2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法-专项训练【含解析】，共7页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列选项中表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝x0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝ eq \f(x2,x)
C．f(x)＝ eq \r((x－1)2)与g(x)＝x－1
D．f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x＜0))与g(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,|x|)，x≠0，,1，x＝0))
2．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x＜1，,f(x－3)，x≥1，))则f(9)＝( )
A．2B．9
C．65D．513
3．函数y＝lg2(2x＋1)＋ eq \r(3－4x)的定义域为( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4)))B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)
4．若函数f(x)＝lg (ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为( )
A．(－1，0)B．[－1，1]
C．(0，1)D．(1，＋∞)
二、 多项选择题
5．下列是函数图象的是( )

A B C D
6．已知符号函数sgn (x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则下列说法正确的是( )
A．函数y＝sgn (x)的图象关于y轴对称
B．对任意x∈R，sgn (ex)＝1
C．对任意的x∈R，|x|＝－x sgn (－x)
D．函数y＝x sgn (－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)
三、 填空题
7．若f( eq \r(x)＋1)＝x＋1，则f(x)的解析式为f(x)＝___．
8．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋ eq \r(x＋2)的定义域为__．
9．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋ eq \f(1,x2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝__ eq \f(22,9)__；若函数g(x)满足2g(x)＋g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，则g(2) ＝_．
四、 解答题
10．(1) 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；
(2) 已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；
(3) 若函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．
11．小明家院子中有块不规则空地，如图所示，小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0≤x≤4，,－\f(1,3)(x－10)，4＜x≤10.))小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地ABCD用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？(栅栏全部用完，不考虑材料的损耗)
B组 滚动小练
12．已知函数y＝ln (x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|1≤x≤4}，则(∁RA)∪B等于( )
A．[0，4]B．(0，4]
C．[1，3)D．[1，3]
13．(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的有( )
A．φ(5)＝φ(10)
B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝16
D．φ(2n＋2)＞φ(2n)，n是正整数
14．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.
(1) 若不等式f(x)＜1的解集为R，求实数m的取值范围；
(2) 解关于x的不等式f(x)≥(m＋1)x.
2025高考数学一轮复习-第6讲-函数的概念及其表示方法-专项训练（解析版）
一、 单项选择题
1．下列选项中表示同一个函数的是( D )
A．f(x)＝x0与g(x)＝1
B．f(x)＝x与g(x)＝ eq \f(x2,x)
C．f(x)＝ eq \r((x－1)2)与g(x)＝x－1
D．f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x＜0))与g(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,|x|)，x≠0，,1，x＝0))
【解析】对于A，因为f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x)的定义域为R，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；对于B，因为f(x)的定义域为R，而g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一个函数；对于C，易知函数f(x)＝ eq \r((x－1)2)和g(x)＝x－1的定义域为R，而f(x)＝ eq \r((x－1)2)的值域为[0，＋∞)，g(x)＝x－1的值域为R，两函数值域不同，故不能表示同一个函数；对于D，易知函数f(x)和g(x)的定义域为R，值域为{－1，1}，且g(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,|x|)，x≠0，,1，x＝0))＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥0，,－1，x＜0，))所以是同一个函数．
2．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x＜1，,f(x－3)，x≥1，))则f(9)＝( A )
A．2B．9
C．65D．513
【解析】f(9)＝f(9－3)＝f(6)＝f(3)＝f(0)＝20＋1＝2.
3．函数y＝lg2(2x＋1)＋ eq \r(3－4x)的定义域为( B )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4)))B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4)))
C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))∪(0，＋∞)
【解析】令 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1＞0，,3－4x≥0，))解得－ eq \f(1,2)＜x≤ eq \f(3,4)，故定义域为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,4))).
4．若函数f(x)＝lg (ax2－2x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围为( D )
A．(－1，0)B．[－1，1]
C．(0，1)D．(1，＋∞)
【解析】由函数f(x)＝lg (ax2－2x＋a)的定义域为R，所以ax2－2x＋a＞0恒成立，令h(x)＝ax2－2x＋a.当a＝0时，ax2－2x＋a＝－2x，显然－2x＞0不恒成立，舍去；当a≠0时，若h(x)＝ax2－2x＋a＞0恒成立，则需 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞0，,Δ＝4－4a2＜0，))解得a＞1.综上，实数a的取值范围为(1，＋∞).
二、 多项选择题
5．下列是函数图象的是( ABD )

A B C D
6．已知符号函数sgn (x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))则下列说法正确的是( BCD )
A．函数y＝sgn (x)的图象关于y轴对称
B．对任意x∈R，sgn (ex)＝1
C．对任意的x∈R，|x|＝－x sgn (－x)
D．函数y＝x sgn (－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)
【解析】对于A，若y＝sgn (x)的图象关于y轴对称，则y＝sgn (x)为偶函数，应该满足sgn (－1)＝sgn (1)，但sgn (－1)＝－1，sgn (1)＝1，即sgn (－1)≠sgn (1)，故A错误；对于B，因为ex＞0，所以对任意x∈R，sgn (ex)＝1，故B正确；对于C，当x＜0时，sgn (－x)＝1，当x＝0时，sgn (－x)＝0，当x＞0时，sgn (－x)＝－1，则－x sgn (－x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x＜0，,0，x＝0，,x，x＞0，))即－x sgn (－x)＝|x|，故C正确；对于D，当x∈(0，1)时，－ln x＞0，y＝x sgn (－ln x)＝x∈(0，1)，当x＝1时，－ln x＝0，y＝x sgn (－ln x)＝0，当x∈(1，＋∞)时，－ln x＜0，y＝x sgn (－ln x)＝－x∈(－∞，－1)，即函数y＝x sgn (－ln x)的值域为(－∞，－1)∪[0，1)，故D正确．
三、 填空题
7．若f( eq \r(x)＋1)＝x＋1，则f(x)的解析式为f(x)＝__x2－2x＋2(x≥1)__．
【解析】令 eq \r(x)＋1＝t，t≥1，则x＝(t－1)2，则f(t)＝(t－1)2＋1＝t2－2t＋2，t≥1，所以f(x)＝x2－2x＋2(x≥1).
