2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习44构造法求数列的通项公式（Word版附解析）

这是一份2025版高考数学全程一轮复习课后定时检测练习44构造法求数列的通项公式（Word版附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋2，则a4＝( )
A．20B．26
C．80D．128
2．[2024·河南南阳模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1＝1，且满足an＋1＋an＝3·2n，则S11＝( )
A．4093B．4094
C．4095D．4096
3．[2024·河北秦皇岛模拟]已知数列{an}各项均为正数，a1＝3，且有an＋1＝3－eq \f(2,an)，则an＝( )
A．eq \f(1,2n－1)B．eq \f(3,2n－1)
C．4－eq \f(1,2n－1)D．eq \f(1,2n－1)＋2
4．[2024·黑龙江齐齐哈尔模拟]在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N＋)，若an>980，则n的最小值是( )
A．8B．9
C．10D．11
5．[2024·山西吕梁模拟]已知数列{an}满足3an－2an－1＝an＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝2023，则a2＝( )
A．eq \f(2023,31)B．eq \f(2023,33)
C．eq \f(2023,63)D．eq \f(2023,65)
6．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，数列{an}的前99项和S99＝( )
A．eq \f(3（950－1）,8)B．eq \f(950－1,8)
C．eq \f(399－1,2)D．eq \f(3（949－1）,8)
二、多项选择题
7．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1(n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an－\f(1,2)))是等比数列
B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))是等比数列
C．an＝eq \f(3n,2)－eq \f(1,2)
D．Sn＝eq \f(3n＋2n－1,4)
8．[2024·重庆模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，则( )
A．数列{an＋2n}是等比数列
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋1))是等比数列
C．an＝2×3n－2n＋1
D．Sn＝2(3n－2n)
三、填空题
9．已知数列{an}满足a1＝eq \f(3,5)，an＋1＝eq \f(3an,2an＋1)，则数列{an}的通项公式是________．
10．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝6an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式是________．
课后定时检测案44 构造法求数列的通项公式
1．解析：由an＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，
所以数列{an＋1}是首项为a1＋1＝3，公比为3的等比数列，
所以an＋1＝3×3n－1＝3n，an＝3n－1，所以a4＝80.故选C.
答案：C
2．解析：an＋1＋an＝3·2n，故eq \f(an＋1－2n＋1,an－2n)＝eq \f(3·2n－an－2n＋1,an－2n)＝eq \f(2n－an,an－2n)＝－1，又a1－2＝－1，
所以{an－2n}是首项为－1，公比为－1的等比数列，所以an＝(－1)n＋2n，
则S11＝a1＋a2＋…＋a11＝－1＋21＋1＋22＋…－1＋211＝－1＋eq \f(2×（1－211）,1－2)＝4093.故选A.
答案：A
3．解析：an＋1＝3－eq \f(2,an)，an＋1－2＝1－eq \f(2,an)＝eq \f(an－2,an)，
显然若an－2＝0，则an＋1－2＝0，则∀n∈N*，an＝2，与题意矛盾，
所以∀n∈N*，an－2≠0，两边同时取倒数，得eq \f(1,an＋1－2)＝eq \f(an,an－2)＝1＋eq \f(2,an－2)，
设bn＝eq \f(1,an－2)，b1＝1，bn＋1＝1＋2bn，bn＋1＋1＝2(bn＋1)，
因为b1＋1＝2≠0，故bn＋1≠0，故eq \f(bn＋1＋1,bn＋1)＝2，所以{bn＋1}为等比数列，
所以bn＋1＝2×2n－1＝2n，故bn＝2n－1，所以eq \f(1,an－2)＝2n－1，
故an＝eq \f(1,2n－1)＋2.故选D.
答案：D
4．解析：因为an＝2an－1－n＋2(n≥2，n∈N＋)，
所以an－n＝2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(an－1－（n－1）))(n≥2，n∈N＋).
因为a1＝3，所以a1－1＝2，
所以数列{an－n}是首项和公比都是2的等比数列，
则an－n＝2n，即an＝2n＋n，
因为an－an－1＝2n－1＋1>0，所以数列{an}是递增数列，
因为a9＝521<980，a10＝1034>980，
所以满足an>980的n的最小值是10.故选C.
