专题16 双曲线（高考考向真题解读）-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）

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命题分析
2024年高考新高考Ⅰ卷考查应用定义求解双曲线的离心率，难度较易。Ⅱ卷是双曲线与数列的综合问题，后续专题会解读。双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在双曲线的试题中，最为重要的是三点是：方程、渐近线、离心率。预计2025年高考还是主要考查双曲线的定义和离心率、渐近线。
试题精讲
一、填空题
1．（2024新高考Ⅰ卷·12）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率.
【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
一、填空题
1．（2023新高考Ⅰ卷·16）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
一、双曲线的定义
平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．
注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．
（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．
（3）时，点的轨迹不存在．
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：
= 1 \* GB3 ①条件“”是否成立； = 2 \* GB3 ②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．
二、双曲线的方程、图形及性质
【双曲线常用结论】
1、双曲线的通径
过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．
2、点与双曲线的位置关系
对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．
点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析．
3、双曲线常考性质
性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；
性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
4、双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）
5、双曲线的切线
点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为
一、单选题
1．（2024·甘肃兰州·三模）已知双曲线的实轴长等于虚轴长的2倍，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先得到方程，求出，得到双曲线方程和渐近线方程.
【详解】由题意得，解得，
，故渐近线方程为.
故选：C
2．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则曲线的离心率
B．若，则曲线的离心率
C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则
D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得
【答案】C
【分析】根据给定的方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解.
【详解】对于A，当时，曲线是椭圆，离心率，A正确；
对于B，当时，曲线是双曲线，离心率，B正确；
对于C，当时，曲线是椭圆，其短半轴长，半焦距，
显然以线段为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的可以是8，C错误；
对于D，当时，则曲线是焦点在x上的双曲线，则，
以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点有4个，D正确.
故选：C
3．（2024·安徽·三模）过双曲线的下顶点作某一条渐近线的垂线，分别与两条渐近线相交于两点，若,则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【分析】过点作另一条渐近线的垂线于，借助双曲线的对称性计算可得，即可得离心率.
【详解】过点作另一条渐近线的垂线于，由对称性可得，
由，则有，则，
故，故，故，
即.
故选：A.
4．（2024·全国·三模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且离心率为，过点的直线l与C的一条渐近线垂直相交于点D，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设焦点，根据题意求点的坐标和的值，进而画出图象即可解决.
【详解】不妨设焦点，其中一条渐近线为，则直线l的方程为，
由解得即，
因为，所以，
过点作轴的垂线，垂足为，如下图：
于是.
故选：A.
5．（2024·四川成都·三模）已知双曲线（，）的左焦点为，点为坐标原点，点为双曲线渐近线上一点且满足，过作轴的垂线交渐近线于点，已知，则其离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】设两点的坐标，然后利用两点间距离公式列方程求解即可.
【详解】
，故点在的垂直平分线上，
则点的横坐标为，且过作轴的垂线交渐近线于点，
故设点，
不妨设均在上，则，
，，
，即，，
，故离心率为.
故选：D.
6．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件得是等边三角形，设的边长为，结合双曲线定义得，在中，由余弦定理求得离心率.
【详解】
因为是线段的中点，且，所以，
又，所以是等边三角形，
设的边长为，由双曲线的定义知，，，
所以，
又，所以，即，
所以，
在中，由余弦定理知，，
所以
即，所以离心率.
故选：C
7．（2024·宁夏银川·三模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可.
【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为，
所以，
由双曲线的定义可得，
所以，
在中，
由余弦定理得，
在中，，
设，则，
由得
，解得，所以，
所以.
故选：D.
.
8．（2024·湖南永州·三模）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点为坐标原点，过的直线分别交双曲线左、右两支于，两点，点在轴上，，平分，其中一条渐近线与线段交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得，在中，由余弦定理可得，进而可得，而，从而可求解.
