2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-1.4-基本不等式及其应用-专项训练【含答案】，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．已知4a2＋b2＝6，则ab的最大值为( )
A．34 B．32
C．52 D．3
2．已知00，y>0，所以x·2y≤x+2y22，即2xy≤x+2y24，因为x＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤x+2y24，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(当且仅当x＝2y时等号成立)，所以x＋2y的最小值为4，故C错误；
对于D，x2−x+9x−1＝x−12+x−1+9x−1＝－1−x+91−x＋1≤－29＋1＝－5，当且仅当－(x－1)＝－9x−1，即x＝－2时，等号成立．故D正确．]
8．ABD [因为2x＋y＝3，且x，y均为正实数，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥22xy，即xy≤98，4x＋2y≥24x×2y＝222x+y＝42，当且仅当2x＝y时等号成立，A，B正确；
由不等式a2+b22≥a+b2，得4x2+y22≥2x+y2，所以4x2＋y2≥2x+y22，即x2＋y24≥98，当且仅当2x＝y时等号成立，C错误或x2+y24=144x2+y2=143−y2+y2=14 2y−322+92 ≥98.
因为2x＋y＝3，所以xy+1x＝xy+13x(2x＋y)＝23+xy+y3x≥23＋2xy·y3x＝23+233，当且仅当y＝3x时等号成立，D正确．故选ABD.]
9．[9，＋∞) [6，＋∞) [因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．
因为a＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab ≤a+b22，变形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号，即a＋b的取值范围是[6，＋∞)．]
10．12 (－∞，9] [因为x＋y＝1，所以xy≤x+y22＝14，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－14×2＝12，当且仅当x＝y＝12时取等号，即x2＋y2的最小值为12.
若a≤1x+4y恒成立，则a≤1x+4ymin，
因为1x +4y＝1x+4y(x＋y)＝5＋yx+4xy≥5＋2yx·4xy＝9，当且仅当2x＝y，即x＝13，y＝23时等号成立，所以1x+4y的最小值为9，即a≤9，
故实数a的取值范围是(－∞，9].]
11．解：设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，
∴海报宽AD＝(x＋4)cm，海报长DC＝1 440x+8cm，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)1 440x+8＝8x＋5 760x＋1 472≥28x·5 760x＋1 472＝1925＋1 472，
当且仅当8x＝5 760x，即x＝125时，等号成立．
∴当直角梯形的高为125 cm时，用纸量最少．
12．解：(1)由题意得，可变成本为14v2元，固定成本为a元，所用时间为1 000v小时，所以y＝1 000v14v2+a＝1 00014v+av，定义域为(0，80].
(2)y＝1 00014v+av≥1 000×2a4＝1 000a，当14v＝av时，得v＝2a，因为0a恒成立，
令x＋1＝t，x+42x+1＝t+32t＝t＋9t＋6，t∈[4，7].
令g(t)＝t＋9t＋6，则g(t)在t∈[4，7]上单调递增，故g(t)min＝12.25.
所以a的取值范围为(0，12.25)．
点拨：当f (x)＝x＋ax(a＞0)不能用基本不等式求最值(“＝”取不到)时，要用对勾函数的单调性