2024年北京市一零一中学中考零模数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择2*8=16
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A. 五棱柱B. 圆柱C. 长方体D. 五棱锥
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此即可得到答案．
【详解】解：由三视图可知正视图是一个正五边形，左视图是一个大长方形，里面有两个小长方形，俯视图是一个大长方形，竖着分成两个小长方形且有两条线看不见，由此可知这个几何体是五棱柱，
故选A．
【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，解题的关键在于能够正确理解图中的三视图．
2. 根据第七次全国人口普查结果显示，居住在我国大陆31个省、自治区、直辖市（以下简称省份）接受普查登记人员合计约14.3亿人，将1430000000用科学记数法表示应为（ ）
A. 14.3×109B. 1.43×109C. 1.43×108D. 14.3×108
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤a<10，确定a与n的值是解题的关键．
【详解】解：1430000000=1.43×109，
故选：B．
3. 实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足b
A. -2B. -1C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，不等式的基本性质，解决本题的关键是根据数轴上的点确的范围．
【详解】解：由数轴可知，1∵1a<1b，
∴b>0，
即：0由此可知，满足题意的b的值可以是1，
故选：C．
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠AOC=60°，∠BOE=40°，则∠DOE的度数为（ ）
A. 60°B. 40°C. 20°D. 10°
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角相等可得∠BOD=60°，再根据角的和差关系可得答案．
【详解】解：∵∠AOC=60°，
∴∠BOD=60°，
∵∠BOE=40°，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=60°-40°=20°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是掌握对顶角相等．
5. 如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC=50°，则∠BDC的度数为（ ）
A. 90°B. 100°C. 130°D. 140°
【答案】D
【解析】
【分析】由题意易得∠ACB=90°，则有∠A=40°，然后根据圆内接四边形的性质可求解．
【详解】解：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=50°，
∴∠A=40°，
∵四边形ABDC是圆内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠D=140°；
故选D．
【点睛】本题主要考查圆周角及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角及圆内接四边形的性质是解题的关键．
6. 投掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子向上一面的点数之和为6的概率是（ ）
A. 16B. 118C. 736D. 536
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图求等可能事件的概率，用列表法或树状图可以不重不漏地把事件所有可能的结果数及某一事件的结果数表示出来，具有直观的特点．
【详解】列表如下：
由表知，两枚骰子向上的点数之和所有等可能的结果数为36种，两枚骰子向上的点数之和为6的结果数为5，故两枚骰子向上的点数之和为6的概率是：536
故选：D．
7. 如图，等边三角形ABC的边长为2，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，⊙O的半径为2．
将△ABC绕点A逆时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：
①当点C第一次落在⊙O上时，旋转角为30°；
②当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为60°．
则结论正确是（ ）
A. ①B. ②C. ①②D. 均不正确
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，图形的旋转，熟练掌握旋转的性质，等边三角形，圆的切线性质，是解题的关键．
①当点C第一次落在⊙O上时，连接AO、BO、C'O，可证明△ABO是等腰直角三角形，B、C'、O三点共线，再求出∠CAO=15°，可得∠CAC'=30°；
②当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，先求出∠OAM=45°，∠BAC'=135°，∠BAB'=75°，即可得出结论．
