2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习11二次函数与幂函数（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习11二次函数与幂函数（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知幂函数f(x)＝k·xα(k∈R，α∈R)的图象经过点(4，eq \f(1,2))，则k＋α＝( )
A．eq \f(1,2) B．1 C．eq \f(3,2) D．2
2．[2024·山东潍坊模拟]已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交点的横坐标为－5和3，则二次函数的单调递减区间为( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．(－∞，2] D．[2，＋∞)
3．[2024·吉林长春模拟]“函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减”是“函数g(x)＝x2－(a－1)x为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．下面关于函数f(x)＝x2＋3x＋4的说法正确的是( )
A．f(x)>0恒成立B．f(x)最大值是5
C．f(x)与y轴无交点D．f(x)没有最小值
5．设a，b均为非零实数，则直线y＝ax＋b和y＝ax2＋bx在同一坐标系下的图形可能是( )
6．如果函数y＝x2＋(1－a)x＋2在区间(4，＋∞)上单调递增，那么实数a的取值范围是( )
A．(－∞，9] B．(－∞，－3]
C．[5，＋∞) D．(－∞，7]
7．[2024·广东肇庆模拟]已知a＝255，b＝344，c＝433，则a、b、c的大小关系是( )
A．b>c>aB．a>b>c
C．c>a>bD．c>b>a
8．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0，2]
C．(－∞，－2] D．[1，2]
9．(素养提升)[2024·湖北武汉模拟]函数f(x)＝eq \r(7＋2ax－x2)在区间[－1，1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≤－1B．a<－1
C．－3≤a≤－1D．－310．(素养提升)已知函数f(x)的定义域为[1，9]，且当1≤x≤9时，f(x)＝x＋2，则y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为( )
A．[1，3] B．[1，9]
C．[12，36] D．[12，204]
二、多项选择题
11．[2024·广东中山模拟]下列结论中正确的是( )
A．若幂函数f(x)的图象经过点(eq \f(1,8)，2)，则f(x)＝x－3
B．若幂函数f(x)＝x，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减
C．幂函数y＝xa(a>0)始终经过点(0，0)和(1，1)
D.若幂函数f(x)＝eq \r(x)，则对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)≤f(eq \f(x1＋x2,2))
12．(素养提升)设函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(0)＝1，f(－3－x)＝f(x)，则下列结论正确的是( )
A．1－b＋c<0
B．∀x∈R，f(x)≥－x－3
C．若a≥1，则∀x∈R，f(x)≥ax
D．若∀x>0，kf(x)≥x，则k≥eq \f(1,5)
三、填空题
13．[2024·黑龙江哈尔滨模拟]已知幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm满足f(2)14．若函数f(x)＝x2－(m＋1)x＋3在区间(3，5)内存在最小值，则m的取值范围是____________．
四、解答题
15．[2024·山西晋中模拟]已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)＝f(2)＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(x)在区间[3a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围；
(3)在区间[－3，－1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
优生选做题
16．[2024·安徽芜湖模拟]设二次函数f(x)＝(a－2)x2＋3ax＋2在R上有最大值，最大值为m(a)，当m(a)取最小值时，a的值为( )
A．0B．1
C．eq \r(2)D．4
17．已知幂函数是其定义域上的增函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数h(x)＝x＋af(x)，x∈[1，9]，是否存在实数a使得h(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数g(x)＝b－f(x＋3)，是否存在实数m，n(m课后定时检测案11 二次函数与幂函数
1．解析：因为函数f(x)为幂函数，所以k＝1，则f(x)＝xα，
又因为f(x)的图象经过点(4，eq \f(1,2))，所以4α＝eq \f(1,2)，得α＝－eq \f(1,2)，
所以k＋α＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2).故选A.
答案：A
2．解析：因为二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴交点的横坐标为－5和3，
所以其对称轴方程为：x＝eq \f(－5＋3,2)＝－1，
又a>0，
所以二次函数的单调递减区间为(－∞，－1].故选A.
答案：A
3．解析：因为函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减，所以a<0.
因为函数g(x)＝x2－(a－1)x为偶函数，定义域为R，
所以g(－x)＝g(x)，
所以(－x)2－(a－1)(－x)＝x2－(a－1)x，化简得(2a－2)x＝0，解得a＝1，
所以“函数f(x)＝xa在(0，＋∞)上单调递减”是“函数g(x)＝x2－(a－1)x为偶函数”的既不充分也不必要条件．故选D.
