江苏省南京市燕子矶中学2024届高三下学期期初考试数学试卷(含答案)

这是一份江苏省南京市燕子矶中学2024届高三下学期期初考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．有8位同学一次数学测试的分数分别是：111,118,125,130,130,132,136,140,则这组数据的75百分位数是( )
A.130B.132C.134D.136
2．若,且是纯虚数,则( )
A.B.1C.D.2
3．已知,均为单位向量.若,则在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
4．设l,m是不同的直线,,是不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则B.若,,,则
C.若,,,则D.若,,,则
5．某台小型晚会由5个节目组成,演出顺序有如下要求,节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A.36种B.42种C.48种D.54种
6．设直线被圆所截得的弦的中点为,则的最大值为( )
A.B.C. D.
7．已知为锐角,且,则( )
A.B.C.D.
8．双曲线的左､右焦点分别为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与曲线C在第一象限交于点P，且，则曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数,则( )
A.的最小正周期为
B.的一个对称中心
C.在区间上单调递减
D.在区间上有3个零点
10．已知正方体的棱长为4,E,F,G分别是棱,,的中点,则( )
A.平面
B.,,共面
C.平面截正方体所得截面的面积为
D.三棱锥的体积为
11．已知函数的定义域为R,,则( )
A.
B.是奇函数
C.若,则
D.若当时,,则,在单调递减
三、填空题
12．已知数列是等比数列,且.设,数列的前n项和为,则_____________.
13．已知随机变量,且,则的展开式中常数项为___________.
14．在中,,,,点D,E,F分别在,,边上,且,,则的最小值为_______________.
四、解答题
15．不透明的袋子中有8个除所标数字外均相同的球,其中标号为1号的球有3个,标号为2号的球有3个,标号为3号的球有2个.现从这8个球中任选2个球.
(1)求选出的这2个球标号相同的概率;
(2)设随机变量X为选出的2个球标号之差的绝对值,求X的分布列与数学期望.
16．已知函数,曲线在处的切线方程为.
(1)求a,b的值;
(2)求的单调区间,并证明在上没有零点.
17．如图,在三棱柱中,平面平面,为等边三角形,,,D,E分别是线段,的中点.
(1)求证：平面;
(2)若点P为线段上的动点（不包括端点）,求平面与平面夹角的余弦值的取值范围.
18．设抛物线,过焦点F的直线与C交于点A,B.当直线垂直于x轴时,.
(1)求C的方程;
(2)已知点,直线,分别与C交于点C,D.
①求证：直线过定点;
②求与面积之和的最小值.
19．对于数列,若存在正数k,使得对任意m,,,都满足,则称数列符合“条件”.
(1)试判断公差为2的等差数列是否符合“条件”？
(2)若首项为1,公比为q的正项等比数列符合“条件”.
①求q的取值范围;
②记数列的前n项和为,证明：存在正数,使得数列符合“条件”
参考答案
1．答案：C
解析：因为,
所以这组数据的75百分位数是.
故选：C.
2．答案：B
解析：设,,
则
因为是纯虚数,可得,即,所以.
故选：B.
3．答案：D
解析：由,可得,所以,
则在上的投影向量为.
故选：D.
4．答案：B
解析：对于A,若,,,此时l与m可能相交,如下图所示：
对于C与D,若,,,则与均可能发生,如下图所示：
对于B,若,,则,
又因为,故.
故选：B.
5．答案：B
解析：若甲排在第一位,则有种排法;
若甲排在第二位,由于乙不能排在第一位,则第一位有3种排法,其他位次全排列有种排法,则共有种排法,因此编排方案共有种.
故选：B.
6．答案：C
解析：直线过定点,
因为M是弦的中点,
所以,
故M的轨迹方程为：,
设,即
即是直线与圆的公共点,
由直线与圆的位置关系可得,,解得,
所以的最大值为.
故选：C.
7．答案：B
解析：由,得,
即,解得或.
因为为锐角,所以.
故
故选：B.
8．答案：A
解析：设切点为A，，连接，则，，
过点P作轴于点E，则，
故，
因为，
解得，
由双曲线定义得，
所以，
在中，由余弦定理得
，
化简得，
又，
所以，方程两边同时除以得，
解得，
所以离心率.
故选：A.
9．答案：AC
解析：,,A对;
对称中心纵坐标为1,B错;
,则,即的一个单调减区间为
而,在上单调递减,C对;
,则或
或,,.
,;,;,;,
,在区间上有4个零点,D错.
故选：AC.
10．答案：ABD
解析：如图,以D为原点建立空间直角坐标系,则,,,,,,
因为为正方体,所以平面,又平面,所以,
,,,
所以,、是平面内的两条相交直线,所以面,A对.
,,,
若,,共面,则,
,,B对.
由平面基本性质得：如图截面为等腰梯形,,,,
,梯形的高,梯形面积,C错.
,D对.
故选：ABD.
11．答案：BCD
解析：对于A,时,,,A错.
对于B,时,,,
,,为奇函数,B正确.
对于C,,,,,C正确.
对于D,时,,,
时,,时,
,,即,
在上单调递减,D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：为等比数列,,所以,
为等差数列,所以.
故答案为：.
13．答案：1215
解析：,,
,.
展开式第项：
,.
故答案为：1215.
14．答案：
解析：由,,故A,F,D,E四点共圆,且为该圆直径,
又,故最小时,需最小,当时,最小,
由,故此时,由正弦定理可得,
.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)分布列见解析,.
解析：(1)依题意,选出的这2个球标号相同的概率为.
（2）X的所有可能取值为,,,
,
,
.
X的分布列如下：
X的数学期望.
16．答案：(1),
(2)单调递增区间为,单调递减区间为,,证明见解析.
解析：(1)因为,所以,
由题意知,解得.
(2)由(1)可得定义域为,
又
,
因为,
所以当时,当或时,
所以的单调递增区间为,单调递减区间为,;
因为在上单调递增,在上单调递减,
时,,
在上没有零点.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）连接,由题设知四边形为菱形,,
,E分别,为中点,
,;又D为AC中点,,
又平面平面,平面平面,平面,
平面,又平面;
,又平面,平面.
(2),,为等边三角形,,
平面平面,平面平面,
平面,平面,
D为坐标原点,,,所在直线为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,,,
设,,则,,
,,,;
由(1)知：平面,所以平面的一个法向量;
设平面的法向量,则,
令,则,,;
,
令,则,;
,,
即平面与平面夹角的余弦值的取值范围为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)①证明见解析;②.
解析：(1)由题意通径长,,
的方程为.
(2)①设直线方程为,,,,,
联立,
,,且,
同理,可得,,,
设与x轴交于点G,同上方法可得,
直线过定点;
②,
当且仅当时取“”.
19．答案：(1)符合条件;
(2)①;②证明见解析.
解析：(1)公差为2的等差数列,设,
由,所以公差为2的等差数列符合条件.
(2)①首项为1,公比为q的正项等比数列,,
对恒成立,
若,则,符合.
若,数列单调递增,不妨设,
,,
设,由（*）式中的m,n任意性得数列不递增,
,,
但当,,矛盾.
若,则数列单调递减,不妨设,
,即,
设,由（**）式中m,n的任意性得,数列不递减,
,,
时,单调递增,
,,,
综上,公比q的取值范围为.
②：由①得,,,
当时,,要存在使得,只需即可;
当时,要证数列符合“条件”,
只要证存在,使得,,
不妨设,则只要证：,
只要证：,
设,由m,n的任意性,不递减,
只要证,
只要证：,,
,存在上式对成立.
存在正数使数列符合条件.
X
0
1
2
P