初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习分类讨论二次函数最值

这是一份初中数学中考复习专题满分秘籍讲义练习分类讨论二次函数最值，共25页。试卷主要包含了如图，抛物线与轴交于，两点等内容，欢迎下载使用。
（Ⅰ）求，的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线与轴的另一个交点为，抛物线的顶点为，连接，，，．求证：；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数，
（1）当时，求函数的最大值和最小值；
（2）设函数在内的最大值为，最小值为，若，求的值．
【分析】首先解方程求得、两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
根据解方程直接写出点的坐标，然后确定顶点的坐标，根据两点的距离公式可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得，根据边长可得和两直角边的比相等，则两直角三角形相似；
（1）确定抛物线的对称轴是，根据增减性可知：时，有最大值，当时，有最小值；
（2）分5种情况：①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧；②当时；③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当时，⑤函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【解答】解：，分别是方程的两个实数根，且，
用因式分解法解方程：，
，，
，，
，，
把，代入得，，解得，
函数解析式为．
证明：令，即，
解得，，
抛物线与轴的交点为，，
，，
对称轴为，顶点，即，
，，，
，
是直角三角形，且，
，
在和中，，，
，
；
解：抛物线的对称轴为，顶点为，
（1）在范围内，
当时，；当时，；
（2）①当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，当时取得最小值，最大值，
令，即，解得．
②当时，此时，，不合题意，舍去；
③当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时，令，即解得：（舍，（舍；
或者，即（不合题意，舍去）；
④当时，此时，，不合题意，舍去；
⑤当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时取得最大值，最小值，
令，解得．
综上，或．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．
2．在平面直角坐标系中，函数和的图象关于轴对称，它们与直线分别相交于点，．
（1）如图，函数为，当时，的长为 4 ；
（2）函数为，当时，的值为 ；
（3）函数为，
①当时，求的面积；
②若，函数和的图象与轴正半轴分别交于点，，当时，设函数的最大值和函数的最小值的差为，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
【分析】（1）根据和关于轴对称得出的解析式，求出、两点坐标，即可得到；
（2）根据和关于轴对称得出的解析式，求出、两点坐标，根据得出方程，解出值即可；
（3）①根据和关于轴对称得出的解析式，将代入解析式，求出、两点坐标，从而得出的面积；
②根据题意得出两个函数的解析式，再分当时，当时，当时，三种情况，分析两个函数的增减性，得出最值，相减即可．
【解答】解：（1），
和关于轴对称，
，
分别令，则，，
，，
，
故答案为：4；
（2），
可得：，
，可得：，，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故答案为：1；
（3）①，
，
，分别代入，，
可得：，，，，
，
；
②函数和的图象与轴正半轴分别交于点，，
而函数和的图象关于轴对称，
函数的图象经过和，
设，
则，
的图象的对称轴是直线，且，
，
，则，，
而的图象在时，随的增大而减小，
当时，
的图象随的增大而增大，的图象随的增大而减小，
当时，的最大值为，
的最小值为，
则，
又，
；
当时，
的最大值为，的图象随的增大而减小，
的最小值为：，
则，
又，
，
当时，
的图象随的增大而减小，的图象随的增大而减小，
当时，的最大值为，
当时，的最小值为，
则，
又，
；
综上：关于的解析式为：．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，以及二次函数的图象与性质，二次函数的最值，解题的关键是要理解题意，尤其（3）问中要读懂题干，结合图象进行分析求解．
3．如图，抛物线与轴交于，两点在的右侧），且经过点和点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）如图1中，过点作于，过点作于．利用平行线分线段成比例定理求出点的坐标，求出直线的解析式，构建方程组确定点的坐标，过点作轴交于，设则，再构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）求出或16时，自变量的值，利用图象法确定，的值即可．
【解答】解：（1）把，代入，
可得，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）如图1中，过点作于，过点作于．
对于抛物线，令，得到，，解得或6，
，，
，
，，，
的面积与的面积之比为，
，
，
，
，
，
，
，
直线的解析式为，
由，解得或，
，
过点作轴交于，设则，
，
，
，
时，的面积最大，最大值为．
（3）对于抛物线，当时，，
解得，
当时，，解得或4，
观察图2可知：当时，，
，
而，
故．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会构建一次函数利用方程组确定交点坐标，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点．
（1）当时，直接写出点，，，的坐标：
， ， ， ；
（2）如图1，直线交轴于点，若，求的值和的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点为的中点，动点在第三象限的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为，交于点；过点作，垂足为．设点的横坐标为，记．
①用含的代数式表示；
②设，求的最大值．
【分析】（1）当时，抛物线的表达式为：，即可求解；
（2）由点、的坐标得，直线的表达式为：，进而求出点，，利用，即可求解；
（3）①证明，故，则，即可求解；
②且，即可求解．
【解答】解：（1）当时，抛物线的表达式为：，
令，则或；当时，，函数的对称轴为，
故点、、、的坐标分别为、、、；
故答案为：、、、；
（2），令，则，则点，
函数的对称轴为，故点的坐标为，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，故点，，则，
，解得：，
故点、的坐标分别为、，，
则；
（3）①如图，作与的延长线交于点，
由（2）知，抛物线的表达式为：，
故点、的坐标分别为、，则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
设点，则点；
则，
由点，、的坐标得，直线的表达式为：，
则点，故，
，轴，
故，，
，故，
则，
；
②且；
当时，；
当时，．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似的判定与性质等，综合性较强，难度较大．
5．如图，抛物线与轴交于，两点．
（1）若过点的直线是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点，使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当，时，函数值的最大值满足，求的取值范围．
【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；
