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江西省赣州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）
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这是一份江西省赣州市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 已知集合，则， 已知命题，则为， 正项等比数列中，，则， “”是“函数在单调递增”的等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. 或D.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
3. 正项等比数列中，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的增区间是
B. 函数的减区间是
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
5. “”是“函数在单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 有解B. 奇函数
C. 不是周期函数D. 是单调递增函数
7. 已如是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（ ）
A B. 4C. D.
8. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 使得成立的最小自然数是20
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.
9. 已知，且，都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为4
C. 的最小值为9D. 的最小值为
11. 记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 函数最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是上的奇函数，，则__________.
13. 数列的前项和为，若，则__________.
14. 已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为__________个.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行.
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
16. 已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为.
（1）求数列和的通项公式：
（2）设，求数列的前项和.
17. 已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③
（1）求函数的解析式；
（2）若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
18. 已知函数为导函数，记，其中为常数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
①求取值范围；
②求证：.
19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）证明：.
赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试
高二数学试卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，求解集合，再求交集即可.
【详解】因为，又
所以.
故选：A.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.
【详解】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题，
由全称量词命题的否定得，命题：.
故选：D.
3. 正项等比数列中，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求出即可得解.
【详解】由等比数列性质可知，解得，
所以，
故选：B
4. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的增区间是
B. 函数的减区间是
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.
【详解】根据的图象可知：
当时，；时，，当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此函数在时取得极小值，在取得极大值.
故ABD错误，C正确.
故选：C
5. “”是“函数在单调递增”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.
【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：
要满足函数在单调递增，
需要，
因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 有解B. 是奇函数
C. 不是周期函数D. 是单调递增函数
【答案】A
【解析】
【分析】考虑函数的值域可判断A，根据函数的奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性分析可判断D，由D结合周期定义判断C.
【详解】由，
因，则，可得 ，即，故A错误；
因为的定义域为，且，所以是奇函数，故B正确；
，因是增函数，是增函数且恒为正数，则是减函数，故是增函数，故D正确；
由D可知函数在上单调递增，所以当时，，所以函数不是周期函数，故C正确.
故选：A
7. 已如是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求函数斜率为的切线，然后切线与直线的距离即为所求.
【详解】因为，（），所以，
由，得，又，
所以过点的切线为：即.
直线与的距离为：即为所求.
故选：C
8. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 使得成立的最小自然数是20
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知数列单调递减且，由通项公式化简可判断A，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B，根据为递减数列即可判断C，由的关系及的符号可判断D.
【详解】由公差为可知，等差数列为递减数列且，
对A，，故A错误；
对B，因为，所以，所以，故B错误；
对C，因为，且，所以由一次函数单调性知为单调递减数列，所以，故C正确；
对D，由B知，且，所以，
因为，，若，则，且，
即，即，而，，
显然矛盾，故不成立，故D错误.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.
9. 已知，且，都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.
【详解】当时，有，A选项错误；
，则，得，B选项正确；
，，得，C选项正确；
函数在R上单调递减，，则，D选项错误.
故选：BC
10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为4
C. 的最小值为9D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D.
【详解】由正数满足，可得，解得，即，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
由正数满足，可得，
解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确；
，由A知，
由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误；
由可得，即，所以，
所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
11. 记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 函数的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B选项，对于A：对，，取对数整理即可；对于C：根据二次函数单调性判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立.
【详解】构建，则为的零点，
因为，
若，则，可知在内单调递减，且，
所以在内无零点；
若，则，可知内单调递增，
且，所以在内存在唯一零点；
对于选项A：因为，，即，
两边取对数可得：，，故A正确；
对于选项B：由上可知，故B不正确；
对于选项C：对称轴为，而，故单调递增，
当，最小值为，所以，故C正确；
对于选项D：构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
可得，令，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是上的奇函数，，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据奇函数的定义得出，再由解析式得解.
【详解】因为函数是上的奇函数，所以，
所以，
故答案为：2
13. 数列的前项和为，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可.
【详解】由得：
，
故答案为：.
14. 已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为__________个.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在上零点个数.
【详解】由可得，
所以周期，
当时，，令，
解得，即一个周期内有2个零点，
因为，
所以在上的零点个数为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行.
