新高考数学一轮复习讲义 第24讲 平面向量的数量积及其应用（2份打包，原卷版+含解析）

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第24讲 平面向量的数量积及其应用（2份打包，原卷版+含解析），文件包含新高考数学一轮复习讲义第24讲平面向量的数量积及其应用原卷版doc、新高考数学一轮复习讲义第24讲平面向量的数量积及其应用含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、平面向量的数量积
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与 SKIPIF 1 < 0 ，我们把数量 SKIPIF 1 < 0 叫做 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的数量积（或内积），
记作 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，规定：零向量与任一向量的数量积为0．
（2）平面向量数量积的几何意义
投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，eq \(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq \(OB,\s\up6(→))表示向量b，过点A作eq \(OB,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量eq \(OA1,\s\up6(→))的变换称为向量a向向量b投影，向量eq \(OA1,\s\up6(→))称为向量a在向量b上的投影向量.
,向量a在向量b上的投影向量为(|a|csθ)eq \f(b,|b|).
二、数量积的运算律
已知向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和实数 SKIPIF 1 < 0 ，则：
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ．
三、数量积的性质
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都是非零向量， SKIPIF 1 < 0 是与 SKIPIF 1 < 0 方向相同的单位向量， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角，则
① SKIPIF 1 < 0 ．② SKIPIF 1 < 0 ．
③当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同向时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向时， SKIPIF 1 < 0 ．
特别地， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
④ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．⑤ SKIPIF 1 < 0 ．
四、数量积的坐标运算
已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为向量 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的夹角．
【常用结论】
(1) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．
(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；
两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线
二、题型分类精讲
题型一 平面向量的数量积的运算
策略方法 平面向量数量积的三种运算方法
【典例1】已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．2C．4D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．将向量 SKIPIF 1 < 0 绕坐标原点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．5B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．如图，已知 SKIPIF 1 < 0 的半径为2， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）

A．1B．-2C．2D． SKIPIF 1 < 0
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．12D．72
5．若等边 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，平面内一点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为2，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．在 SKIPIF 1 < 0 中，M是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，点P在 SKIPIF 1 < 0 上且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知菱形ABCD的边长为1， SKIPIF 1 < 0 ，G是菱形ABCD内一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
11．圆 SKIPIF 1 < 0 为锐角 SKIPIF 1 < 0 的外接圆， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
13．设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
14．已知向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
15．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则t＝______．
16．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
17．已知O为 SKIPIF 1 < 0 的外心，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
18．已知菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
19．已知正六边形 SKIPIF 1 < 0 的边长为1， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为正六边形的中心，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
20．已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意一条直径，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 =___________.
21．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 _________.
22．如图，圆 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的外接圆， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为边 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
题型二 平面向量的模长
策略方法 求向量模的方法
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a)．
(2)|a±b|＝eq \r(a±b2)＝eq \r(a2±2a·b＋b2)．
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)．
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）．
A．1或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或4
C．0或8D．0或 SKIPIF 1 < 0
2．平面向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．33
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
5．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且点D满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M为线段BC的中点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、填空题
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
11．已知 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
14．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_________．
15．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是______.
题型三 平面向量的夹角
策略方法 求向量夹角问题的方法
【典例1】已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角（ ）
A．45°B．60°C．135°D．150°
【题型训练】
一、单选题
1．已知 SKIPIF 1 < 0 为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，D为AC的中点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 是两个单位向量，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角可以为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 为钝角的一个充分条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、填空题
9．若单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为____________．
10．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为_______________．
11．若 SKIPIF 1 < 0 是夹角为 SKIPIF 1 < 0 的两个单位向量，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角大小为________.
12．已知向量 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为__________．
题型四 两个向量的垂直问题
策略方法
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
【典例1】已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．4B．-4C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．若平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1或 SKIPIF 1 < 0 B．-1或 SKIPIF 1 < 0 C．1或 SKIPIF 1 < 0 D．-1或 SKIPIF 1 < 0
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．-4B．-1C．1D．4
7．平面内三个单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
8．已知两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
9．已知两个单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
10．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
11．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
12．在 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，那么动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹必通过 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
二、填空题
13．向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 _________．
14．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
15．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
16．非零向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
题型五 平面向量的投影数量、投影向量
【典例1】向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上投影数量为（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
【典例2】已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 反向，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【题型训练】
一、单选题
1．设非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．若向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．－1
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为（ ）
A．2B．4C．-2D．-4
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．已知单位向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
8．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C．与 SKIPIF 1 < 0 垂直的单位向量的坐标为 SKIPIF 1 < 0
D．若向量 SKIPIF 1 < 0 与非零向量 SKIPIF 1 < 0 共线，则 SKIPIF 1 < 0
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的是（ ）
A．当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C．存在θ，使得 SKIPIF 1 < 0 D．存在θ，使得 SKIPIF 1 < 0
三、填空题
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为___________.
11．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为______．
12．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的坐标为_________．
13．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为60°，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的长度为1， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
14．已知非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向的投影向量是 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是________.
题型六 平面向量的应用
策略方法
平面向量常与平面几何、三角函数、解三角形、不等式、解析几何的问题综合起来考查，还会与一些物理知识相结合考查．解决此类问题的关键是把向量作为载体，将题干关系转化为向量的运算，进一步转化为实数运算来求解．
【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则此三角形为（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【题型训练】
一、单选题
1．已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D． SKIPIF 1 < 0
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足同向共线，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．15C． SKIPIF 1 < 0 或15D．3或15
3．如图所示，在正方形ABCD中，已知| SKIPIF 1 < 0 |=2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．设 SKIPIF 1 < 0 均为非零向量，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“对于任意的实数 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不允分也不必要条件
5．在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 边上靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．3B．6C．7D．9
6．）在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为单位向量，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
8．已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
9．如图，已知扇形OAB的半径为1， SKIPIF 1 < 0 ，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，点E为 SKIPIF 1 < 0 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小值为0B． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为1D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为0
三、填空题
10．）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不共线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，写出一个符合条件的向量 SKIPIF 1 < 0 的坐标：______.
11．在 SKIPIF 1 < 0 中，O为BC的中点，向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则线段AC的长度是______.
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是非零向量， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
13．已知O为矩形ABCD内一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
14．）如图，在矩形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，AC与BD的交点为M，N为边AB上任意点（包含端点），则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为________．
15．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 所在平面内的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为______．
①平面向量的数量积的运算
②平面向量的模长
③平面向量的夹角
④两个向量的垂直问题
⑤平面向量的投影数量、投影向量
⑥平面向量的应用
结论
几何表示
坐标表示
模
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
数量积
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
夹角
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的充要
条件
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的充要
条件
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0
的关系
SKIPIF 1 < 0 (当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立)
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0