答案：D
4．解析：函数f(x)＝x2＋3x＋4＝(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(7,4)≥eq \f(7,4)，
对于A，f(x)>0恒成立，A正确；
对于BD，当x＝－eq \f(3,2)时，f(x)的最小值为eq \f(7,4)，无最大值，BD都错误；
对于C，当x＝0时，y＝4，即f(x)与y轴有交点，C错误．故选A.
答案：A
5．解析：对于A，若y＝ax＋b图象正确，则a>0，b>0，
∴y＝ax2＋bx开口方向向上，对称轴为x＝－eq \f(b,2a)<0，与图象符合，A正确；
对于B，若y＝ax＋b图象正确，则a<0，b<0，
∴y＝ax2＋bx开口方向向下，与图象不符，B错误；
对于C，若y＝ax＋b图象正确，则a>0，b>0，
∴y＝ax2＋bx开口方向向上，与图象不符，C错误；
对于D，若y＝ax＋b图象正确，则a>0，b<0，
∴y＝ax2＋bx开口方向向上，与图象不符，D错误．故选A.
答案：A
6．解析：y＝x2＋(1－a)x＋2的对称轴为x＝eq \f(a－1,2)，故eq \f(a－1,2)≤4⇒a≤9，
故选A.
答案：A
7．解析：∵a＝255＝(25)11＝3211，b＝344＝(34)11＝8111，c＝433＝(43)11＝6411，81>64>32，且y＝x11在(0，＋∞)上递增，
∴8111>6411>3211，
∴b>c>a，
故选A.
答案：A
8．解析：因为f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，可知f(x)开口向上，对称轴为x＝1，
则f(x)在[0，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
又因为f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，且f(x)在闭区间[0，m]有最大值3，最小值2，
所以m∈[1，2].故选D.
答案：D
9．解析：令t(x)＝7＋2ax－x2，则f(t)＝eq \r(t)，
由题意可得t(x)＝7＋2ax－x2需满足在区间[－1，1]上单调递减，且t(x)min≥0，
而t(x)＝7＋2ax－x2的图象开口向下，对称轴为x＝a，故a≤－1且t(1)＝6＋2a≥0，
即－3≤a≤－1.故选C.
答案：C
10．解析：由f(x)的定义域为[1，9]，y＝[f(x)]2＋f(x2)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1≤x2≤9，,1≤x≤9，))即x∈[1，3]，
所以y＝(x＋2)2＋x2＋2＝2x2＋4x＋6＝2(x＋1)2＋4，
因为x∈[1，3]，所以函数y在x∈[1，3]上单调递增，
当x＝1，y＝12，当x＝3，y＝36，
故函数y的值域为[12，36].故选C.
答案：C
11．解析：对于A，设f(x)＝xα，则(eq \f(1,8))α＝2，即2－3α＝2，所以－3α＝1，解得α＝－eq \f(1,3)，所以f(x)＝x－eq \f(1,3)，故A错误；
对于B，幂函数f(x)＝x，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，故B错误；
对于C，幂函数y＝xa(a>0)始终经过点(0，0)和(1，1)，故C正确；
对于D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，要证明不等式eq \f(f（x1）＋f（x2）,2)≤f(eq \f(x1＋x2,2))，只需证明eq \f(\r(x1)＋\r(x2),2)≤eq \r(\f(x1＋x2,2))，即eq \f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)≤eq \f(x1＋x2,2)，故只需证明(eq \r(x1)－eq \r(x2))2≥0，此不等式显然成立，故D正确．故选CD.
答案：CD
12．解析：f(0)＝c＝1，因为－eq \f(b,2)＝－eq \f(3,2)，所以b＝3，所以f(x)＝x2＋3x＋1，对于A，1－b＋c<0，所以A正确；
对于B，(x＋2)2＝x2＋4x＋4＝x2＋3x＋1＋x＋3≥0，所以对于∀x∈R，f(x)≥－x－3，所以B正确；
对于C, ∀x∈R，f(x)≥ax等价于x2＋(3－a)x＋1≥0恒成立，所以(3－a)2－4≤0，所以1≤a≤5，所以C错误；
对于D, ∀x>0，kf(x)≥x等价于k(x2＋3x＋1)≥x，所以k≥eq \f(x,x2＋3x＋1)＝eq \f(1,x＋\f(1,x)＋3)，
因为x＋eq \f(1,x)＋3≥5，所以k≥eq \f(1,5)，
当且仅当x＝eq \f(1,x)即x＝1时，等号成立，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：因为函数f(x)＝(m2－2m－2)xm为幂函数，
则m2－2m－2＝1，解得m＝3或m＝－1，
又因为f(2)答案：3
14．解析：二次函数f(x)＝x2－(m＋1)x＋3的对称轴为x＝eq \f(m＋1,2)，且二次函数开口向上，
若函数在开区间(3，5)内存在最小值，则x＝eq \f(m＋1,2)∈(3，5)，即m∈(5，9)，此时函数在x＝eq \f(m＋1,2)处能取到最小值，
故m的取值范围是(5，9).