答案：C
5．解析：由3an－2an－1＝an＋1可得2(an－an－1)＝an＋1－an，
若an－an－1＝0，则a6＝a5＝a4＝a3＝a2＝a1＝0，与题中条件矛盾，故an－an－1≠0，
所以eq \f(an＋1－an,an－an－1)＝2，也即数列{an＋1－an}是以a2－a1＝a2为首项，以2为公比的等比数列，所以an＋1－an＝a2·2n－1，
则有a6－a1＝a6－a5＋a5－a4＋a4－a3＋a3－a2＋a2－a1，
也即a6＝a2·24＋a2·23＋a2·22＋a2·21＋a2·20＝31a2，所以a2＝eq \f(a6,31)＝eq \f(2023,31).故选A.
答案：A
6．解析：由an＋1＝2an＋3an－1得an＋1＋an＝3(an＋an－1)，
又a1＋a2＝3，
所以{an＋1＋an}是3为首项，公比为3的等比数列，
即an＋1＋an＝3n，
设cn＝an＋1＋an＝3n，S99＝a1＋c2＋c4＋…＋c98＝1＋eq \f(9（1－949）,1－9)＝eq \f(950－1,8).故选B.
答案：B
7．解析：数列{an}中，n∈N*，an＋1＝3an＋1，则an＋1＋eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))，又a1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，
因此数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))是以eq \f(3,2)为首项，3为公比的等比数列，A错误，B正确；
an＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)×3n－1＝eq \f(3n,2)，即有an＝eq \f(3n,2)－eq \f(1,2)，C正确；
Sn＝(eq \f(31,2)＋eq \f(32,2)＋…＋eq \f(3n,2))－eq \f(n,2)＝eq \f(\f(3,2)（1－3n）,1－3)－eq \f(n,2)＝eq \f(3n＋1－2n－3,4)，D错误．故选BC.
答案：BC
8．解析：对于A，an＋1＋2n＋1＝3an＋2n＋2n＋1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)，
又a1＋2＝4≠0⇒eq \f(an＋1＋2n＋1,an＋2n)＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，
an＋2n＝4×3n－1⇒an＝4×3n－1－2n，Sn＝eq \f(4（1－3n）,1－3)－eq \f(2（1－2n）,1－2)＝2(3n－2n)，故A正确，C错误，D正确；
eq \f(an＋1,2n＋1)＋1＝eq \f(3an＋2n,2n＋1)＋1＝eq \f(3,2)·eq \f(an,2n)＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋1))，
又因为eq \f(a1,21)＋1＝2≠0，故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋1))是以2为首项，eq \f(3,2)为公比的等比数列，故B正确．故选ABD.
答案：ABD
9．解析：由an＋1＝eq \f(3an,2an＋1)，及a1＝eq \f(3,5)可得an≠0，且eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2an＋1,3an)＝eq \f(1,3)·eq \f(1,an)＋eq \f(2,3)，
所以eq \f(1,an＋1)－1＝eq \f(1,3)·eq \f(1,an)＋eq \f(2,3)－1＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－1))，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－1))是以eq \f(2,3)为首项，eq \f(1,3)为公比的等比数列，
所以eq \f(1,an)－1＝eq \f(2,3)×(eq \f(1,3))n－1＝eq \f(2,3n)，所以eq \f(1,an)＝eq \f(2,3n)＋1＝eq \f(3n＋2,3n)，
所以an＝eq \f(3n,3n＋2).
答案：an＝eq \f(3n,3n＋2)
10．解析：因为an＋1＝6an＋2n＋1，所以eq \f(an＋1,2n＋1)＝eq \f(3an,2n)＋1，
设eq \f(an＋1,2n＋1)＋x＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋x))，可得eq \f(an＋1,2n＋1)＝eq \f(3an,2n)＋2x，
所以2x＝1，即x＝eq \f(1,2)，
所以eq \f(an＋1,2n＋1)＋eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋\f(1,2)))，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋\f(1,2)))是首项为eq \f(a1,2)＋eq \f(1,2)＝1，公比为3的等比数列，
所以eq \f(an,2n)＋eq \f(1,2)＝3n－1，所以an＝2n·3n－1－2n－1＝2×6n－1－2n－1.
答案：an＝2×6n－1－2n－1