②如图，若点在轴上方，点关于对称的点在对称轴上，连接、，根据轴对称的性质得到，，求出点的坐标，利用勾股定理得到，再根据，列出方程解答，同理得到点在轴下方时的坐标即可；
（2）当时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当时，函数的增减性，从而得到当时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．
【解答】解：（1）①抛物线的对称轴为直线，
若过点的直线是抛物线的对称轴，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
②存在，
如图，若点在轴上方，点关于对称的点在对称轴上，连接、，
则，，
对于，令，则，
解得：，，
，，
，
，
，
设点，
由可得：，解得：，
；
同理，当点在轴下方时，．
综上所述，点或；
（2）抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线开口向下，在对称轴左边，随的增大而增大，
当时，取，有最大值，
即，
，解得：，
又，
．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．
6．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．
（1）直接写出点，点，点的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令，便可求得点坐标；
（2）过点作轴，与交于点，设，则，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得的值，便可得点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可．
【解答】解：（1）令，得，
，
令，得，解得，，
，
把、两点代入得，
，解得，
抛物线的解析式为，
令，得，
解得，，或，
；
（2）过点作轴，与交于点，如图1，
设，则，
，
，
，
当时，四边形面积最大，其最大值为8，
此时的坐标为；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图2，
，，
，，
当在抛物线上时，有，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，或2，
当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点评】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置．
7．如图，抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且点的坐标为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）将抛物线图象轴下方部分沿轴向上翻折，保留抛物线在轴上的点和轴上方图象，得到的新图象与直线恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为，，，．当以为直径的圆过点时，求的值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）抛物线的对称轴是，且过点点，，即可求解；
（2）翻折后得到的部分函数解析式为：，，新图象与直线恒有四个交点，则，由解得：，即可求解；
（3）分、在函数对称轴左侧、、在对称轴两侧、、在对称轴右侧时，三种情况分别求解即可．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴是，且过点点，，解得：，
抛物线的函数表达式为：；
（2），
则轴下方图象翻折后得到的部分函数解析式为：，，其顶点为．
新图象与直线恒有四个交点，，
设，，，．
由解得：，
以为直径的圆过点，
，
即，解得，
又，
的值为；
（3）①当、在函数对称轴左侧时，，
由题意得：时，，时，，
即：，
解得或（舍，
，
解得或（舍，
解得：；
②当、在对称轴两侧时，
时，的最小值为，不合题意；
③当、在对称轴右侧时，
同理可得：；
故的取值范围是：或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本性质性质、图形的翻折等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
8．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且关于直线对称，点的坐标为．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，若点在轴上时，和的夹角为，求线段的长度；
（3）当时，二次函数的最小值为，求的值．
【分析】（1）先根据题意得出点的坐标，再利用待定系数法求解可得；
（2）分点在点上方和下方两种情况，先求出的度数，再利用三角函数求出的长，从而得出答案；
（3）分对称轴在到范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）点与点关于直线对称，
点的坐标为，
代入，得：
，
解得，
所以二次函数的表达式为；
（2）如图所示：
由抛物线解析式知，
则，
，
若点在点上方，则，
，
；
若点在点下方，则，
，
；
综上，的长为或；
（3）若，即，
则函数的最小值为，
解得（正值舍去）；
若，即，
则函数的最小值为，
解得：（舍去）；
若，
则函数的最小值为，
解得（负值舍去）；
综上，的值为或．
【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．
9．如图， 点，，都在抛物线（其 中上，轴，，且．
（1） 填空： 抛物线的顶点坐标为 （用 含的代数式表示） ；
（2） 求的面积 （用 含的代数式表示） ；
（3） 若的面积为 2 ，当时，的最大值为 2 ，求的值 ．
【分析】（1） 利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式， 此题得解；
（2） 过点作直线的垂线， 交线段的延长线于点，由轴且，可得出点的坐标为，设，则点的坐标为，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元二次方程， 解之取其正值即可得出值， 再利用三角形的面积公式即可得出的值；
（3） 由 （2） 的结论结合可求出值， 分三种情况考虑：①当，即时，时取最大值， 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元二次方程， 解之可求出的值；②当，即时，时取最大值， 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程， 解之可求出的值；③当，即时，时取最大值， 利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程， 解之可求出的值 ． 综上即可得出结论 ．
【解答】解： （1），
抛物线的顶点坐标为．
故答案为：．
（2） 过点作直线的垂线， 交线段的延长线于点，如图所示 ．
轴， 且，
点的坐标为．
，
设，则，
点的坐标为．
点在抛物线上，
，
整理， 得：，
解得：（舍 去） ，，
．
（3）的面积为 2 ，
，
解得：，
抛物线的解析式为．
分三种情况考虑：
①当，即时， 有，
整理， 得：，
解得：（舍 去） ，（舍 去） ；
②当，即时， 有，
解得：；
③当，即时， 有，
整理， 得：，
解得：（舍 去） ，．
综上所述：的值为或．
【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式、 二次函数图象上点的坐标特征、 等腰直角三角形、 解一元二次方程以及二次函数的最值， 解题的关键是： （1） 利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式； （2） 利用等腰直角三角形的性质找出点的坐标； （3） 分、及三种情况考虑 ．