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为4；最小值为：
【解析】
【分析】（1）根据函数的图象过点，得到关于的一个关系式，再根据函数在处的导数为，又得到关于的一个关系式，可求的值.
（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.
【小问1详解】
因为函数的图象过点，
所以.
又因为，且在点处的切线恰好与直线平行，
所以，
由得：，所以.
【小问2详解】
由（1）知：，
由，由或.
所以上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
所以在上的最大值为4，最小值为.
16. 已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为.
（1）求数列和的通项公式：
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前项和，求数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求数列的前项和.
【小问1详解】
由题意：，，，
因为成等比数列，
所以或，
又，所以，所以.
所以.
对数列：当时，，
当时，，，
两式相减得：，
所以是以2为首项，2为公比得等比数列，所以.
【小问2详解】
由（1）知：，
所以：，
，
两式相减得：
，
所以.
17. 已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③
（1）求函数的解析式；
（2）若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.
（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.
【小问1详解】
设，由题意：，
两式相减的：
若选①，则：抛物线的对称轴为：，即.
所以，所以；
若选②，则：抛物线的对称轴为：，同上；
若选③，则：，由，得：，所以.
综上：
【小问2详解】
对：
当时，由；由；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，.
当时，恒成立，
所以在上恒成立.
观察可知，函数在上单调递减，所以，
由.
所以实数的取值范围是：
18. 已知函数为的导函数，记，其中为常数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
①求的取值范围；
②求证：.
【答案】（1）见解析 （2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出，分类讨论，利用，解不等式即可得解；
（2）①先分析不合题意，再求出时函数在有两个极值点的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证.
【小问1详解】
定义域为.
，，
，
当时，g′(x)>0恒成立，在上单调递增，
当时，令，则，解得，
令，则，解得，
在单调递增，在单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
由（1）知，时，最多一个根，不符合题意，故，
函数有两个极值点，
在有两个不同零点的必要条件是g12a=ln12a>0，
解得，
当，在单调递增，在单调递减，
g12a=ln12a>0,g1e=−2ae<0,x→+∞,gx→−∞，
由零点存在性定理得：在，各有1个零点，
的取值范围是.
②函数有两个极值点，
①
②
①②得：，
要证，即证x1+x2>2x1−x2lnx1−lnx2，即证，
即证，
令，则，
令，则R′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0，
在上单调递增，，
在上成立，
，得证.
【点睛】关键点点睛：要证明不等式，关键点之一在于消去后对结论进行恰当变形，转化为证明成立，其次关键点在于令换元，转化为证明成立.
19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）证明：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可；
（2）设出第次构造后得到的数列求出，则得到第次构造后得到的数列求出，可得与关系，再利用构造法求通项即可；
（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.
【小问1详解】
因为第二次得到数列，所以第三次得到数列
所以；
【小问2详解】
设第次构造后得的数列为，则，
则第次构造后得到的数列为
，
则
，
，可得，，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，即；
【小问3详解】
由（2）得，
所以当时，，
当时，所以
，
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. 或D.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
3. 正项等比数列中，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的增区间是
B. 函数的减区间是
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
5. “”是“函数在单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 有解B. 奇函数
C. 不是周期函数D. 是单调递增函数
7. 已如是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（ ）
A B. 4C. D.
8. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 使得成立的最小自然数是20
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.
9. 已知，且，都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为4
C. 的最小值为9D. 的最小值为
11. 记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 函数最小值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是上的奇函数，，则__________.
13. 数列的前项和为，若，则__________.
14. 已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为__________个.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行.
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
16. 已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为.
（1）求数列和的通项公式：
（2）设，求数列的前项和.
17. 已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③
（1）求函数的解析式；
（2）若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
18. 已知函数为导函数，记，其中为常数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
①求取值范围；
②求证：.
19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）证明：.
赣州市2023~2024学年度第二学期期末考试
高二数学试卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解一元二次不等式，求解集合，再求交集即可.
【详解】因为，又
所以.
故选：A.
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】全称量词命题的否定，首先把全称量词改成存在量词，然后把后面结论改否定即可.
【详解】因为命题是全称量词命题，则命题为存在量词命题，
由全称量词命题的否定得，命题：.
故选：D.
3. 正项等比数列中，，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质求出即可得解.