【详解】解：①当点C第一次落在⊙O上时，
连接AO、BO、C'O，
∵AO=BO=2，AB=2，
∴△ABO是等腰直角三角形，
∴AO⊥BO，
又∵AO=C'O=2，AC'=AC=2，
∴AO2+C'O2=AC'2，
∴△AOC'是等腰直角三角形，
∴AO⊥OC'，
∴B、C'、O三点共线，
∵AB=AC'，
∴∠ABC'=∠AC'B=45°，
∴∠BAC'=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAC'=∠BAC'-∠BAC=30°，故①正确；
当AC与⊙O相切时，连接CO并延长与AB交于点M，连接AO，
∵△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB，
∵AB=2，
∴AM=1，
∵OA=2，
∴OM=1，
∴∠OAM=45°，
∵∠OAC'=90°，
∴∠BAC'=135°，
∵∠C'AB'=60°，
∴∠BAB'=75°，
∴当AC第一次与⊙O相切时，旋转角为75°，故②错误，
故选：A．
8. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），且保持BE=AF，连接DE，DF，EF．设BE=a，CF=b，EF=c．在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：①a+b>c；②a2+b2=c2；③c≥2(a+b)2，且等号可以取到．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理是解此题的关键，由题意得出AE=CF=b，由三角形三边关系得出AF+AE>EF，即可判断①；利用勾股定理即可判断②；连接AD，设AD=h，由等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD=h，AD⊥BC，由勾股定理得出h=2(a+b)2，再由c2=a2+b2得出c2-h2=12(a-b)2≥0，再分a=b和a≠b对③进行判断即可．
【详解】解：①∵AB=AC，BE=AF=a，
∴AE=CF=b，
∵点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），
∴AF+AE>EF，即a+b>c，故结论①正确；
②∵∠A=90°，
∴在Rt△AFE中，AF=a，AE=b，EF=c，
由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，即a2+b2=c2，故结论②正确；
③连接AD，设AD=h，如下图所示：
在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD=h，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
∴2h2=(a+b)2，
∴h2=12(a+b)2，即h=2(a+b)2，
∵c2=a2+b2，
∴c2-h2=(a2+b2)-12(a+b)2=12(a-b)2≥0，
当且仅当a=b时，即点E，F分别为AB，AC的中点时，12(a-b)2=0，
此时c=h，即c=2(a+b)2，
当a≠b时，即点E，F不是AB，AC的中点时，12(a-b)2≥0，
此时c>h，即c>2(a+b)2，
∴c≥2(a+b)2，且等号可以取到，故结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：D．
二、填空 2*8=16
9. 若x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≥-1
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】由题意可知x+1≥0，
∴x≥-1．
故答案为：x≥-1．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．
10. 因式分解：2a3-8a=______．
【答案】2aa+2a-2
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键．先提公因式2a，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：2a3-8a
=2aa2-4
=2aa+2a-2，
故答案为：2aa+2a-2．
11. 若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断a,b的大小关系．
【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，a=1>0，开口向上，对称轴为x=1
又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，
1-0=1,3-1=2
∴a故答案为：<
【点睛】本题考查了二次函数y=ax-h2图象的性质，掌握二次函数y=ax-h2图象的性质是解题的关键．
12. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，若∠APB=60°，则∠ACB＝________°．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据圆的切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°，再根据四边形的内角和可得∠AOB=120°，然后根据圆周角定理即可得．
