九年级第一学期期中检测数学预测卷（解析版）

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一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了比例的基本性质，由，于是可设，则，代，计算即可求解．
【详解】解：∵，
设，则，
则，
故选：A．
2 . 端午节，妈妈给小慧准备了4个粽子，其中豆沙粽、蛋黄粽各1个，肉粽2个．
小慧从中任取1个粽子，是豆沙粽的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据概率公式进行进行计算即可．
【详解】解：根据题意：任取一个粽子，是豆沙粽的概率为，
故选：A．
3. 如图，是的外接圆，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理计算即可．
【详解】解：由圆周角定理得，∠C=∠AOB=25°，
故选：A．
4．抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可．
【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为，
故选：C．
如图，在三角形纸片中，，，．将沿图示中的虚线剪开，
剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可．
【详解】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．
所以选B．
6．已知三点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法比较大小
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．将点，，代入中，求出，，，最后比较得到，，的大小关系．
【详解】解：抛物线为，点，，都在该抛物线上，
，
，
，
，
故选：A．
7 .如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，
已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，
已知米，米，则树高为（ ）米

A．4B．5C．6D．7
【答案】A
【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故选：A．
8 .如图，四边形内接于，交的延长线于点E，
若平分，，，则（ ）

A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到，，从而得到，得出，然后利用勾股定理计算的长．
【详解】解：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
又
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
如图，平行四边形ABCD，，，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，
，垂足为G，，则的周长为（ ）

A．8B．9.5C．10D．5
【答案】A
【分析】在□ABCD中，由已知条件可得△ADF是等腰三角形，；同理△ABE也是等腰三角形，可知，所以；在△ABG中，，，，由勾股定理可得，又因为△ABE是等腰三角形，，所以，所以△ABE的周长等于16，又由□ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8．
【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，，，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴，，
∴，
∴，∴，
∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE也是等腰三角形， ，，
∴，
∴在△ABG中，，，，
可得：，
又∵，，
∴，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A
已知二次函数的图像如图所示，有以下结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像和性质依次判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，．
∵对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，
∴①错误．
∵当时，．
∴，
∴②错误．
∵当时，，
∴，
∴③正确．
∵对称轴是直线，
∴∴，
∴，
∴④错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，
∴⑤正确．
故选：B．
二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
11．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，
卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，
则抽出的卡片图案是琮琮的概率是 ．

【答案】
【分析】根据概率公式即可求解．
【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是
故答案为：．
12.如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．

【答案】
【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而.
【详解】， ，，
，
，
，
，
；
故答案为：.
如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个半径为的圆，杯内水面宽，
则水深是___________

【答案】
【分析】连接，，根据C是的中点，D是的中点，垂径定理推出，，，推出O、C、D三点共线，得到，设，，根据勾股定理推出，得到．
【详解】解：连接，，
∵是横放圆柱形的玻璃水杯内水最深处，
∴C是的中点，D是的中点，
∴，，，
∴O、C、D三点共线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，，（不合题意，舍去），
∴．
故答案：
如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，
铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，
则铅球推出的水平距离OA的长是 m．

【答案】10
【分析】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．
【详解】将y=0代入；
整理得：
（x-10）（x+2）=0
解得：x=10或x=-2（舍去）
∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．
故答案为：10
15 . 如图，一张扇形纸片的圆心角为，半径为6．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，
折痕为，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于弧OD、线段OC和CD所围成的图形的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，能进而求出答案．
【详解】解：连接OD，如图，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD3，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD3×36π，
∴阴影部分的面积为2×（6π）＝93π，
故答案：．
在矩形中，，，是的中点，连接，过点作于点F．

（1）线段的长为 ；
（2）连接，若交于点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理；
（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；
（2）延长交的延长线于，利用相似三角形的性质求出，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】（1）根据题意，画出下图：
，，，
，
，，
；
故答案为：；
（2）若交于点，延长交延长线于点，如图所示：
在中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某校在手抄报评比活动中，共设置了“交通安全，消防安全、饮食安全，防疫安全”四个主题内容，
推荐亮亮和苗苗两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，
每个主题被选择的可能性相同．