【详解】
如图 , , , ，
设,则，
平分 ,
, ,
由双曲线定义可知，
，即,
在中，由余弦定理知
化简得 , 由得 ,
不妨令一条渐近线与线段的交点在第一象限，则 , .
故选：B
【点睛】关键点点睛：这道题的关键是由可得，结合角平分线的性质和双曲线的定义可得，从而可得.
9．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：如图所示：
设椭圆和双曲线的方程分别为：，，
由题意得，
设，则，
解得，
在中，由余弦定理得：，
即，化简得，
则，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立；
故选：C
10．（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可.
【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为，
设点，则可取，
则，整理得，
解得，即，可得，则，
所以该双曲线离心率的取值范围是．
故选：A.
【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取；
2.根据渐近线的几何意义可得：.
二、多选题
11．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（ ）
A．的取值范围是B．的焦点可在轴上也可在轴上
C．的焦距为6D．的离心率的取值范围为
【答案】AC
【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围.
【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确；
对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误；
对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确；
对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误．
故选：AC.
12．（2024·河北保定·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（ ）
A．B．
C．的离心率为D．直线的斜率为
【答案】ACD
【分析】设，，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A，B选项；再结合勾股定理可以求得的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率.
【详解】如图，由，可设，.
因为，所以.
设，，则，，，解得，
则，，
所以，故A选项正确；，故B选项错误；
在中，由，得，则，
从而的离心率为，故C选项正确.
又，所以直线的斜率为，故D选项正确.
故选：ACD.
13．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线的左、右焦点分别为点，斜率为正的渐近线为，过点作直线的垂线，垂足为点，交双曲线于点，设点是双曲线上任意一点，若，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．双曲线的共轭双曲线方程为
C．当点位于双曲线右支时，
D．点到两渐近线的距离之积为
【答案】ACD
【分析】利用三角形面积公式得，再利用余弦定理得，则解出双曲线方程，再利用离心率定义和共轭双曲线方程的含义即可判断AB；对C，计算得，再根据的范围即可判断；对D，，利用点到直线的距离公式并结合点双曲线上化简即可.
【详解】如图，因为，所以，
，
则，所以，又，
在中，，
化简得，所以，双曲线方程为，
对于A，双曲线的离心率为，A正确；
对于B，双曲线的共轭双曲线方程为，B错误；
对于C，，因为，
则，即，C正确；
对于D，渐近线方程为，设，
点到两渐近线的距离之积为，D正确，
故选：ACD.
14．（2024·山西吕梁·三模）已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据焦距相等可判断A；根据椭圆和双曲线定义，结合余弦定理整理可判断B；根据B中变形可判断C；由B中结论，结合的范围可判断D.
【详解】根据题意，设，
对于A中，因为椭圆与双曲线有公共焦点，可得，所以，
即，所以A错误；
对于B中，不妨设点P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，可得，
所以，
又由余弦定理得，
可得，
所以，所以B正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，因为，所以，
由可得，所以，所以D正确.
故选：BCD.
15．（2024·重庆·三模）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．直线PF1的斜率为
C．的周长为D．的外接圆半径为
【答案】ACD
【分析】对于A，根据三角形与其内切圆性质结合双曲线定义即可求解；根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和，进而可依次求出直线PF1的斜率、结合焦三角形面积公式得的周长、结合正弦定理得的外接圆半径.
【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上，
设圆分别与的三边切于点，则由题，
且，，
又
，A选项正确；
由选项A得，连接、、，则，
所以，B选项错误；
同理，，
，
，
所以由焦三角面积公式得，
又，故得，
的周长为，选项正确；
由，
由正弦定理得，D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：求直线PF1的斜率、的周长、的外接圆半径的关键是根据已知条件、、以及与各个所需量的关系即可求出、和.
三、填空题
16．（2024·湖北荆州·三模）已知双曲线经过点，则C的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线过点求出a，然后可得.
【详解】因为双曲线经过点，所以，解得，
又，所以渐近线方程为.