【详解】解：∵PA,PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=120°，
由圆周角定理得：∠ACB=12∠AOB=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．
13. 在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A1,2和点B-1,m，则m的值为______________．
【答案】-2
【解析】
【分析】由题意易得k=2，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
【详解】解：把点A1,2代入反比例函数y=kxk≠0得：k=2，
∴-1×m=2，解得：m=-2，
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
14. 如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，AC=4，BD=8，则OM的长为__________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=12AC=2，OB=OD=12BD=4，由勾股定理得AB=OA2+OB2=25，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得解．根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4，BD=8，
∴AC⊥BD，OA=OC=12AC=12×4=2，OB=OD=12BD=12×8=4
∴∠AOB=90°，
∴AB=OA2+OB2=22+42=25，
∵点M为AB的中点，
∴OM=12AB=12×25=5．
故答案为：5．
15. 如图，在▱ABCD中，延长CD至点E，使DE=DC，连接BE与AC于点F，则BFFE的值是__________________．

【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识点，证得△ABF∽△CEF成为解题的关键．
由平行四边形的性质结合已知条件可得AB=CD=DE=12CE，再证明△ABF∽△CEF，最后根据相似三角形对应边成比例即可解答．
【详解】解：在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵DE=DC，
∴AB=CD=DE=12CE，
∵AB∥CD，
∴△ABF∽△CEF，
∴BFFE=ABCE=12．
故答案为：12．
16. 春季是传染病的高发季节，社区负责人决定组织本社区所有居民到A,B两个站点接种流感疫苗．已知A站点从准备至连续为a人接种疫苗所需时间为12a+30分；B站点从准备至连续为b人接种疫苗所需时间为13b+50分．一开始社区负责人先试着将90名居民按一定比例分配到A,B两个站点进行疫苗接种，结果两站点正好在相同时间完成了接种任务，则分配到A站点的人数与分配到B站点的人数之比为______；为了使接种工作不间断进行，在前面的90名居民即将结束时，社区负责人又给A站点分配了m名未接种居民，B站点分配了n名未接种居民．为保证两站点在相同的时间完成接种任务，则mn的值为______．
【答案】 ①. 2∶1 ②. 23
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及比例的基本性质，熟练掌握一元一次方程的应用及比例的基本性质是解题的关键．设分配到A站点的人数为x名，则分配到B站点的人数为为名90-x，依题意可得12x+30=1390-x+50，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为1260+m+30=1330+n+50，进而求解即可得出答案．
【详解】解：设分配到A站点的人数为x名，则分配到B站点的人数为为名90-x，依题意可得：
12x+30=1390-x+50
解得：x=60，
∴分配到B站点人数为90-x=90-60=30（人），
∴分配到A站点的人数与分配到B站点的人数的比为60：30=2：1；
∴为了使接种工作不间断进行，在前面的90名居民即将结束时，社区负责人又给A站点分配了m名未接种居民，B站点分配了n名未接种居民．为保证两站点在相同的时间完成接种任务，
∴1260+m+30=1330+n+50
解得：3m=2m
即mn=23，
故答案为：2∶1；23．
三、解答题（17-21，23题5分，22，24，25，26题6分，27，28题7分）
17. 计算：-12022+38-13-1+2sin45°．
【答案】1
【解析】
【分析】先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．
【详解】解：原式=1+2-3+2×22
=1+2-3+1
=1
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 解方程：2x-3x2-1-1x+1=2x-1．
【答案】x=-4
【解析】
【分析】去分母化为整式方程，然后求解方程并检验即可．
【详解】解：分式两边同乘得：2x-3-(x-1)=2(x+1)，
整理化简得：x-2=2x+2，
解得：x=-4，
检验，当x=-4，x2-1≠0．
∴x=-4是原分式方程的解．
【点睛】本题主要是考查了解分式方程，正确地去分母，把分式方程化成整式方程，是求解关键．