(1)亮亮选择交通安全手抄报的概率为________；
(2)用列表法或画树状图法来求亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率．
解:（1）亮亮的选择总共有4种可能的结果，所以选择交通安全手抄报的概率为
（2）用A表示交通安全，用B表示消防安全、用C表示饮食安全，用D表示防疫安全，
画树状图如下，

由图可知，总共有16种可能的结果，
其中亮亮和苗苗选择不同主题手抄报有12种可能的结果，
所以亮亮和苗苗选择不同主题手抄报的概率为
18. 已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．
（1）求a的值．
（2）求二次函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）3
（2）（2，0）和（0，0）
【解析】
【分析】（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；
（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．
【小问1详解】
解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），
∴0＝a（2-1）2-3，
解得：a=3；
【小问2详解】
由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，
令y=0，则3（x-1）2-3=0，
解得：x=2或x=0，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．
如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，
光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，已知，．

求证：．
测得米，米，米，求该古城墙的高度．
【答案】(1)见解析
(2)8米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明三角形相似并根据相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
（1）根据题意可得，因为，所以，根据，可得，进而证得；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入已知数据计算即可．
【详解】（1）证明：如图所示，
，
，
∵光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端C处，
∴，
，
；
（2）解：，
∴，
∴，
，
∴该古城墙的高度为8米．
20．如图所示，，为⊙O的直径，、分别交⊙O于E、D，连结、．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，
（1）连接，就是等腰三角形底边上的高，根据等腰三角形三线合一的特点，可得出，根据圆周角定理即可得出，便可证得．
（2）由于，那么就是三角形中边上的高，可用面积的不同表示方法得出．进而求出的长．
解题的关键是用等腰三角形三线合一的特点得出圆周角相等．
【详解】（1）如图，连接，则，
在等腰三角形中，，
∴（等腰三角形三线合一），
∴，
∴；
（2）∵，，
∴根据勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴．
21 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条60元，
当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．
据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售10条．
设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．
(1)直接写出y与x的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少?
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生．
为了保证捐款后每月利润不低于1590元，且让消费者得到最大的实惠，
该如何确定休闲裤的销售单价?
【答案】(1)
(2)当销售价格为75元时，每月获得利润最大为2250元
(3)确定休闲裤的销售单价为71元
【分析】（1）根据题意写出销售量与售价的函数关系即可；
（2）根据销售量乘以每件的销售利润即可求得销售利润，据此列出二次函数关系式，并根据二次函数的性质求得最大值；
（3）根据二次函数的性质求得销售单价
【详解】（1）
（2）
∵抛物线开口向下∴当时，元
答：当销售价格为75元时，每月获得利润最大为2250元
（3）由题意得：
解得：为了让消费者得到最大的实惠，故
22．如图，在中，是边上一点．

当时，
①求证：；
②若，，求的长；
(2) 已知，若，求的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据相似三角形判定方法对应角相等证明即可；②利用相似三角形对应边呈比例求解即可；
（2）据相似三角形判定方法对应边呈比例证明，由，，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴；
②解：∵，
∴，即，
∴；
（2）解：∵，
∴.
∵，
∴，
∴.，
，
∴
23. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AD⊥BC，垂足为D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连结BE．

