山东省烟台市栖霞市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（原卷版+解析版）

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温馨提示：
1.本试卷共8页，共三道大题，26道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟．
2.学生在答卷过程中不允许使用计算器．
3.使有答题卡时请注意：
①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置．
②答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净．
③答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答．
④保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带．
⑤若未按上述要求填写、答题．影响评分质量，后果自负．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 下列运算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可，准确计算是解题的关键．
【详解】解：A、，不是同类二次根式，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
2. 下图是数学课上，解方程接力赛时接力过程，计算步骤最先出错的是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据解一元二次方程的一般步骤即可求解，熟练掌握运算方法是解题的关键．
【详解】解：，即：，
开方，得：，
则计算步骤最先出错的是甲，
故选A．
3. 如图，菱形的对角线，交于点．若，，则菱形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，由四边形是菱形得，，，，，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴菱形的周长是，
故选：．
4. 已知两非零数，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了比例的性质．根据已知条件得出，再根据比例的性质即可得出答案．
【详解】解：，
，
．
故选：C．
5. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据花圃面积为即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，
根据题意得：．
故选：A．
6. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】解：，
，，；
∴选项A、C、D正确，
故选：B．
7. 若关于x的一元二次方程无实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据无实数根这个条件，得出，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得，
故选：D．
8. 如图，矩形的三个顶点的坐标分别为．若直线平分矩形的周长，则b的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接相交于点E，根据四边形是矩形，可得点E是的中点，即可求出，再将代入即可求出b的值．
【详解】解：连接相交于点E，如下图所示，

∵，
∴轴，
∵四边形是矩形，相交于点E，
∴，点E是的中点，
∴，即，
∵直线平分矩形的周长，
∴直线经过点，
∴，解得，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质和一次函数，求出点E的坐标是解题的关键．
9. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长，即可求出的长度．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，
∴，
∵的长度为，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，其中．
10. 如图所示，在正方形中，O是对角线的交点，过O作，分别交于E、F，若，则的长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先利用证明，故得，进而得出，在中利用勾股定理即可解得的长．本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
【详解】解：四边形是正方形，
，，，
又，
，
，
∴，
，
又，
，
∴中，．
故选：C．
11. 已知，化简二次根式的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简，判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选A．
12. 如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解．
【详解】解：设每个正方形网格的边长都为1，
则在中，
，
AC=12+12=2，
，
在中，
，
，
，
，，，
∴，
∴，
与的周长之比为：，
故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．）
13. 方程的实数根为_____________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程—因式分解法，将转化为，然后将方程的左边进行因式分解即可求解．一元二次方程的一般解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据方程的特点选用合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，，
∴方程的实数根为，．
故答案为：，．
14. 一个菱形两条对角线长的和是10，菱形的面积是12，则菱形的边长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
由菱形的性质得出，由菱形的性质和已知条件得出，由勾股定理得出，由此得出，得出，即可得出结果．
【详解】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，
∴，菱形的面积，
∴，
∵菱形两条对角线长的和是10，
∴，
，
∴
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，中，点在上，交于点，若，则等于_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，根据，可得出，再由平行四边形的性质得出，，证明，即可得解．解题的关键是证明．
详解】解：：∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可．
【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为，
根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得，
，解得，
，解得，
，解得，
，解得，
，
故答案为：．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为．若以原点O为位似中心，位似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是_____________．