19. 已知x2+x-5=0，求代数式1x+1x+1⋅56x+3的值．
【答案】53x2+3x，13
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则化简分式，再由x2+x-5=0，变形为3x2+3x=15，最后整体代入化简式计算即可．
【详解】解：1x+1x+1⋅56x+3
=2x+1x(x+1)⋅53(2x+1)
=53x2+3x，
∵x2+x-5=0，
∴x2+x=5，
∴3x2+3x=15，
当3x2+3x=15时，原式=515=13，
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20. 已知关于x的一元二次方程x2-ax+a-1=0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．
【答案】（1）见解析 （2）a的值为3
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，根的判别式为△=△=b2-4ac，进行化简即可证明；
（2）根据根与系数的关系，以及根的倍数关系，列方程，解方程可得答案．
【小问1详解】
证明：∆=(-a)2-4(a-1)=a2-4a+4=(a-2)2，
∵(a-2)2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
【小问2详解】
解：设该方程的一个根为x1，则另外一个根为2 x1，
则x1+2x1=a①2x12=a-1②，
由①得x1=a3，
代入②可得：2a2-9a+9=0，
解之得a1=3，a2=32，
又因为该方程的两个实数根都是整数，
所以a=3．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
21. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且BE⊥ED，CF=AE．
（1）求证：四边形EBFD是矩形；
（2）若AB=5，cs∠OBC=45，求BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）BF的长为325．
【解析】
【分析】（1）利用“SAS”证明△ABE≌△CDF，得到BE=DF，∠E=∠F=90°，即可证明四边形EBFD是矩形；
（2）在Rt△BCO中，利用余弦函数求得OB的长，在Rt△BDF中，再利用余弦函数即可求得BF的长．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠EAB=∠ADC，∠FCD=∠ADC，
∴∠EAB=∠FCD，
∵AE= CF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴BE=DF，∠F=∠E=90°，
∴BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵∠E=90°，
∴四边形EBFD是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=5，
∴OB=OD，AC⊥BD，AB=BC=5，
在Rt△BCO中，cs∠OBC=45，BC=5，
∴OBBC=45，
∴OB=4，则BD=2OB=8，
在Rt△BDF中，cs∠OBC=45，BD=8，
∴BFBD=45，
∴BF=45×8=325．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
22. 如图，直线y=m与反比例函数y=kxx<0,y=2xx>0的图像分别交于点A和点B．
1若m=1,线段AB的长度是8，求点A,B的坐标及k的值；
2嘉淇同学观察了三个函数图像后，大胆猜想：“当k一定时，△OAB的面积一定随m的增大而增大．”你认为他的猜想对吗．说明理由；
3在1的条件下，若直线y=nx+2n(n≠0)与y=2xx>0的图像有交点，与y=kxx<0的图像无交点，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）A（-6，1），B（2，1），k=﹣6；（2）嘉淇的猜想不对，理由解析；（3）0＜n＜6
【解析】
分析】（1）把y=1代入y=2x可得点B坐标，由AB=8可得点A坐标，把点A坐标代入y=kx即可求出k；
（2）当y=m时，分别求出点A、B的坐标，进而可得AB的长，然后即可求出△OAB的面积，从而可判断嘉淇同学的猜想；
（3）由直线y=nx+2n(n≠0)与y=2x(x>0)的图象有交点可得n的一个取值范围，由直线y=nx+2n(n≠0)与y=-6x(x<0)的图象无交点可再得n的一个取值范围，取其公共部分即得结果．
【详解】解：（1）当m=1时，把y=1代入y=2x，得x=2，
∴B（2，1），
∵AB=8，
∴A（﹣6，1），
把A（﹣6，1）代入y=kx，
∴ k=﹣6×1=﹣6；
(2) 把y=m代入y=2x，得x=2m，
∴B（2m，m），
把y=m代入y=kx，得x=km，
∴A（km，m），
∴AB=2m﹣km=2-km，
∴S△OAB=12×2-km×m=1-k2，
∴△OAB的面积与m无关．
∴嘉淇的猜想不对；
（3）∵直线y=nx+2n(n≠0)与y=2x(x>0)的图象有交点，
∴方程nx+2n=2x即nx2+2nx-2=0有两个实数根，
∴4n2+8n≥0，解得：n≥0或n≤-2（舍去），
又∵n≠0，∴n>0；
∵直线y=nx+2n(n≠0)与y=-6x(x<0)的图象无交点，
