2025高考数学一轮复习-7.6.1-向量法求空间角-专项训练【含答案】

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1．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝1，PC＝3.
(1)求证：BC⊥平面PAB；
(2)求二面角A-PC-B的大小．
2．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E.
(1)求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；
(2)当三棱锥B1-BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．
3．如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AB＝2，AA1＝23，E为线段DD1上一点．
(1)求证：AC⊥B1D；
(2)若平面AB1E与平面ABCD的夹角的余弦值为25，求直线BE与平面AB1E所成角的正弦值．
4．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，△PAC中，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上的动点，求直线PQ与平面AEF所成的角的取值范围．
参考答案
1．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，同理PA⊥AB，
所以△PAB为直角三角形，
又因为PB＝PA2+AB2＝2，BC＝1，PC＝3，
所以PB2＋BC2＝PC2，则△PBC为直角三角形，故BC⊥PB.
又因为BC⊥PA，PA∩PB＝P，
所以BC⊥平面PAB.
(2)由(1)知BC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，则BC⊥AB，
以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，所以AP＝(0，0，1)，AC＝(1，1，0)，BC＝(0，1，0)，PC＝(1，1，－1)．
设平面PAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则m·AP＝0，m·AC＝0，即z1=0，x1+y1=0，
令x1＝1，则y1＝－1，所以m＝(1，－1，0)为平面PAC的一个法向量，
设平面PBC的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则n·BC=0，n·PC=0，即y2=0，x2+y2−z2=0，
令x2＝1，则z2＝1，所以n＝(1，0，1)为平面PBC的一个法向量，
所以cs 〈m，n〉＝m·nmn＝12×2＝12.
又因为二面角A-PC-B为锐二面角，
所以二面角A-PC-B的大小为π3.
2．解：(1)证明：取BC1中点M，连接EM，MD，如图所示．
∵AB＝AC，点D是BC的中点， ∴AD⊥BC，
又∵M是BC1的中点，∴DM∥CC1 ，
又∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，有AA1∥CC1，AA1⊥平面ABC，
∴DM∥AE，DM⊥平面ABC，
∵AD∥平面BC1E，且AD⊂平面ADME，平面ADME∩平面BC1E＝EM，∴AD∥ME，
∵CC1⊥平面ABC，且AD⊂平面ABC，
∴CC1⊥AD，
又∵CC1∩BC＝C，且CC1，BC⊂平面BB1C1C，
∴AD⊥平面BB1C1C.
又∵AD∥ME，∴ME⊥平面BB1C1C，
∵ME⊂平面BC1E，
∴平面BC1E⊥平面BB1C1C.
(2)由(1)知ME⊥平面BB1C1C，
则VB1−BC1E＝13S△B1BC1·ME，
设BC＝2a，则BD＝a，AD＝9−a2，S△B1BC1＝12×2a×3＝3a，
∴VB1−BC1E＝13·3a·9−a2≤a2+9−a22＝92，
由基本不等式知，当且仅当a＝9−a2时等号成立，
即三棱锥B1-BC1E的体积最大，此时a＝322.
以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，DM所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则有A322，0，0，C0，−322，0，B0，322，0，E322，0，32，C10，−322，3，∴AC＝−322，−322，0，C1B＝(0，32，－3)，BE＝322，−322，32，设平面BC1E的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则有n·C1B=32y1−3z1=0，n·BE=322x1−322y1+32z1=0，
取y1＝2，解得n＝(0，2，2)为平面BC1E的一个法向量，
设直线AC与平面BC1E所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈n，AC〉|＝33×2+4＝66，
故直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为66.
3．解：(1)证明：连接BD，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD.
又BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.
又BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BDB1，
∴AC⊥平面BDB1．又B1D⊂平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)设CD的中点为F，连接AF，如图．
∵△ACD为等边三角形，∴AF⊥CD，
又CD∥AB，则AF⊥AB.
又AA1⊥平面ABCD，则AA1⊥AB，AA1⊥AF.
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(1，3，0)，E(－1，3，h)(0≤h≤23)，B1(2，0，23)，
AB1＝(2，0，23)，AE＝(－1，3，h)，
设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，
∴n·AB1=0，n·AE=0，∴2x+23z＝0，−x+3y+ℎz＝0，
令x＝3，则n＝(3，h＋3，－3)为平面AB1E的一个法向量．
又平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)，
则cs 〈n，m〉＝n·mnm＝−3ℎ2+23ℎ+15.
又平面AB1E与平面ABCD的夹角的余弦值为25，
∴3ℎ2+23ℎ+15＝25，0≤h≤23，
∴h＝32ℎ=−532舍去，∴BE＝−3，3，32，
cs〈BE，n〉＝BE·nBEn＝−6512·752＝−81785.
∴直线BE与平面AB1E所成角的正弦值为81785.
4．解：(1)证明： 因为C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，∴BC⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC.
(2)∵E，F分别是PC，PB的中点，∴BC∥EF.
又EF⊂平面AEF，BC⊄平面AEF，∴BC∥平面AEF，
又BC⊂平面ABC，平面AEF∩平面ABC＝l，
∴BC∥l.
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴，过C且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，
则A(2，0，0)，B(0，4，0)，P(1，0，3)，
∴E12，0，32，F12，2，32，
∴AE＝−32，0，32，EF＝(0，2，0)，
∵BC∥l，∴可设Q(2，y，0)，平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，
则AE·m=−3x2+3z2=0，EF·m=2y=0，取z＝3，得m＝(1，0，3)为平面AEF的一个法向量，又PQ＝(1，y，－3)，则|cs〈PQ，m〉|＝PQ·mPQ·m＝14+y2∈0，12.
∴直线PQ与平面AEF所成角的取值范围为0，π6