【详解】由等比数列性质可知，解得，
所以，
故选：B
4. 已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的增区间是
B. 函数的减区间是
C. 是函数的极大值点
D. 是函数的极大值点
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值.
【详解】根据的图象可知：
当时，；时，，当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
因此函数在时取得极小值，在取得极大值.
故ABD错误，C正确.
故选：C
5. “”是“函数在单调递增”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数与复合函数的单调性计算即可.
【详解】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：
要满足函数在单调递增，
需要，
因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件．
故选：B．
6. 在人工智能神经网络理论中，根据不同的需要，设置不同激活神经单元的函数，其中函数是比较常用的一种，其解析式为.关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 有解B. 是奇函数
C. 不是周期函数D. 是单调递增函数
【答案】A
【解析】
【分析】考虑函数的值域可判断A，根据函数的奇偶性定义判断B，由复合函数的单调性分析可判断D，由D结合周期定义判断C.
【详解】由，
因，则，可得 ，即，故A错误；
因为的定义域为，且，所以是奇函数，故B正确；
，因是增函数，是增函数且恒为正数，则是减函数，故是增函数，故D正确；
由D可知函数在上单调递增，所以当时，，所以函数不是周期函数，故C正确.
故选：A
7. 已如是函数图像上的动点，是直线上的动点，则两点间距离的最小值为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求函数斜率为的切线，然后切线与直线的距离即为所求.
【详解】因为，（），所以，
由，得，又，
所以过点的切线为：即.
直线与的距离为：即为所求.
故选：C
8. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 使得成立的最小自然数是20
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可知数列单调递减且，由通项公式化简可判断A，由等差数列的性质及求和公式结合条件可判断B，根据为递减数列即可判断C，由的关系及的符号可判断D.
【详解】由公差为可知，等差数列为递减数列且，
对A，，故A错误；
对B，因为，所以，所以，故B错误；
对C，因为，且，所以由一次函数单调性知为单调递减数列，所以，故C正确；
对D，由B知，且，所以，
因为，，若，则，且，
即，即，而，，
显然矛盾，故不成立，故D错误.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错项得0分.
9. 已知，且，都不为0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由不等式的性质和函数单调性，判断选项中的不等式是否成立.
【详解】当时，有，A选项错误；
，则，得，B选项正确；
，，得，C选项正确；
函数在R上单调递减，，则，D选项错误.
故选：BC
10. 已知正数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为1B. 的最小值为4
C. 的最小值为9D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据均值不等式分别建立不等式解不等式可判断AB，先变形为关于的二次函数求最值判断C，利用条件变形可得，转化为关于的式子由均值不等式判断D.
【详解】由正数满足，可得，解得，即，
当且仅当，即时等号成立，故A正确；
由正数满足，可得，
解得或（舍去），当且仅当，即时等号成立，故B正确；
，由A知，
由二次函数的单调性知，即时，的最小值为8，故C错误；
由可得，即，所以，
所以，当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：ABD
11. 记方程的实数解为（是无理数），被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 函数的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性定理分析判断B选项，对于A：对，，取对数整理即可；对于C：根据二次函数单调性判断；对于D：结合不等式分析可知，当且仅当时，等号成立.
【详解】构建，则为的零点，
因为，
若，则，可知在内单调递减，且，
所以在内无零点；
若，则，可知内单调递增，
且，所以在内存在唯一零点；
对于选项A：因为，，即，
两边取对数可得：，，故A正确；
对于选项B：由上可知，故B不正确；
对于选项C：对称轴为，而，故单调递增，
当，最小值为，所以，故C正确；
对于选项D：构建，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，当且仅当时，等号成立，
可得，令，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是上的奇函数，，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据奇函数的定义得出，再由解析式得解.
【详解】因为函数是上的奇函数，所以，
所以，
故答案为：2
13. 数列的前项和为，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】先按通项进行分组求和，再由分式数列用裂项法求和，而数列是周期为4的数列，所以按每4个数一组求和即可.
【详解】由得：
，
故答案为：.
14. 已知定义在上的函数满足，当时，，则在上的零点个数为__________个.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得函数为周期函数，再由一个周期内内有两个零点，且一个零点小于1，一个大于2，即可得出在上零点个数.