∴方程nx+2n=-6x即nx2+2nx+6=0没有实数根，
∴4n2-24n<0，解得：0＜n＜6；
综上所述，n的取值范围是：0＜n＜6．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象与性质、两个函数的交点问题以及一元二次方程的判别式和二次函数与不等式的关系等知识，属于常考题型，其中第（3）小题有一定的难度，掌握利用一元二次方程的根的判别式和二次函数的知识解答是解本小题的关键．
23. 甲、乙两个音乐剧社各有15名学生，这两个剧社都申请报名参加某个青少年音乐剧展演活动，主办方对报名剧社的所有学生分别进行了声乐和表演两项测试，甲、乙两个剧社学生的测试成绩（百分制）统计图如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲剧社中一名学生的声乐成绩是85分，表演成绩是60分，按声乐成绩占60%，表演成绩占40%计算学生的综合成绩，求这名学生的综合成绩；
（2）入选参加展演的剧社需要同时满足以下两个条件：首先，两项测试成绩都低于60分的人数占比不超过10%；其次，两项测试成绩中至少有一项的平均成绩不低于75分．那么乙剧社______（填“符合”或“不符合”）入选参加展演的条件；
（3）主办方计划从甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有______人，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率是______．
【答案】（1）75 （2）符合
（3）4；23
【解析】
【分析】（1）利用加权平均数的运算公式直接计算就可得到结果；
（2）准确识图，统计相应数据计算百分比和相应加权平均数即可；
（3）准确识图，用列举法求解概率．
【小问1详解】
解：该生的综合成绩为：85×60%+60×40%=51+24=75，
答：这名学生的综合成绩为75分；
【小问2详解】
解：由图可知：乙剧社两项成绩都低于60分的有1人，所占比例约为6.7%，低于10%，满足第一个条件；
乙剧社声乐成绩统计表如下：
乙剧社声乐的平均成绩为：
115×(55+65×3+75×5+85×5+95)≈76.3，
大于75分，满足第二个条件．所以乙剧社符合入选参加展演的条件
故答案：符合；
【小问3详解】
解：甲、乙两个剧社声乐和表演成绩都高于80分的学生中，随机选择两名学生参加个人展示，那么符合条件的学生一共有4人．
80分以上的4人中，甲剧社2人，乙剧社2人，抽取情况如下表：
抽出的结果共有12种可能，而来自不同剧社的结果又8种可能，被抽选到的这两名学生分别来自不同剧社的概率为：P(分别来自不同剧社) =812=23．
故答案为：4；23．
【点睛】本题考查了加权平均数、列举法求概率、数形结合的思想等知识．准确的识图和精确地计算是解决本体的关键．
24. 如图，AB是⊙O的直径，CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，连接OC，点E在AB的延长线上，延长AD，EC交于点F．
（1）求证：FA∥CO；
（2）若FA=FE，CD=4，BE=2，求FA的长．
【答案】（1）见解析 （2）35
【解析】
【分析】（1）连接OD，证明△CDO≌△CBO（SSS），得∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，又因为OD=OA，得∠OAD=∠ODA，所以∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，即可证得∠COB=∠OAD，即可由平行线的判定定理，得出结论；
（2）由FA=FE，得∠FAE=∠FEA，又由（1）知：∠COB=∠OAD，所以∠COE=∠CEO，则CO=CE，又由切线的性质得OB⊥CB，根据等腰三角形“三线合一”性质得OB=BE=2，从而求出AE=6，OE=4，再由切线性质得CB=CD=4，然后在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CF=CB2+BE2=42+22=25，最后证△EOC∽△EAF，得OEAE=CEFE，即46=25FE，可求得FE=35，即可由FA=FE得出答案．
【小问1详解】
证明：如图，连接OD，
∵CB，CD分别与⊙O相切于点B，D，
∴CD=CB，
∵OD=OB，OC=OC，
∴△CDO≌△CBO（SSS），
∴∠COD=∠COB，即∠BOD=2∠COB，
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴2∠COB=2∠OAD，即∠COB=∠OAD，
∴FA∥OC；
【小问2详解】
解：∵FA=FE，
∴∠FAE=∠FEA，
由（1）知：∠COB=∠OAD，
∴∠COE=∠CEO，
∴CO=CE，
∵CB是⊙O的切线，
∴OB⊥CB，
∴OB=BE=2，
∴OA=OB=2，
∴AE=6，OE=4，
∵CB、CD是⊙O的切线，
∴CB=CD=4，
在Rt△CBE中，由勾股定理，得
CE=CB2+BE2=42+22=25，
∵FA∥OC，
∴△EOC∽△EAF，
∴OEAE=CEFE，即46=25FE，
∴FE=35，
∴FA=FE=35．
【点睛】本题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
25. 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C．
（1）求OC的长．
