福建省龙岩市2024届九年级下学期学业质量检查（二模）数学试卷(含答案)

这是一份福建省龙岩市2024届九年级下学期学业质量检查（二模）数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意：
请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
在本试题上答题无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1．是的
A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
2．如图所示的北宋时期的汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值，关于它的三视图，下列说法正确的是
A．主视图与左视图相同
B．主视图与俯视图相同
（第2题图）
C．左视图与俯视图相同
D．三种视图都相同
3．2023年10月31日，神舟十六号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园，六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是
A．B．C．D．
4．下列各式计算正确的是
A．B．
C．D．
5．福建省第十四届人民代表大会第二次会议于2024年1月23日在福州开幕，政府工作报告指出，初步统计，2023年全省地区生产总值54355亿元，同比增长4.5%．数值54355用科学记数法表示为
A．B．C．D．
6．两名射击运动员进行了相同次数的射击训练，下列关于他们训练成绩的平均数和方差的描述中，能说明成绩较好且更稳定的是
A．且B．且
C．且D．且
7．如图，中，于点，点是的中点，连接，则下列结论不一定正确的是
A．
B．//
（第7题图）
C．
D．
8．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为，根据题意可列方程
A．B．
C．D．
9．平面直角坐标系中，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为
A．B．C． D．
10．如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为
A． B．
（第10题图）
C． D．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
11．一次函数的图象经过点，则的值是 ．
12．正多边形一个内角的度数是，则该正多边形的边数是 ．
13．已知，，则代数式的值为_______．
14．“学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一个场馆的概率是 ．
15．在边长为6的菱形中，点分别是上的点，且，是直线上的动点，则的最大值为______．
16．抛物线经过四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
解方程组：．
18．（8分）
（第18题图）
如图，将沿射线方向平移得到，的对应点分别是．
（1）若，求的度数；
（2）若，当时，求的长．


19．（8分）
先化简，再求值：，其中．
20．（8分）
如图，四边形中，，将线段绕点逆时针旋转得线段．
（1）作出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，求证：．
（第20题图）
21．（8分）
实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购两种树苗，已知种树苗单价（每棵树苗的价格）比种树苗多3元，用360元购买种树苗和用540元购买种树苗的棵数相同．
（1）求两种树苗的单价分别是多少？
（2）红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买种树苗多少棵？
22．（10分）
某校“综合与实践”小组为了了解全校3600名学生周末参加体育运动的情况，随机抽取部分（同一批）学生进行问卷调查，形成了如下不完整的调查报告：
数据的收集与整理
问题1：您平均每周末参加体育运动时间是（每项含最小值，不含最大值）
A．0~1小时；B．1~2小时；C．2~3小时；D．3小时及以上．
问题2：您每周末参加体育运动的主要方式是
E．打篮球；F．打羽毛球；G．跑步；H．其他．
平均每周末参加体育运动时间的调查统计图
每周末选择的运动方式调查统计表
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周末参加体育运动时间在“3小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两个问题的调查数据分别写出一条你获取的信息．
23．（10分）阅读素材并解决问题．
24．（12分）
抛物线与轴的交点为，顶点为，对称轴与轴的交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点在线段上，若上存在点，使得，且，求点的坐标；
（3）点是抛物线上的一个动点（不与点重合），直线分别与抛物线的对称轴相交于点，求证：与的面积相等．
25．（14分）
在锐角内部取一点，过点分别作于点，作于点，以为直径作，的延长线与交于点．
（1）求证：；
（2）若，点在的延长线上，求证：是的切线；
（3）当时，连接，若于点，求的值．
2024年龙岩市九年级学业（升学）质量检查
数学试题参考答案
一、选择题：本大题共10题，每题4分，共40分。
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。
11．3； 12．12； 13．-8； 14．； 15．4； 16．或
16．解析：
由抛物线经过两点可知抛物线的对称轴
抛物线在和部分是对称的，
依题意，点不在这两部分抛物线上，
∵，
∴或，解得：或．
三、解答题：本大题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：由②得③…………………………（2分）
把③代入①得：
解得：…………………………（4分）
把代入③得：…………………………（7分）
∴方程组的解是．…………………………（8分）
（备注：用加减法参照给分）
18．解：（1）由平移的性质得…………………………（2分）
∴四边形是平行四边形 …………………………（3分）
∴ …………………………（4分）
（2）由平移的性质得 ……………………（6分）
又∵ …………………………（7分）
∴ …………………………（8分）
19．解：原式 …………………………（2分）
…………………………（4分）
…………………………（6分）
当时， …………………………（7分）
原式． …………………………（8分）
20．解：（1）如图示：线段即为所作线段…………………………（4分）
方法一： 方法二： 方法三：
（备注：正确作图3分，说明作图结果1分，其他作法参照给分）
（2）证明：∵，
∴是等边三角形，……………（5分）
∵绕点旋转60°得线段，
∴，
∴
即…………………（6分）
在和中
………………………（7分）
∴
∴．…………………………（8分）
解：（1）设种树苗的单价每棵元，则种树苗的单价每棵()元．
…………………………（1分）
则依题意可得：，…………………………（3分）
解得，…………………………（4分）
经检验：是原方程的解．

