2025高考数学一轮复习-第38讲-直线的方程及位置关系【课件】

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1．如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
由题图知，直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.
2．已知直线l过点(－1，2)，且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是(　　)A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0
3．已知点A(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
4．已知直线l经过原点，且经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点，则直线l的方程是(　　)A．4x－3y＝0B．4x＋3y＝0C．3x－4y＝0D．3x＋4y＝0
经过直线2x－2y－1＝0与直线6x－4y＋1＝0的交点的直线可设为2x－2y－1＋λ(6x－4y＋1)＝0，将原点O(0，0)代入，得－1＋λ＝0，解得λ＝1，所以直线l的方程为4x－3y＝0.
5．(多选)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a的值可能是(　　)A．2B．－1C．－2D．1
因为两直线平行，所以a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且 a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.
1．直线的倾斜角(1) 定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2) 范围：直线l的倾斜角的取值范围是___________．2．斜率公式(1) 若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝_________．(2) 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝________．
3．直线方程的五种形式
y－y0＝k(x－x0)
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
4．两条直线平行与垂直的判定(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔_______.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行．(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔_____________.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直．5．三个距离公式(1) 点点距：两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离为|P1P2|＝__________________．(2) 点线距：平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_______．(3) 线线距：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝_________．
6．常用结论(1) “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．(2) “直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．
(2) 在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为(　　)A．5x－2y－5＝0B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0D．2x－5y＋5＝0
变式　(2) 倾斜角为150°，在y轴上的截距为－3的直线方程为_______________．
(1) 若直线l：(a＋1)x－y＋3＝0与直线m：x－(a＋1)y－3＝0互相平行，则a的值为(　　)A．－1B．－2C．－2或0D．0
由题设知(a＋1)2＝1，解得a＝0或a＝－2.当a＝0时，l：x－y＋3＝0，m：x－y－3＝0，满足题设；当a＝－2时，l：x＋y－3＝0，m：x＋y－3＝0，不满足题设．所以a＝0.
(2) 已知直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，若l1⊥l2，则a＋b＝(　　)A．－1B．0C．1D．2
因为直线l1：x＋y＝0，l2：ax＋by＋1＝0，且l1⊥l2，所以1·a＋1·b＝0，即a＋b＝0.
变式　(1) 设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2＝0，直线l2：x＋2y＋1＝0，若l1∥l2，则a＝______；若l1⊥l2，则a＝_______．
变式　(2) 已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，求实数m＋n的值．
(2) 若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
由题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0的距离和与l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．
变式　(1) 已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，点B(4，－2)的距离相等，则直线l的方程为______________________________．
2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).(1) 求点A关于直线l的对称点A′的坐标；
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).(2) 求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程；
在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
又m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).(3) 求直线l关于点A对称的直线l′的方程.
方法一：在l：2x－3y＋1＝0上取两点P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，由两点式可得直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
变式　已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_______________．
2．在x轴与y轴上截距分别为－2，2的直线的倾斜角为(　　)A．45°B．135°C．90°D．180°
3．已知点P(－2，1)到直线l：3x－4y＋m＝0的距离为1，则m的值为(　　)A．－5或－15B．－5或15C．5或－15D．5或15
5．已知光线从点A(6，1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4，4)，则CD所在直线的方程为_______________．
如图，由题意知点B在原点O的右侧，A(6，1)关于x轴对称的点为A′(6，－1)，且D(4，4)关于y轴对称的点为D′(－4，4)，直线BC一定过A′，D′两点，
2．已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为(　　)A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．垂直或重合
3．过点(5，2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距2倍的直线方程是(　　)A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
二、 多项选择题5．已知直线l1：mx＋y＋1＝0，直线l2：x＋my＋1＝0，则下列说法正确的有(　　)A．直线l1恒过点(0，1)B．若直线l2的方向向量为(1，1)，则m＝－1C．若l1∥l2，则m＝±1D．若l1⊥l2，则m＝0
把(0，1)代入直线l1的方程，等式不成立，故A错误；
因为直线l1的方向向量为(1，－m)，直线l2的方向向量为(m，－1)，若l1∥l2，则有m2－1＝0，解得m＝±1，当m＝1时，l1与l2重合，舍去，所以m＝－1，故C错误；若l1⊥l2，则有m＋m＝0，即m＝0，故D正确．
6．已知直线l的方程为(a2－1)x－2ay＋2a2＋2＝0，a∈R，O为原点，则(　　)A．若|OP|≤2，则点P一定不在直线l上B．若点P在直线l上，则|OP|≥2C．直线l上存在定点PD．存在无数个点P总不在直线l上
当点P在直线l上时，|OP|≥2，故B正确；
圆x2＋y2＝4内(不含边界)的所有点都不在直线l上，故D正确．
三、 填空题7．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为______．
8．点P(2，7)关于直线x＋y＋1＝0对称的点的坐标为______________．
四、 解答题10．已知□ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3).(1) 求AD所在直线的方程；
10．已知□ABCD的三个顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(4，1)，C(2，3).(2) 求□ABCD的面积．
11．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(1) 求证：不论m为何实数，直线l过定点M；
11．已知直线l：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.(2) 过定点M作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，求直线l1的方程．
过定点M(－1，－2)作一条直线l1，使直线l1夹在两坐标轴之间的线段被点M平分，则直线l1过点(－2，0)，(0，－4).
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，AD＝2.