操作：将图1中的水面沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM=30°时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．

探究：在图2中
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与EQ的长度，并比较大小．
【答案】（1）7cm；（2）112cm；（3）EF=2533cm，EQ=25π6cm，EF>EQ．
【解析】
【分析】（1）连接OM，利用垂径定理计算即可；
（2）由切线的性质证明OE⊥GH进而得到OE⊥MN，利用锐角三角函数求OD，再与（1）中OC相减即可；
（3）由半圆的中点为Q得到∠QOB=90°，得到∠QOE=30°分别求出线段EF与EQ的长度，再相减比较即可．
【详解】解：（1）连接OM，
∵O为圆心，OC⊥MN于点C，MN=48cm，
∴MC=12MN=24cm，
∵AB=50cm，
∴OM=12AB=25cm，
∴在Rt△OMC中，
OC=OM2-MC2=252-242=7cm．

（2）∵GH与半圆的切点为E，
∴OE⊥GH
∵MN∥GH
∴OE⊥MN于点D，
∵∠ANM=30°，ON=25cm，
∴OD=12ON=252cm，
∴操作后水面高度下降高度为：
252-7=112cm．
（3）∵OE⊥MN于点D，∠ANM=30°
∴∠DOB=60°，
∵半圆的中点为Q，
∴AQ=QB，
∴∠QOB=90°，
∴∠QOE=30°，
∴EF=tan∠QOE⋅OE=2533cm，
EQ=30×π×25180=25π6cm，
∵2533-25π6=503-25π6=2523-π6>0，
∴EF>EQ．
【点睛】本题考查了垂径定理、圆的切线的性质、求弧长和解直角三角形的知识，解答过程中根据相关性质构造直角三角形是解题关键．
26. 在平面直角坐标系xOy中，点M (x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，其中x1≠x2，4a+b=0．
（1）当x1=1，y1=y2时，求x2的值；
（2）直线y=kx+n经过点M，N，若对于t0，求t的取值范围．
【答案】（1）x2的值为3
（2）t>12
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质：
（1）求得对称轴，利用抛物线的对称性即可求得x2的值；
（2）由题意可知当t2，即可求得的取值范围．
【小问1详解】
解：∵4a+b=0，
∴b=-4a，
∴抛物线的对称轴为直线x=-b2a=--4a2a=2，
∵x1=1，y1=y2，
∴点M (x1，y1)，N(x2，y2)关于直线x=2对称，
∴x2的值为3；
【小问2详解】
解：∵直线y=kx+n经过点M，N，若对于t0，
∴y1∴线段MN的中点坐标在对称轴右侧，
∴ x1+x22>2，
∴ t+t+32>2，
解得t>12．
27. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，且∠APB=45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）当∠ABP=90°时，在图1中补全图形，并直接写出线段AP与CD之间的数量关系；
（2）如图2，当∠ABP>90°时，
①用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明；
②在线段AP上取一点K，使得∠ABK=∠ACD，画出图形并直接写出此时KPBP的值．
【答案】（1）见解析，AP=2CD；（2）①AP=2CD，见解析，②见解析，2
【解析】
【分析】（1）根据题意画出图形，再利用等腰直角三角形的性质可得答案；
（2）①如图，作BE⊥AP于点E，作CF⊥BE交EB的延长线于点F， 证明四边形CDEF为正方形，可得EP=BE，从而可得答案；②画图如下：延长CD,BK交于点N,记AB,CD交于点M, 证明∠CNM=∠CAB=45°, ∠PBK=∠NDK=90°, 可得∠PKB=45°, 再利用锐角三角函数可得答案．
【详解】（1）解：补全图形如图所示．
由题意得：∠ACB=90°,AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∴AB=2AC,
∵CD⊥PA,∠APB=45°,
∴D,A重合，∠BDP=∠BAP=45°,∠ABP=90°,
∴AB=BP,AP=2AB,
∴AP=2CD．
（2）①AP=2CD．
证明：如图，作BE⊥AP于点E，作CF⊥BE交EB的延长线于点F，则∠F=∠FED=∠BEP=90°．
∵CD⊥PA于点D，
∴∠ADC=∠CDE=90°，
∴四边形CDEF为矩形．
∴∠DCF=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∵AC=BC，∠ADC=∠F=90°，
∴△CAD≌△CBF，
∴CD=CF,AD=BF，
∴四边形CDEF为正方形，
∴DE=EF=CD，
∵∠APB=45°,∠BEP=90°，
可得∠PBE=∠APB=45°，
∴EP=BE
∴AP=AD+DE+EP=BF+DE+BE=EF+DE=2CD．
②画图如下：延长CD,BK交于点N,记AB,CD交于点M,
∵∠AMC=∠BMN,∠ABK=∠ACD,
∴∠CNB=∠CAB=45°,
∵∠DKN=∠PKB, ∠P=45°,
∴∠PBK=∠NDK=90°,
∴∠PKB=45°,
∴sin45°=BPKP=22,
∴KPBP=2.