【详解】由可得，
所以周期，
当时，，令，
解得，即一个周期内有2个零点，
因为，
所以在上的零点个数为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象过点，且在点处的切线恰好与直线平行.
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）最大值为4；最小值为：
【解析】
【分析】（1）根据函数的图象过点，得到关于的一个关系式，再根据函数在处的导数为，又得到关于的一个关系式，可求的值.
（2）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大、最小值.
【小问1详解】
因为函数的图象过点，
所以.
又因为，且在点处的切线恰好与直线平行，
所以，
由得：，所以.
【小问2详解】
由（1）知：，
由，由或.
所以上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又，，，，
所以在上的最大值为4，最小值为.
16. 已知等差数列的公差成等比数列，数列的前项和公式为.
（1）求数列和的通项公式：
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列的通项公式求等差数列的通项公式，根据数列的前项和，求数列的通项公式.
（2）利用错位相减求和法求数列的前项和.
【小问1详解】
由题意：，，，
因为成等比数列，
所以或，
又，所以，所以.
所以.
对数列：当时，，
当时，，，
两式相减得：，
所以是以2为首项，2为公比得等比数列，所以.
【小问2详解】
由（1）知：，
所以：，
，
两式相减得：
，
所以.
17. 已知函数为二次函数，有，__________，从下列条件中选取一个，补全到题目中，①，②函数为偶函数，③
（1）求函数的解析式；
（2）若，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式.
（2）分别求函数的值域，根据两个函数值域之间的关系求参数.
【小问1详解】
设，由题意：，
两式相减的：
若选①，则：抛物线的对称轴为：，即.
所以，所以；
若选②，则：抛物线的对称轴为：，同上；
若选③，则：，由，得：，所以.
综上：
【小问2详解】
对：
当时，由；由；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以时，.
当时，恒成立，
所以在上恒成立.
观察可知，函数在上单调递减，所以，
由.
所以实数的取值范围是：
18. 已知函数为的导函数，记，其中为常数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有两个极值点，
①求的取值范围；
②求证：.
【答案】（1）见解析 （2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出，分类讨论，利用，解不等式即可得解；
（2）①先分析不合题意，再求出时函数在有两个极值点的必要条件，再此条件下分析即可得解；②对结论进行转化，只需证，换元后利用导数确定函数单调性，得出函数最值，即可得证.
【小问1详解】
定义域为.
，，
，
当时，g′(x)>0恒成立，在上单调递增，
当时，令，则，解得，
令，则，解得，
在单调递增，在单调递减.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在单调递减.
【小问2详解】
由（1）知，时，最多一个根，不符合题意，故，
函数有两个极值点，
在有两个不同零点的必要条件是g12a=ln12a>0，
解得，
当，在单调递增，在单调递减，
g12a=ln12a>0,g1e=−2ae<0,x→+∞,gx→−∞，
由零点存在性定理得：在，各有1个零点，
的取值范围是.
②函数有两个极值点，
①
②
①②得：，
要证，即证x1+x2>2x1−x2lnx1−lnx2，即证，
即证，
令，则，
令，则R′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0，
在上单调递增，，
在上成立，
，得证.
【点睛】关键点点睛：要证明不等式，关键点之一在于消去后对结论进行恰当变形，转化为证明成立，其次关键点在于令换元，转化为证明成立.
19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1，4，3：第二次得到数列：依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为，如.
（1）求；
（2）求的通项公式；
（3）证明：
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出第三次得到数列再求和即可；
（2）设出第次构造后得到的数列求出，则得到第次构造后得到的数列求出，可得与关系，再利用构造法求通项即可；
（3）利用放缩法求等比数列和可得答案.
【小问1详解】
因为第二次得到数列，所以第三次得到数列
所以；
【小问2详解】
设第次构造后得的数列为，则，
则第次构造后得到的数列为
，
则
，
，可得，，
所以是以为公比，为首项的等比数列，
所以，即；
【小问3详解】
由（2）得，
所以当时，，
当时，所以
，
综上所述，.
【点睛】关键点点睛：（2）问中解题关键点是已知相邻两项关系构造等比数列，进而得到数列的通项公式；（3）问中根据的通项公式，应用放缩变成等比数列的前项和，应用公式计算即可.
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