2025高考数学一轮复习-7.3-直线、平面平行的判定与性质-专项训练【含解析】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.3-直线、平面平行的判定与性质-专项训练【含解析】，共10页。

A．平行 B．相交
C．AC在此平面内D．平行或相交
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．对于平面α和不重合的两条直线m，n，下列选项中正确的是( )
A．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
4．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )
A．0条B．1条
C．2条D．1条或2条
5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为64，若点M∈平面A1BD，点N∈平面B1CD1，则MN的最小值为( )
A．eq \f(8\r(3),3)B．eq \f(4\r(3),3)
C．eq \f(8,3)D．eq \f(4,3)
6．(多选)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥c,b∥c))⇒a∥bB．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥b
C．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥c,β∥c))⇒α∥βD．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β
7．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是( )
A．BM∥平面ADEB．CN∥平面BAF
C．平面BDM∥平面AFND．平面BDE∥平面NCF
8．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
9．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．
可以填入的条件有________(填序号)．
10．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG．
11．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
12．如图，正八面体PABCDQ的棱长为2，点E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，则过E，F，H三点的平面α截该正八面体所得截面的面积等于________．
13．如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．
14．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．
(1)找到点E的位置，作出截面α(保留作图痕迹)，并说明理由；
(2)已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(9,8)
C．eq \r(3) D．eq \f(\r(6),2)
16．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
7.3-直线、平面平行的判定与性质-专项训练【解析版】
1．如果AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．AC在此平面内D．平行或相交
解析：A 把这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG，∵EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG，故选A．
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂α，则“α∥β”得“m∥β且n∥β”，根据面面平行的判定定理得“m∥β且n∥β”不能得“α∥β”，所以“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．故选A．
3．对于平面α和不重合的两条直线m，n，下列选项中正确的是( )
A．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥n
B．如果m⊂α，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥α
D．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α
解析：A 由线面平行的性质定理，可知A正确，B选项中，n可以与m相交，C选项中，直线n可以与平面α相交，D选项中，n可以在平面α内．故选A．
4．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )
A．0条B．1条
C．2条D．1条或2条
解析：C 如图所示，平面α即平面EFGH，则四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH．∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD．又∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，∴EF∥CD．又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH．∴CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条．
5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为64，若点M∈平面A1BD，点N∈平面B1CD1，则MN的最小值为( )
A．eq \f(8\r(3),3)B．eq \f(4\r(3),3)
C．eq \f(8,3)D．eq \f(4,3)
解析：B 由正方体特征知BD∥B1D1，又BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，∴BD∥平面B1CD1，同理可得A1D∥平面B1CD1，又BD∩A1D＝D，BD，A1D⊂平面A1BD，∴平面A1BD∥平面B1CD1，∴MN的最小值为平面A1BD到平面B1CD1的距离，∵正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为64，设正方体棱长为a，则a3＝64，∴a＝4，∴AC1＝eq \r(3)a＝4eq \r(3)，∴MNmin＝eq \f(1,3)AC1＝eq \f(4\r(3),3)．故选B．
6．(多选)α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不重合的直线，则下列命题中正确的是( )
A．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥c,b∥c))⇒a∥bB．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥b
C．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥c,β∥c))⇒α∥βD．eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β
解析：AD 对于A，由点线面位置关系的基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行，故正确．对于B，两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线可能相交，也可能是异面直线，不一定平行，故不正确．对于C，两个平面都与同一条直线平行，则这两个平面可以平行，也可以相交，故不正确．对于D，由面面平行的传递性可知平行于同一平面的两个平面平行，故正确．故选A、D．
7．(多选)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下说法正确的是( )
A．BM∥平面ADEB．CN∥平面BAF
C．平面BDM∥平面AFND．平面BDE∥平面NCF