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，三角形全等的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系xOy中，对于线段AB与直线l:y=kx+b，给出如下定义：若线段AB关于直线l的对称线段为A'B'(A'，B'分别为点A，B的对应点)，则称线段A'B'为线段AB的“k,b关联线段”．
已知点A1，1，B1，-1．
（1）线段A'B'为线段AB的“1,b关联线段”，点A'的坐标为2，0，则A'B'的长为______，b的值为______；
（2）线段A'B'为线段AB的“k,0关联线段”，直线l1经过点C0，2，若点A'，B'都在直线l1上，连接OA'，求∠COA'的度数；
（3）点P-3，0，Q-3,3，线段A'B'为线段AB的“k,b关联线段”，且当b取某个值时，一定存在k使得线段A'B'与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）2，-1
（2）15°或105°
（3）b≤-72或b≥22-1
【解析】
【分析】（1）由AB、A'B'关于直线l对称，得到A'B'=AB=2，由题意得y=x+b，把AA'的中点32,12代入y=x+b，求出b即可；
（2）连接OA，OB，OB'，以O为圆心，OA的长为半径画圆，由A1，1，B1，-1，可得AB=2，OA=OB=2，根据对称的性质可得A'B'=AB=2，OA'=OA=OB=OB'=2，推出点A、B、A'、B'都在圆O上，得到A'B'是直线l1与圆O相交所得的长为2的弦，分为当A'B'在y轴的左侧时，取A'B'的中点D，连接OD，当A'B'在y轴的右侧时，两种情况讨论，即可求解；
（3）设直线y=kx+b与y轴交于点E，连接EB，EA，求出当b>0时，⊙Er=EB与PQ相切时，当b<0时，⊙Er=EA经过点P时，两种特殊情形的值，即可得出b的取值范围．
【小问1详解】
解：∵A1,1，B1,-1，
∴AB=2，
∵AB、A'B'关于直线l对称，
∴A'B'=AB=2，
由题意得：k=1，
∴y=x+b，
∵A、A'关于直线l对称，
∴直线l经过AA'的中点，
∵A1,1，A'(2,0)，
∴AA'的中点为1+22,1+02，即32,12，
把32,12代入y=x+b，
得：32+b=12，
解得：b=-1，
故答案为：2，-1；
【小问2详解】
连接OA，OB，OB'，以O为圆心，OA的长为半径画圆，
∵A1，1，B1，-1，
∴AB=2，OA=OB=12+12=2，
∵线段A'B'为线段AB的“k,0关联线段”，
∴直线l解析式为：y=kx，点A、B关于直线l的对称点是A'、B'，
∴A'B'=AB=2，OA'=OA=OB=OB'=2，
∴点A、B、A'、B'都在圆O上，
∵点A'，B'都在直线l1上，
∴A'B'是直线l1与圆O相交所得的长为2的弦，
如下图，当A'B'在y轴的左侧时，取A'B'的中点D，连接OD，
则A'D=1，OD⊥A'B'，
∴∠A'DO=90°，
∴OD=A'O2-A'D2=22-12=1，
∴OD=A'D，
∴∠A'OD=45°，
∵C0，2，
∴OC=2，
∴cs∠COD=ODOC=12，
∴∠COD=60°，
∴∠COA'=∠COD-∠A'OD=60°-45°=15°，
如下图，当A'B'在y轴的右侧时，
同理可求∠COA'=∠COD+∠A'OD=60°+45°=105°，
综上所述，∠COA'的度数为15°或105°；
【小问3详解】
设直线y=kx+b与y轴交于点E，连接EB，EA．
∴E0,b，
当b>0时，⊙Er=EB与PQ相切时，OP=BE，
∵P-3，0，B1，-1，
∴OP2=-32=9，BE2=12+b+12
∴12+b+12=9，
解得：b=22-1（负值已舍去）；
当b<0时，⊙Er=EA经过点P时，PE=AE，
∵P-3，0，A1，1，E0,b，
∴PE2=32+b2，AE2=12+1-b2，
∴32+b2=1+1-b2，
解得：b=-72，
∵线段A'B'与线段PQ有公共点，
∴b≤-72或b≥22-1．
【点睛】本题考查轴对称的性质，一次函数的图像与性质，三角函数，圆的相关性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
范围
频数
50＜x≤60
1
60＜x≤70
3
70＜x≤80
5
80＜x≤90
5
90＜x≤100
1
甲1
甲2
乙1
乙2
甲1
甲1，甲2
甲1，乙1
甲1，乙2
甲2
甲2，甲1
甲2，乙1
甲2，乙2
乙1
乙1，甲1
乙1，甲2
乙1，乙2
乙2
乙2，甲1
乙2，甲2
乙2，乙1