新高中数学压轴题二轮专题专题11利用泰勒展开式证明不等式试题含解析答案

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一、解答题
1．设，当时，求证：．
2．设，证明：．
3．已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）当时，求证:．
4．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：；
(3)若且，证明：.
5．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)证明：.
6．已知函数，其中且．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：；
(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）
7．已知函数f(x)＝ln x－ax＋1在x＝2处的切线斜率为－.
(1)求实数a的值及函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝，对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得f(x1)≤g(x2)成立，求正实数k的取值范围；
(3)证明：＋＋…＋(n∈N*，n≥2).
8．已知函数，数列满足：，．证明：
(1)；
(2)．
9．证明：当时，．
10．已知函数，证明：当时，.
11．已知函数，在区间有极值．
（1）求的取值范围；
（2）证明：．
12．已知函数，，
(1)当，时，求函数在处的切线方程；
(2)若且恒成立，求的取值范围：
(3)当时，记，（其中）为在上的两个零点，证明：.
13．函数，，其中为常数，当时，证明：．
14．已知函数．
（I）当时，证明：当时，；
（II）若当时，恒成立，求a的取值范围．
15．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中，为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
16．已知函数，．
(1)若恒成立，求实数a的值；
(2)若，求证：．
17．英国数学家泰勒发现了如下公式：，，其中．这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性．
(1)用前三项计算；
(2)已知，，，试证明：．
18．已知，.
(1)若，判断函数在的单调性；
(2)设，对，，有恒成立，求k的最小值；
(3)证明：..
19．已知函数．
(1)试比较与的大小．
(2)证明：，．
20．已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.
21．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题．
(1)证明：；
(2)设，证明：：
(3)设，证明：当时，的极小值点是0．
22．英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.
23．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处n（）阶导数都存在时，.注：表示的2阶导数，即为的导数，（）表示的n阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)写出泰勒展开式（只需写出前4项）；
(2)根据泰勒公式估算的值，精确到小数点后两位；
(3)证明：当时，.
24．给出以下三个材料：
①若函数的导数为，的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做的三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做的四阶导数…，一般地，n－1阶导数的导数叫做的n阶导数，即，；
②若，定义；③若函数在包含的某个开区间上具有n阶的导数，那么对于有，我们将称为函数在点处的n阶泰勒展开式.例如，在点处的n阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)若，在点处的3阶泰勒展开式分别为，，求出，；
(2)比较（1）中与的大小；
(3)证明：.
25．已知函数（为自然对数的底数）．
(1)若的最小值为1，求在上的最小值；
(2)若，证明：当时，．
26．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
(2)比较（1）中与的大小.
(3)证明：.
27．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：阶导数指对一个函数进行次求导，表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，为自然对数的底数，，该公式也称麦克劳林公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)利用泰勒公式求的近似值；（精确到小数点后两位）
(2)设，证明：；
(3)证明：（为奇数）．
28．在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式.
(1)分别求，，在处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：.（其中为虚数单位）；
(3)若，恒成立，求a的范围.（参考数据）
29．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
30．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作．②若，定义．③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式．例如，在点处的阶泰勒展开式为．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式；
（2）比较（1）中与的大小．
（3）已知不小于其在点处的阶泰勒展开式，证明：．
31．已知函数，
(1)若a＝1，b＝2，试分析和的单调性与极值；
(2)当a＝b＝1时，、的零点分别为，；，，从下面两个条件中任选一个证明．（若全选则按照第一个给分）
求证：①；
②.
32．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：.
33．阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中．
34．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，e为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：当时，；
(2)证明：对任意的正整数；
(3)证明：e是无理数．
35．已知函数．
(1)求函数在区间上的极值点的个数．
(2)“”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当时，对，都有；
（ii）．
36．18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brk Taylr）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数．
(1)根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字）
(2)由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明；
(3)已知，证明：．
37．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设实数使得对恒成立，求的最大值．
参考答案：
1．证明见解析
【分析】分别构造函数和，利用导数判断单调性并求出最值即可得证
【详解】要证时，，只需证，
记，则，
当时，，所以在上单调递增，故，
所以，
要证时，，只需证，
记，则，
当时，，
所以在上单调递增，故，
所以，
综上，，
2．证明见解析
【分析】方法一：设1），，利用导数证明即得证.
【详解】[方法一]：设1），.
，则在上单调递减，
∴，即有．
所以原不等式得证.
[方法二]：由泰勒展开可得
，则，结论成立．
3．（1）；
（2）证明见详解.
【分析】（1）求导确定函数的单调性，进而可得函数的最大值.
（2）由于不等式中含有两个变量，需要先通过变形和换元转化为含一个变量的不等式，再构造函数利用导数证明不等式.
【详解】（1）

令，得.
当时，，单调递增;
当时，，单调递减.
∴当时，取得最大值.
（2）,
设，
则
.
记，则
由，可得，，则，
所以在时单调递增.
所以，即.
所以原不等式得证，即.
4．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；
（2）由导数得出单调性，进而得出；
（3）由（2）可得，结合对数的运算证明即可.
【详解】（1），，
则曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）可得
即函数上单调递减，在上单调递增，故
（3）由（2）可得在上恒成立
令，则
则
故
【点睛】关键点睛：解决第三问时，关键是由导数得出，进而由对数的运算证明不等式.
5．(1)当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由函数的定义域为，，分类讨论即能求出函数的单调区间．
（2）由题知，当时，有在恒成立，且在上是减函数，进而可得在，上恒成立，可得，由此能够证明．
【详解】（1）因为（），
所以的定义域为，.
若，则，在上为增函数；
若，则，
当时，，当时，.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，由上可知的单调递增区间为，单调递减区间为，有在恒成立，
且在上是减函数，
即在上恒成立，
令，则，
即，
且，
，
即：（，）成立．
6．(1)答案见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；
（2）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；
（3）根据（2）中所求得，结合累加法即可求证结果.
【详解】（1）函数的定义域为，，
①当时，，所以在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，所以，所以在上单调递减，
当时，，所以，所以在上单调递增.
综上，当时，函数在上调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，要证明，
即证，即，
设，则，令得，可得，
当时，，当时，．
所以，即，故.
（3）由（2）可得，（当且仅当时等号成立），
令，，则，
故………
…，
即…，
故….
【点睛】本题考查利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，属综合困难题.
7．(1)a＝1，增区间为，单调递减区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义先求出，再求导解不等式可得单调区间；
（2）将问题转化为f(x)max≤g(x)max，再分别求最大值建立不等式即可求解；
（3）根据（1）中的不等式放缩，再通过裂项相消法求和可证明.
【详解】（1）由已知得f′(x)＝－a，∴f′(2)＝－a＝－，解得a＝1.
于是f′(x)＝－1＝，
当x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x(1，＋∞)时，f′(x)