解析：ABCD 以ABCD为下底还原正方体，如图所示，则有BM∥平面ADE，CN∥平面BAF，选项A、B正确；在正方体中，BD∥FN, FN⊂平面AFN，BD⊄平面AFN，所以BD∥平面AFN，同理BM∥平面AFN，BM∩BD＝B，BM，BD⊂平面BDM，所以平面BDM∥平面AFN，同理平面BDE∥平面NCF，选项C、D正确，故选A、B、C、D．
8．在三棱锥P­ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
解析：如图，过点G作EF∥AC，分别交PA，PC于点E，F，过点E作EN∥PB交AB于点N，过点F作FM∥PB交BC于点M，连接MN，则四边形EFMN是平行四边形(平面EFMN为所求截面)，且EF＝MN＝eq \f(2,3)AC＝2，FM＝EN＝eq \f(1,3)PB＝2，所以截面的周长为2×4＝8．
答案：8
9．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ．
可以填入的条件有________(填序号)．
解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当m∥γ，n∥β时，n和m可能平行或异面，②错误；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以m∥n，③正确．
答案：①或③
10．如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG．
证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，因为四边形ADEF为平行四边形，所以O为AE的中点．
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF．
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．
因为M为AB的中点，N为AD的中点，所以MN为△ABD的中位线，
所以BD∥MN，又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，
又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG．
11．(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边AB于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是( )
A．没有水的部分始终呈棱柱形
B．水面EFGH所在四边形的面积为定值
C．随着容器倾斜程度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行
D．当容器倾斜如图(3)所示时，AE·AH为定值
解析：AD 根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行)，结合题中图形易知A正确；由题图可知水面EFGH的边EF的长保持不变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知B错误；因为A1C1∥AC，AC⊂平面ABCD，A1C1⊄平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，当平面EFGH不平行于平面ABCD时，A1C1不平行于水面所在平面，故C错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱柱AEH­BFG的体积V为定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不变，所以S△AEH也不变，即AE·AH为定值，故D正确．
12．如图，正八面体PABCDQ的棱长为2，点E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，则过E，F，H三点的平面α截该正八面体所得截面的面积等于________．
解析：∵E，F，H分别是PA，PB，BC的中点，∴EF∥AB，又EF⊄平面ABQ，AB⊂平面ABQ，∴EF∥平面ABQ．同理得FH∥平面CDP．又平面ABQ∥平面CDP，EF∩FH＝F，∴平面α∥平面ABQ∥平面CDP．设平面α与CQ相交于点M(图略)，则HM∥BQ，故M为CQ的中点．同理得平面α也过DQ，AD的中点，结合正八面体的对称性，得截面是边长为1的正六边形，其面积S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×1×1×sin 60°))×6＝eq \f(3\r(3),2)．
答案：eq \f(3\r(3),2)
13．如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．
解析：连接HN，FH，FN(图略)，则FH∥DD1，HN∥BD，且FH∩HN＝H，D1D∩BD＝D，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1．
答案：点M在线段FH上
14．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，点F在棱CC1上，过B，D1，F三点的正方体的截面α与直线AA1交于点E．
(1)找到点E的位置，作出截面α(保留作图痕迹)，并说明理由；
(2)已知CF＝a，求α将正方体分割所成的上半部分的体积V1与下半部分的体积V2之比．
解：(1)在正方形CDD1C1中，过F作FG∥DC，且交棱DD1于点G，
连接AG，在正方形ADD1A1内过D1作D1E∥AG，且交棱AA1于点E，连接EB，则四边形BED1F就是要作的截面α(如图所示)．
理由：由题意，平面α∩平面AD1＝D1E，α∩平面BC1＝BF，平面AD1∥平面BC1，应有D1E∥BF，
同理，BE∥FD1，所以四边形BED1F应是平行四边形．
(2)由题意，CF＝a(0连接D1B1，则平面α将正方体分割所成的上半部分的几何体可视为四棱锥D1­A1EBB1与四棱锥D1­B1BFC1的组合体，
V1＝VD1­A1EBB1＋VD1­B1BFC1＝eq \f(1,3)×eq \f(a＋1×1,2)×1＋eq \f(1,3)×eq \f([1－a＋1]×1,2)×1＝eq \f(1,2)，
而该正方体的体积V＝1，V2＝V－V1＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)．所以V1∶V2＝1．
15．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A．eq \r(2) B．eq \f(9,8)
C．eq \r(3) D．eq \f(\r(6),2)
解析：B 如图①，分别取B1C1，C1D1的中点E，F，连接EF，BE，DF，B1D1，ME，易知EF∥B1D1∥BD，AB∥ME，AB＝EM，所以四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE，又BD和BE为平面BDFE内的两条相交直线．所以平面AMN∥平面BDFE，即平面BDFE为平面α，BD＝eq \r(2)，EF＝eq \f(1,2)B1D1＝eq \f(\r(2),2)，得四边形BDFE为等腰梯形，DF＝BE＝eq \f(\r(5),2)，如图②，在等腰梯形BDFE中，过E，F作BD的垂线，交BD于H，G，则四边形EFGH为矩形，所以其高FG＝eq \r(DF2－DG2)＝eq \r(\f(5,4)－\f(1,8))＝eq \f(3\r(2),4)，故所得截面的面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)＋\r(2)))×eq \f(3\r(2),4)＝eq \f(9,8)．
16．如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析：C 如图，过M作MQ∥DD1，交AD于点Q，连接QN．
∵MN∥平面DCC1D1，MQ∥平面DCC1D1，MN∩MQ＝M，∴平面MNQ∥平面DCC1D1．又平面ABCD与平面MNQ和DCC1D1分别交于QN和DC，∴NQ∥DC，可得QN＝CD＝AB＝1，AQ＝BN＝x，∵eq \f(MQ,AQ)＝eq \f(DD1,AD)＝2，∴MQ＝2x．在Rt△MQN中，MN2＝MQ2＋QN2，即y2＝4x2＋1，∴y2－4x2＝1(0≤x<1，1≤y