2023-2024学年福建省泉州市德化二中高二（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市德化二中高二（下）期末数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2}，B={x∈Z|x2−2x<0}，则( )
A. A∩B={1}B. A=BC. A∪B=BD. A⊆B
2.已知2a+b=1，a>0，b>0，则1a+1b的最小值是( )
A. 2 2B. 3−2 2C. 3+2 2D. 3+ 2
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( )
A. y=csxB. y=e|x|C. y=lgxD. y=1x
4.复数5i−2的共轭复数是( )
A. 2+iB. −2−iC. −2+iD. 2−i
5.已知平面向量a，b满足|a|=|b|=2，(a+2b)⋅(a−b)=−2，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
6.已知a=20.3，b=lg0.32，c=0.50.3，则( )
A. c>a>bB. c>b>aC. a>b>cD. a>c>b
7.三棱锥A−BCD中，AB=AC=AD=2，∠BAD=90°，∠BAC=60°，则AB⋅CD等于( )
A. −2B. 2C. −2 3D. 2 3
8.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x−π6)的交点个数为( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是( )
A. 若两个三角形全等，则这两个三角形相似B. 若x>5，则x>10
C. 若ac=bc，则a=bD. 若010.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若ab≠0且a1bB. 若a>b>0且c>0，则b+ca+c>ba
C. 若0aD. a2+b2+1≥2(a−2b−2)
11.已知函数y=f(x)对任意实数x，y都满足2f(x+y2)f(x−y2)=f(x)+f(y)且f(1)=−1，则下列说法正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(0)=0
C. f(x)+f(1−x)=0
D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2023)=−1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)=(x2−1)lnx的零点个数为______．
13.函数f(x)=2csx⋅sin(x+π3)的最大值为______．
14.设函数f(x)=(2ex+1)24ex，x∈[0,+∞)，则函数f(x)的值域是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a=(3,2)，b=(−1,2)．
(1)求|a−2b|的值；
(2)若3a−b与a+kb共线，求实数k的值．
16.(本小题15分)
如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：
(1)直线EF//面ACD；
(2)平面EFC⊥面BCD．
17.(本小题15分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3csA=2．
(1)求A；
(2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求△ABC周长．
18.(本小题17分)
已知集合A={x|x2−8x+12≤0}，B={x|2x≥8}．
(1)求A∩B和∁R(A∪B)；
(2)若集合C={x|a−419.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为D，若存在常数k(k>0)，使得对D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|，则称f(x)是“k−利普希兹条件函数”．
(1)判断函数y=2x+1，y=x是否为“2−利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数y=f(x)是周期为2的“1−利普希兹条件函数”，证明：对定义域内任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤1．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.C
5.B
6.D
7.A
8.C
9.BCD
10.BD
11.ACD
12.1
13.1+ 32
14.[94,+∞)
15.解：(1)向量a=(3,2)，b=(−1,2)，
则a−2b=(5,−2)，
则有|a−2b|= 25+4= 29；
(2)根据题意，3a−b=(10,4)，a+kb=(3−k,2+2k)，
若3a−b与a+kb共线，则有10(2+2k)=4(3−k)，
解可得：k=−13；
故k=−13．
16.证明：(1)∵E，F分别是AB，BD的中点．
∴EF是△ABD的中位线，∴EF/​/AD，
∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF/​/面ACD；
(2)∵AD⊥BD，EF/​/AD，∴EF⊥BD，
∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD
又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，
∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD
17.解：(1)因为sinA+ 3csA=2，
所以2sin(A+π3)=2，即sin(A+π3)=1，
由A为三角形内角得A+π3=π2，
即A=π6；
(2)因为 2bsinc=csin2B，
2bsinC=2csinBcsB，由正弦定理可得： 2bc=2bccsB，
可得csB= 22，
又因为B∈(0,π)，所以B=π4，C=π−A−B=712π，
在△ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=212=4，
所以b=4sinB=2 2，c=4sinC=4sin7π12=4sin(π4+π3)= 6+ 2，
所以△ABC的周长为a+b+c=2+3 2+ 6．
综上，△ABC的周长为2+3 2+ 6．
18.解：(1)∵A={x|x2−8x+12≤0}={x|2≤x≤6}，B={x|2x≥8}={x|x≥3}，
∴A∩B={x|3≤x≤6}，
∴A∪B={x|x≥2}，∁R(A∪B)={x|x<2}；
(2)若C={x|a−4所以 a−4<2a+4≥6，解得2≤a<6，
故a的取值范围[2,6)．
19.解：(1)由题知，函数y=f(x)=2x+1的定义域为R，
所以|f(x1)−f(x2)|−2|x1−x2|=|2x1−2x2|−2|x1−x2|=0，
即|f(x1)−f(x2)|=2|x1−x2|，
所以函数y=2x+1是“2−利普希兹条件函数“；
函数y=g(x)=x的定义域为R，
所以|g(x1)−g(x2)|−2|x1−x2|=|x1−x2|−2|x1−x2|=−|x1−x2|<0，(x1≠x2)，
所以|g(x1)−g(x2)|<2|x1−x2|，
所以函数y=x是“2−利普希兹条件函数“；
(2)证明：若x1，x2∈[0,2](x1≠x2)，
当|x1−x2|≤1，则|f(x1)−f(x2)|≤|x1−x2|≤1；
若|x1−x2|>1，设0≤x1<1则|f(x1)−f(x2)|=|f(x1)−f(0)+f(2)−f(x2)|≤|f(x1)−f(0)|+|f(2)−f(x2)|
≤|x1|+|2−x2|=x1+2−x2<1，
所以对任意的x1，x2∈[0,2](x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤1，
因为函数y=f(x)(x∈R)是周期为2的周期函数，
所以对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都存在p1，p2∈[0,2]，使得f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，
所以f(x1)−f(x2)|=|f(p1)−f(p2)|≤1，
综上可得对定义域内任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤1．