【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了利用位似求对应点的坐标．利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以或，求出结果即可．
【详解】解：点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，
则点A的对应点的坐标是或，即或，
故答案为：或．
18. 如图所示，某同学用如下方法测量教学楼的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离，当他与镜子的距离时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B，已知他眼睛距地面的高度为，则教学楼的高度为_____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．先根据题意得出，再由相似三角形的对应边成比例计算即可求解．
【详解】解：依据题意,得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 如图所示，点是矩形的边的中点，点是边上一动点，，，垂足分别为点，．
（1）当矩形长与宽满足什么条件时，四边形为矩形？猜想并说明理由．
（2）在（1）中，当点运动到什么位置时，矩形为正方形，为什么？
【答案】（1）矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由见详解
（2）当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由见详解
【解析】
【分析】（1）若，加上点为的中点， 则，于是可判断和为全等的等腰直角三角形， 易得，然后利用可判断四边形为矩形；
（2） 若点为的中点， 则为等腰三角形MBC的顶角的平分线， 根据角平分线的性质得，然后根据正方形的判定方法可判断矩形变为正方形 ．
本题考查了正方形的判定： 先判定四边形是矩形， 再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形， 再判定这个矩形有一个角为直角 ． 也考查了矩形的判定于性质 ．
【小问1详解】
解：矩形的长与宽满足时，四边形为矩形．理由如下：
，点为的中点，
，
和为全等的等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
四边形为矩形；
【小问2详解】
解：当点运动到的中点时，矩形变为正方形．理由如下：
点为的中点，
为等腰三角形MBC的顶角的平分线，
，
矩形变为正方形 ．
20. 学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：求的值．甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：
设，两边平方得：，即，
，
，
，
．
请你参考上述方法，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的运用，掌握二次根式的混合运算法则，完全平方公式的计算是解题的关键．
根据题意，设，结合材料提示，完全平方公式的计算即可求解．
【详解】解：设，两边同时平方得，
，
∴，
∵，
∴．
21. 已知关于x的方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根为，求代数式的值．
【答案】（1）见解析 （2）0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，掌握相关结论即可．
（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，再整理代入即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：由根与系数的关系可得，，，
∴
．
22. 栖霞某旅游景点的超市以每件元的价格购进某款果都吉祥物摆件，以每件元的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件．
（1）求该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率；
（2）从月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈游客，经试验，发现该吉祥物摆件每降价元，月销售量就会增加件．当该吉祥物摆件售价为多少元时，月销售利润达元？
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，
（1）设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，利用该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份的销售量该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：设该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：该款吉祥物摆件月份到月份销售量的月平均增长率为；
【小问2详解】
设该吉祥物摆件售价为元，则每件的销售利润为元，
∴月销售量为：，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：当该吉祥物摆件售价为元时，月销售利润达元．
23. 如图，有一块锐角三角形的余料，它的边，，要把它加工成菱形零件，使菱形的一边在上，其余的两个顶点分别在，上．若于点，交于点，，求的长度．
【答案】为．
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例和相似三角形对应高的比等于相似比的性质，菱形的性质．设菱形的边长为，根据菱形的对边平行可得，然后求出，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据相似三角形对应高的比等于相似比列式计算即可得解．
【详解】解：设菱形的边长为，
菱形对边，
，
，
即，
解得，
，
，
即，
解得，
答：的高为．
24. 在一块长为，宽为的矩形地面上，修建等宽的道路，剩余部分种上草坪．

（1）如图①，测得草坪的面积是，求道路的宽度；
（2）后来要在这块矩形地面上，重新进行规划，打算修建两横两竖等宽的道路（横竖道路各与矩形的一条边平行），如图②所示，剩余部分种上草坪，如果要使草坪的面积是地面面积的二分之一，道路的宽度应设计为多少？
【答案】（1）道路的宽度为
（2）道路的宽度应设计为
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的实际应用：
（1）利用平移的性质得到方程，求解即可；
（2）设横向道路的宽度为，竖向道路的宽度为，根据草坪的面积是地面面积的四分之一列得方程，解答即可．
【小问1详解】
解：设道路的宽度为．
根据题意，得．
整理，得．
解得，（不合题意，舍去）．
答：道路的宽度为．
【小问2详解】
解：设道路的宽度应设计为．
根据题意，得．
整理，得．
解得，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为．
25. 如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案．
【详解】解：如图，设与的交点为H，
∵点M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26. 如图，在中，，D是上一点，，连接．
（1）如图①，求证：；
（2）如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度；
（3）如图③，作交延长线于点F，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）根据相似三角形的性质，以及比例线段的性质，得到，，即可得证；
（2）证明，得到，代值计算即可；
（3）根据，推出，证明，推出，进而得到，即可得出结论．
【小问1详解】
解：证明：∵
∴，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵交的延长线于点F，
∴，
∴．
∴，即；
∴，
∴．A
B
5
C
10
D