答案：(5，9)
15．解析：(1)根据题意，二次函数f(x)满足f(0)＝f(2)＝3，可得函数f(x)的对称轴为x＝1，
因为函数f(x)的最小值为1，可设f(x)＝a(x－1)2＋1，
又因为f(0)＝3，可得f(0)＝a＋1＝3，解得a＝2，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3.
(2)由函数f(x)＝2(x－1)2＋1，其对称轴为x＝1，
要使得函数f(x)在区间[3a，a＋1]上不单调，则满足3a<1解得0(3)由函数f(x)＝2x2－4x＋3，
若在区间[－3，－1]上，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋2m＋1的图象上方，
则由2x2－4x＋3>2x＋2m＋1在区间[－3，－1]上恒成立，
即m设g(x)＝x2－3x＋1，其对称轴为x＝eq \f(3,2)，则g(x)在x∈[－3，－1]上单调递减，
所以函数g(x)的最小值为g(－1)＝5，则有m<5，
所以实数m的取值范围为(－∞，5).
16．解析：由题意可得a－2<0，即a<2，
且f(x)＝(a－2)x2＋3ax＋2的对称轴为x＝eq \f(3a,2（2－a）)，
故m(a)＝f(eq \f(3a,2（2－a）))＝eq \f(－9a2＋8a－16,4（a－2）)，a<2，
令t＝a－2<0，则a＝t＋2，
可得y＝eq \f(－9（t＋2）2＋8（t＋2）－16,4t)＝eq \f(9,4)[(－t)＋eq \f(4,－t)]－7≥eq \f(9,4)×2eq \r(（－t）×\f(4,－t))－7＝2，
当且仅当－t＝eq \f(4,－t)，即t＝－2，a＝0时，等号成立，
即当a＝0时，m(a)取最小值2.故选A.
答案：A
17．解析：(1)因为f(x)＝(p2－3p＋3)xp2－eq \f(3,2)p－eq \f(1,2)是幂函数，所以p2－3p＋3＝1，解得p＝1或p＝2，
当p＝1时，f(x)＝eq \f(1,x)，在(0，＋∞)为减函数，当p＝2时，f(x)＝eq \r(x)，在(0，＋∞)为增函数，所以f(x)＝eq \r(x).
(2)存在．h(x)＝x＋af(x)＝x＋aeq \r(x)，令t＝eq \r(x)，因为x∈[1，9]，所以t∈[1，3]，
则令k(t)＝t2＋at，t∈[1，3]，对称轴为t＝－eq \f(a,2).
①当－eq \f(a,2)≤1，即a≥－2时，函数k(t)在[1，3]为增函数，
k(t)min＝k(1)＝1＋a＝0，解得a＝－1.
②当1<－eq \f(a,2)<3，即－6③当－eq \f(a,2)≥3，即a≤－6时，函数k(t)在[1，3]为减函数，k(t)min＝k(3)＝9＋3a＝0，解得a＝－3.不符合题意，舍去．
综上所述存在a＝－1使得h(x)的最小值为0.
(3)存在．g(x)＝b－f(x＋3)＝b－eq \r(x＋3)，则g(x)在定义域范围内为减函数，
若存在实数m，n(m则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（m）＝b－\r(m＋3)＝n ①,g（n）＝b－\r(n＋3)＝m ②))，
②－①得：eq \r(m＋3)－eq \r(n＋3)＝m－n＝(m＋3)－(n＋3)，
所以eq \r(m＋3)－eq \r(n＋3)＝(eq \r(m＋3)－eq \r(n＋3))(eq \r(m＋3)＋eq \r(n＋3))，
即eq \r(m＋3)＋eq \r(n＋3)＝1 ③.
将③代入②得：b＝m＋eq \r(n＋3)＝m＋1－eq \r(m＋3).
令t＝eq \r(m＋3)，因为m所以b＝t2－t－2＝(t－eq \f(1,2))2－eq \f(9,4)，在区间t∈[0，eq \f(1,2))单调递减，
所以－eq \f(9,4)故存在实数m，n(m实数b的取值范围为(－eq \f(9,4)，－2].