故答案为：.
17．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线的左右焦点分别为、，曲线上的点满足，，，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【分析】利用 ，可得 ， ，结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率.
【详解】因为，，所以，
又，所以，，
所以，
则，即双曲线的离心率为.
故答案为：.
18．（2024·安徽马鞍山·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与的右支交于，两点，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据双曲线的定义表示出，，即可得到，再由余弦定理计算可得.
【详解】依题意过点的直线与的右支交于，两点，
且，，，
则，，，
所以，
可得，
解得或（舍去）．
故答案为：．
19．（2024·浙江金华·三模）若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】根据条件，将弦长转化为圆心到渐近线的距离，进而可得出与的关系，求解即可.
【详解】对于双曲线，其渐近线方程为，
对于圆，有，
圆心为，半径，
渐近线被圆截得的弦长为，所以圆心到渐近线的距离为，
由点到直线距离公式得：，所以，
所以，解得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
20．（2024·山东烟台·三模）已知双曲线：（，）的渐近线方程为，其右焦点为F，若直线与在第一象限的交点为P且轴，则实数k的值为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，由轴得，利用斜率公式可得结果.
【详解】因为双曲线：（，）的渐近线方程为，依题意有，
即，又右焦点为，且轴，所以，
所以，
故答案为：.

21．（2024·河南郑州·三模）已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且 的面积为6，则该双曲线的实轴长为 ．
【答案】
【分析】利用离心率求得，继而得到渐近线方程：，由向量等式推得点为的中点，设出点,求得点坐标，代入双曲线方程，化简得，最后利用面积即可求得的值.
【详解】
如图，由可得，故双曲线的渐近线方程为，
不妨设，因则点为的中点，则，
将其代入中，整理得：，
又,且,则的面积为，
即，解得,故双曲线的实轴长为.
故答案为：.
22．（2024·上海奉贤·三模）若曲线得右顶点，若对线段上任意一点，端点除外，在上存在关于轴对称得两点、使得三角形为等边三角形，则正数得取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，转化为渐近线的斜率大于或等于，即可求解.
【详解】由任意点线段上，端点除外，在上存在关于轴对称得两点使得为等边三角形，
即存在点使得，所以存在点使得，
由双曲线的其中一条渐近线方程为，
则满足的斜率大于或等于，即，所以，
又由，所以实数的取值范围为.
故答案为：.

23．（2024·四川南充·三模）已知点F是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过点且垂直于x轴的直线与双曲线交于两点，若，则该双曲线离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的性质，，，转化条件得，再通过即可得解.
【详解】如图所示，根据双曲线的对称性得，在中，
又因为,
所以在中，,
即
所以，
又因为为通径，即，，
所以，且，
所以，
即，
即，
解得，
又因为双曲线离心率，
所以该双曲线的离心率取值范围为：.
故答案为：.

命题解读
考向
考查统计
1.高考对双曲线的考查，重点是
（1）双曲线的定义、几何图形和标准方程。
（2）双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）。
（3）直线和双曲线的位置关系及综合应用。
双曲线的离心率
2023·新高考Ⅰ卷，16
2024·新高考Ⅰ卷，12
标准方程
图形
A2
焦点坐标
，
，
对称性
关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称
顶点坐标
，
，
范围
实轴、虚轴
实轴长为，虚轴长为
离心率
渐近线方程
令，
焦点到渐近线的距离为
令，
焦点到渐近线的距离为
点和双曲线
的位置关系
共焦点的双曲线方程
共渐近线的双曲线方程
切线方程
为切点
为切点
切线方程
对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．
切点弦所在直线方程
为双曲线外一点
为双曲线外一点
点为双曲线与两渐近线之间的点
弦长公式
设直线与双曲线两交点为，，．
则弦长，
，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．
通径
通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为
焦点三角形
双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，
设，，，则，
，
焦点三角形中一般要用到的关系是
等轴双曲线
等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．