答：种树苗的单价每棵6元，种树苗的单价每棵株9元．
…………………………（5分）
（2）设红旗村决定购买种树苗棵，则购买种树苗棵．
依题意可得：，…………………………（6分）
解得：…………………………（7分）
∵是整数，∴
答：红旗村最多可以购买种树苗333棵．…………………………（8分）
解：（1）依题意可得： …………………………（2分）
． ………………………………（4分）
（2）平均每周周末参加体育运动的时间在“3小时及以上”的人数为：
．………………………（8分）
（3）答案不唯一．
如：由问题1可知：周末运动时间为“1~2小时”的人数最多，“3小时及以上”的人数最少；由问题2可知：周末运动方式中“打篮球”的人数最多，“跑步”的人数最少． ………………………（10分）
23.解：问题1： ． ………………………（2分）
问题2 ：设，，∴
根据三角形内角和可得：
∴ ………………………（3分）
∵
∴………………（4分）
∵平分
∴ ………………………（5分）
∵
∴
∴
∴．………………（6分）
问题3：方法一：设
∵，，且点，点在双曲线上，
∴ ………………………（7分）
∴，
∴
………………………（8分）
∴，……………（9分）
∴
∴
∴． ………………………（10分）
方法二：设
轴，轴，且点、点在双曲线上，
………………………（7分）
∴，
∴
………………………（8分）
∴，
∴ ………………………（9分）
又∵
∴
∴
∴． ………………………（10分）
24．（1）解法一：把代入得，
………………………（2分）
解得： ………………………（3分）
所求抛物线的解析式为 ………………………（4分）
解法二：∵抛物线与轴的交点为，
∴抛物线的解析式为 ………（4分）
（2）解法一：如图，抛物线的对称轴，顶点
………………………（5分）
∴，
过点作于，
由，可知，且，

，………………………（6分）
设，则
∵，，
∴，………………………（7分）
即，解得：，∴……………（8分）
解法二：如图，抛物线的对称轴，
顶点 …………（5分）
∵点，
∴，直线的解析式：， ………………………（6分）
过点作于，
由，可知，且，
，
设，则，
∴点的坐标为， ………………………（7分）
代入得，
，
解得：，∴ ………………………（8分）
（3）如图，设点，则且
设直线解析式，
依题意：，解得：
∴直线解析式， ………………………（9分）
当时，，
∴点的坐标为，
………………………（10分）
同理可求直线的解析式为，
当时，
∴点的坐标为，……………………（11分）
，
设点到直线的距离为，
则，
∵，
∴，即与的面积相等 …………………（12分）
25．（14分）
（1）证明：是的直径
，即 ………………………（1分）
，, …………………（2分）
,, ……………………（3分）
……………………（4分）
（2）证明：连接，则点在上，
过作于E …………………（5分）
由（1）
平分…………………（6分）
……………………（7分）
是的切线……………………（8分）
（备注：求出同样给分）
（3）解法一：过点作于点，过点作于点
则，，
设，
由（1）得，
∴四边形是矩形
∴
∵
∴
∴……（9分）
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴ …………………………………（10分）
∴，即
∴ …………………………………………………（11分）
∴
………………………（12分）
∴， ……（13分）
∴
∴………………………（14分）
解法二：∵，
………………………（9分）
∵，
………………（10分）
∴,
∵，……………………（11分）
（备注，用相似三角形或射影定理得同样得分）
过点作于点，
设，
∵，
由（1），
中，，
∴ …………（12分）
∵，
∴， …………………（13分）
，
∴． ……………………（14分）
解法三：过点作于点，延长交于点
解答要点如下：
（1）由，得，
,,,,都是等腰直角三角形.
（2）根据解法二得
（3）设，
则
（4）用勾股定理，射影定理（相似三角形）或三角函数求出
（参照前面给分）
运动方式
E
F
G
H
人数
108
93
m
66
设而不求
材料
“设而不求”法又叫“增设辅助未知量法”或“设参法”，基本思路是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题．
问题1
有麻料、棉料、毛料三种布料，若购买3匹麻料、7匹棉料、1匹毛料共需315元；若购买4匹麻料、10匹棉料、1匹毛料共需420元．现需购买麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？
解：依题意，可设每匹麻料、棉料、毛料的价格各为x元、y元、z元．
列出方程组：
通过①×3-②×2，直接可得 ．
问题2
如图，已知中，，，为线段上的两点，且，平分，设，用表示其它有关的角，可求的度数，请写出求解过程．
问题3
如图，已知点是第一象限位于双曲线上方的一点，过点作轴于点，交双曲线于点；再过点作轴于点，交双曲线于点，设，求证：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
C
C
B
A
D
B
C