8．已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋ eq \r(x＋2)的定义域为__[－2，－1)__．
【解析】因为f(x)的定义域为(－4，－2)，要使g(x)＝f(x－1)＋ eq \r(x＋2)有意义，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4＜x－1＜－2，,x＋2≥0，))解得－2≤x＜－1，所以函数g(x)的定义域为[－2，－1).
9．已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋ eq \f(1,x2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝__ eq \f(22,9)__；若函数g(x)满足2g(x)＋g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，则g(2) ＝__ eq \f(7,6)__．
【解析】因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋ eq \f(1,x2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) eq \s\up12(2)＋2，所以f(x)＝x2＋2，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝ eq \f(4,9)＋2＝ eq \f(22,9).由已知可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2g(x)＋g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝x，,2g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋g(x)＝\f(1,x)，))解得g(x)＝ eq \f(2x2－1,3x)，其中x≠0，因此，g(2)＝ eq \f(7,6).
四、 解答题
10．(1) 已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，求函数f(x－5)的定义域；
【解答】 因为f(x)的定义域为[－1，5]，所以f(x－5)需满足－1≤x－5≤5，解得4≤x≤10，所以f(x－5)的定义域为[4，10].
(2) 已知函数f(x－1)的定义域是[0，3]，求函数f(x)的定义域；
【解答】 因为f(x－1)的定义域为[0，3]，所以0≤x≤3，－1≤x－1≤2，所以f(x)的定义域为[－1，2].
(3) 若函数f(x)的定义域为[0，1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m＞0)的定义域．
【解答】 因为f(x)的定义域为[0，1]，所以g(x)需满足 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x＋m≤1，,0≤x－m≤1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m≤x≤1－m，,m≤x≤m＋1.))当1－m＜m，即m＞ eq \f(1,2)时，g(x)的定义域为∅；当1－m＝m，即m＝ eq \f(1,2)时，g(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))；当1－m＞m，即0＜m＜ eq \f(1,2)时，g(x)的定义域为[m，1－m].
11．小明家院子中有块不规则空地，如图所示，小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0≤x≤4，,－\f(1,3)(x－10)，4＜x≤10.))小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地ABCD用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？(栅栏全部用完，不考虑材料的损耗)
【解答】 设A(t2，t)，0＜t＜4，因为f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(x)，0≤x≤4，,－\f(1,3)(x－10)，4＜x≤10，))则B(10－3t，t)，所以10－3t－t2＋2t＝8，解得t＝1，即A(1，1)，B(7，1)，此时矩形ABCD的面积为6×1＝6m2，即小明的爸爸需要购买6平方米的草皮才能铺满矩形草地．
B组 滚动小练
12．已知函数y＝ln (x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|1≤x≤4}，则(∁RA)∪B等于( A )
A．[0，4]B．(0，4]
C．[1，3)D．[1，3]
【解析】由题意可知，x2－3x＞0，所以x＜0或x＞3，所以A＝{x|x＜0或x＞3}，故∁RA＝{x|0≤x≤3}．因为B＝{x|1≤x≤4}，所以(∁RA)∪B＝[0，4].
13．(多选)若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，则下列说法正确的有( AC )
A．φ(5)＝φ(10)
B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝16
D．φ(2n＋2)＞φ(2n)，n是正整数
【解析】由题意得φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；当n＝4时，φ(2n－1)＝φ(15)＝8≠1，故B不正确；因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，共有16个，所以φ(32)＝16，故C正确；当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确．
14．已知函数f(x)＝(m＋1)x2－(m－1)x＋m－1.
(1) 若不等式f(x)＜1的解集为R，求实数m的取值范围；
【解答】根据题意，当m＋1＝0，即m＝－1时，f(x)＝2x－2，不合题意；当m＋1≠0，即m≠－1时，f(x)＜1的解集为R，即(m＋1)x2－(m－1)x＋m－2＜0的解集为R，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1＜0，,Δ＝(m－1)2－4(m＋1)(m－2)＜0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜－1，,3m2－2m－9＞0，))解得m＜ eq \f(1－2\r(7),3)，故m∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1－2\r(7),3))).
(2) 解关于x的不等式f(x)≥(m＋1)x.
【解答】 f(x)≥(m＋1)x，即(m＋1)x2－2mx＋m－1≥0，即[(m＋1)x－(m－1)](x－1)≥0.①当m＋1＝0，即m＝－1时，解集为{x|x≥1}；②当m＋1＞0，即m＞－1时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m－1,m＋1)))(x－1)≥0，因为 eq \f(m－1,m＋1)＝1－ eq \f(2,m＋1)＜1，所以解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x≤\f(m－1,m＋1)或x≥1))；③当m＋1＜0，即m＜－1时， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(m－1,m＋1)))(x－1)≤0，因为 eq \f(m－1,m＋1)＝1－ eq \f(2,m＋1)＞1，所以解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1≤x≤\f(m－1,m＋1))).综上，当m＜－1时，解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))1≤x≤\f(m－1,m＋1)))；当m＝－1时，解集为{x|x≥1}；当m＞－1时，解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(x))x≤\f(m－1,m＋1)或x≥1)).