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高教版(2021·十四五)拓展模块一(上册)第5章 复数5.2 复数的运算本课复习与测试测试题
展开一、复数的加法
1、加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,
规定z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
即两个复数相加,就是实部与实部、虚部与虚部分别相加,显然两个复数的和仍然是复数.
注意:对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形,
即z1=1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,…,zn=an+bni,
则z1+z2+…+zn=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)i.
2、加法运算律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任意的z1、z2、z3∈C,
有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
二、复数的减法
1、相反数:已知复数a+bi(a,b∈R),根据复数加法的定义,
存在唯一的复数-a-bi,使(a+bi)+(-a-bi)=0.其中-a-bi叫做a+bi的相反数.
2、减法法则:规定两个复数的减法法则,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b+d)i.
即两个复数相减,就是实部与实部、虚部与虚部分别相减,显然两个复数的差仍是一个复数.
三、复数加法与减法的几何意义
1、复数可以用向量来表示,已知复数z1=x1+y1i(x1、y1∈R),z2=x2+y2i(x2、y2∈R),
其对应的向量,,
如图1,且和不共线,以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2,
根据向量的加法法则,对角线OZ所对应的向量,
而所对应的坐标是(x1+x2,y1+y2),这正是两个复数之和z1+z2所对应的有序实数对.
2、复数的减法是加法的逆运算,如图2,复数与向量等于)对应,
这就是复数减法的几何意义.
【注意】(1)根据复数加减法的几何意义知,两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和;两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差.
(2)求两个复数对应向量的和,可使用平行四边形法则或三角形法则.
(3)在确定两复数的差所对应的向量时,应按照三角形法则进行.
拓展:由复数加减运算的几何意义可得出:||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
四、复数的乘法
1、运算法则:两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行,只是把i2换成-1,
并把最后结果写成a+bi(a、b∈R)的形式.设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c∈R),则
z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.,显然两个复数的积仍是复数.
2、复数乘法的运算律:对于任意z1、z2、z3∈C,有
(1)z1·z2=z2·z1(交换律); (2)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)(结合律);
(3)z1·(z2+z3)=z1z2+z1z3(分配律).
【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立.
题型归纳
【题型01 复数的加法与减法】
【题型02 复数的乘法】
【题型03 复数加减的几何意义】
【题型01 直接进行加减运算】
【典例1】已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z.
【典例2】已知复数z1=a2-3-i,z2=-2a+a2i,若z1+z2是纯虚数,则实数a=________.
【题型02 需要设复数标准式的加减运算】
【典例1】设,(为虚数单位),且,则( )
A. B.
C. D.
【典例2】已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.
【题型03 复数加减的几何意义】
【典例1】在复平面内,复数1+i与1+3i分别对应向量和,其中O为坐标原点,则等于( )
A.2 B.2 C.10 D.4
【典例2】若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且在复平面内z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
【题型04 复数的乘法】
【典例1】设,,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【典例2】计算:(1); (2).
【典例3】设是虚数单位,若复数是纯虚数,则的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
同步练习
一、单选题
1.已知i是虚数单位,若是实数,则实数( )
A.2B.-2C.1D.-1
2.若复数 (为虚数单位),则( )
A.B.
C.D.
3.已知,则( )
A.B.
C.D.
4.(多选)若实数,满足,则( )
A.的共轭复数为B.
C.的值可能为D.
5.已知复数和,则( )
A.B.C.D.
6.设复数满足,为虚数单位,则( )
A.1B.2C.D.
7.已知为虚数单位,复数,则的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
8.已知复数z满足,(i为虚数单位),则( )
A.B.复数z的共轭复数为
C.复数z的虚部为D.复数z是方程的一个虚根
二、解答题
1.计算:(1); (2)已知,,求,.
2.计算:①;②;③.
3.计算下列各式的值.
(1); (2); (3).
3.计算:(1);
(2);
(3).
4.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:
(1)表示的复数; (2)对角线表示的复数; (3)对角线表示的复数.
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