（1）求证：∠AEB＝∠AFD．
（2）若AB＝10，BF＝5，求AD的长．
（3）若点G为AB中点，连结DG，若点O在DG上，求BF ：FC的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）6 （3）：2
【解析】
【分析】（1）根据AE是直径可得∠ABE=90°，由AE是角平分线可得∠BAE=∠DAE，根据直角三角形两锐角互余可得答案；
（2）根据（1）中结论可得∠BFE=∠BEF，可得BE=BF，根据∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF可证明△ABE∽△ADF，根据相似三角形的性质可得，设DF=x，则AD=2x，在Rt△ABD中，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案；
（3）由点G为AB中点，点O在DG上可证明OG是△ABE的中位线，根据中位线的性质可得OG//BE，OG=BE，即可得出DG⊥AB，∠AOG=∠AEB=∠AFD，可得OD=DF，△ABD是等腰直角三角形，根据圆周角定理可得∠AEB=∠ACB，可得∠ACB=∠AFC，可得AC=AF，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得DF=CD，设BF=a，DF=b，根据等腰直角三角形的性质可得，可得，进而可得答案．
【小问1详解】
∵直径AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAE+∠AFD=90°，
∴∠AEB＝∠AFD．
【小问2详解】
∵∠AEB＝∠AFD，∠AFD=∠BFE，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF，
∵∠BAE=∠DAF，∠ABE=∠ADF，
∴△ABE∽△ADF，
∵AB=10，BF=5，
∴，
设DF=x，则AD=2x，
∴在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即102=（5+x）2+（2x）2，
解得：x=3，（负值舍去）
∴AD=2x=6．
【小问3详解】
∵点G为AB中点，点O在DG上，
∴OG是△ABE的中位线，
∴OG//BE，OG=BE，
∵∠ABE=90°，
∴DG⊥AB，∠AOG=∠AEB=∠AFD，
∴OD=DF，△ABD是等腰直角三角形，
∵∠AEB和∠ACB是所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACB，
∴∠ACB=∠AFC，
∴AC=AF，
∵AD⊥CF，
∴DF=CD，
设BF=a，DF=b，
∴，
∴，
∴BF：FC=a：2b=：2．
24 . 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1：图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形或圆弧形桥拱的示意图，某时测得水面宽，
拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．

素材2：为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，
如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，
相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，
要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决：
任务1：确定桥拱形状是抛物线： 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2：拟定设计方案：在任务1的基础上， 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
任务3：确定桥拱形状是圆弧：在图2中用适当方法求圆弧所在圆的半径长
任务4：拟定通行方案：在任务3的基础上，该河段水位涨达到最高时，
有一艘货船它漏出水面高米，船体宽9米需要从拱桥下通过，
给出船航行线路，并判断是否能顺利通行．
【答案】任务1：图见解析，；任务2：方案一：从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是；方案二：从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为，可共挂8盏灯笼，最左边一盏挂点的横坐标是；任务3： 半径；任务4：船体在圆弧的拱顶正下方可以通过
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法，以及垂直于弦的直径平分弦，是解题的关键．
任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，则，设该抛物线的表达式为，把代入求出a的值，即可得出函数表达式；
任务2：根据该河段水位在此基础上再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，得出悬挂点的纵坐标，进而得出悬挂点的横坐标取值范围为，根据相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为， 即可解答；
任务3：设圆的圆心为点C，相交于点D，得出，则，设该圆的半径为r，则，根据勾股定理列出方程求解即可；
任务4：先求出该货船顶端与圆心距离，根据勾股定理可得：，则，即可解答．
【详解】解：任务1：以桥拱的最高点为原点，构造平面直角坐标系，如图所示：
根据题意可得：，
设该抛物线的表达式为，
把代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数表达式为；

任务2：
∵该河段水位在此基础上再涨达到最高，
灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
即悬挂点的纵坐标最小为，
把代入得：
，
解得：，
∴悬挂点的横坐标取值范围为；
方案一：
从顶点处开始悬挂，
∵相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为，，
∴从顶点处开始悬挂，共可挂7盏灯笼，
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为；
方案二：
从对称轴两侧开始悬挂，正中间两盏与对称轴的距离均为，
，
∴可以挂（盏），
最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标为；
任务3：
设圆的圆心为点C，相交于点D，
由题意可得：，
∴，
设该圆的半径为r，则，
根据勾股定理可得：，
则，
解得：；

任务4：
由任务3可知，，
当河段水位涨达到最高时，，
∵货船漏出水面高米，
∴该货船顶端与圆心距离，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴船体在圆弧的拱顶正下方可以通过．