|BF1|2＝|F1F2|2，
即23 a2＋83 a2＝(2c)2，解得ca＝173，
所以双曲线E的离心率为173.故选B.]
2．(2024·天津西青区模拟)设P是双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若tan ∠PF2F1＝3，则双曲线的离心率为( )
A．10 B．102
C．3 D．2
B [如图，连接PF1，PF2，由题意可得PF1⊥PF2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m－n＝2a，
且m2＋n2＝4c2，tan ∠PF2F1＝mn＝3，
则m＝3a，n＝a，9a2＋a2＝4c2，
即有c2＝52a2，e＝ca＝102.
故选B.]
3．(2024·广东汕头金山中学模拟)如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径为25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为________．
5 [如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)，由题意知|OA|＝a＝20，
设C(25，m)(m＞0)，B(202，－70＋m)，
所以252202−m2b2=1，2022202−m−702b2=1，解得b=40，m=30，
所以c2＝a2＋b2＝400＋1 600＝2 000，
所以e＝ca＝2 00020＝5.]
考点四 直线与双曲线的位置关系
[典例6] (1)(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－y29＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1，1) B．(－1，2)
C．(1，3) D．(－1，－4)
(2)(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2，记M的轨迹为C.
①求C的方程；
②设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
(1)D [结合选项可知，直线AB的斜率存在且不为零．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得x12−y129=1，x22−y229=1，两式作差，得x12−x22＝y12−y229，即(x1－x2)(x1＋x2)＝y1−y2y1+y29，y1−y2y1+y2x1−x2x1+x2＝9，即y1−y2x1−x2·y1+y22x1+x22＝kAB·y0x0＝9，因此kAB＝9·x0y0.
由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于A选项，因为kAB＝9×11＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于B选项，因为kAB＝9×−12＝－920)，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax，
结合渐近线的特点，只需01，所以11)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2 2，求△PAQ的面积．
[解] (1)因为点A(2，1)在双曲线C：x2a2−y2a2−1＝1(a＞1)上，所以4a2−1a2−1＝1，解得a2＝2，即双曲线C的方程为x22－y2＝1，由题意可知直线l的斜率存在，设l：y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立y=kx+m，x22−y2=1，得(1－2k2)x2－4mkx－2m2－2＝0，所以Δ＝16m2k2＋4(2m2＋2)(1－2k2)＞0⇒m2＋1－2k2＞0，x1＋x2＝－4mk2k2−1，x1x2＝2m2+22k2−1，所以由kAP＋kAQ＝0可得，y2−1x2−2+y1−1x1−2＝0，即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，所以2k×2m2+22k2−1＋(m－1－2k)×−4mk2k2−1－4(m－1)＝0，化简得8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1，
过点A(2，1)，与题意不符，舍去，故k＝－1.
(2)不妨设直线AP，AQ的倾斜角为α，β(α＜β)，因为kAP＋kAQ＝0，所以α＋β＝π，因为tan ∠PAQ＝2 2，所以tan (β－α)＝2 2，即tan 2α＝－2 2，即2tan2α－tanα－2＝0，解得tan α＝2，于是，直线AP：y＝2(x－2)＋1，直线AQ：y＝－2(x－2)＋1，联立y=2x−2+1，x22−y2=1，得32x2＋2 2(1－2 2)x＋10－4 2＝0，因为方程有一个根为2，所以xP＝10−4 23，yP＝4 2−53，同理可得，xQ＝10+4 23，yQ＝−4 2−53.
所以PQ：x＋y－53＝0，|PQ|＝163，
点A到直线PQ的距离d＝2+1−532＝2 23，
故△PAQ 的面积为12×163×2 23＝16 29标准方程
x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2−x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
________________________________
________________________________
焦距
__________________
范围
________或______，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：______；对称中心：____
顶点
________________________________
________________________________
轴
实轴：线段________，长：____；虚轴：线段________，长：____，实半轴长：__，虚半轴长：__
离心率
e＝ca∈____________
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的关系
c2＝__________ (c>a>0，c>b>0)
标准方程
x2a2−y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2−x2b2＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≤－a或x≥a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率
e＝ca∈(1，＋∞)
渐近线
y＝±bax
y＝±abx
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)