2025届高三暑假班培优讲义学生完整版

这是一份2025届高三暑假班培优讲义学生完整版，共109页。学案主要包含了题型十一，题型十二，题型十三，题型十四，题型十五等内容，欢迎下载使用。

题型方法梳理，满分突破高考数学
暑假班培优讲义
暑假班解答题培优讲义目录
专题一: 三角函数与解三角形大题
【题型一】三角函数性质与恒等变形 7
【题型二】图像与性质: 零点型 9
【题型三】新结构第 19 题型：三角函数图像与性质型 11
【题型四】解三角形：求最大角度型 12
【题型五】解三角形：边长与中线型最值 13
【题型六】解三角形：角平分线型求最值 15
【题型七】解三角形：高的最值型 17
【题型八】解三角形：双余弦型 19
【题型九】三角形外接圆 21
专题二: 数列大题
【题型一】“函数型” 裂项求和: 基础型 5
【题型二】“函数型” 裂项求和: 指数函数型 7
【题型三】“函数型”裂项求和: 等差裂和型 9
【题型四】“函数型” 裂项求和: 指数型裂和 10
【题型五】“函数型” 裂项求和: 同构仿写型 11
【题型六】“函数型” 裂项求和: 三角函数裂项型 12
【题型七】递推公式：分式型不动点 13
【题型八】插入数型 14
【题型九】数列跳项型 16
【题型十】证明数列不等式 17
【题型十一】新结构第 19 题型：差分密码型 18
专题三: 概率大题
【题型一】超几何分布型分布列 7
【题型二】二项分布型分布列 9
【题型三】正态分布型 11
【题型四】分布列均值与方差 14
【题型五】竞技比赛型分布列 16
【题型六】多人比赛竞技型分布列 17
【题型七】递推数列型 19
【题型八】三人传球递推数列型 21
【题型九】导数计算型分布列最值 23
【题型十】机器人跳棋模式求分布列 26
专题四: 立体几何大题
【题型一】等角证明及建系型 5
【题型二】投影型证明与建系 7
【题型三】斜棱柱建系法 8
【题型四】翻折型建系求动点 10
【题型五】二面角及其延长线型建系 11
【题型六】最值型 13
【题型七】特殊的几何体 14
专题五: 解析几何大题
【题型一】轨迹 10
【题型二】新结构卷中 19 题 “定义” 型轨迹 11
【题型三】直线所过定点不在坐标轴上 12
【题型四】面积比值范围型 13
【题型五】非常规型四边形面积最值型 15
【题型六】“三定”型：圆过定点 16
【题型七】“三定”型：斜率和定 17
【题型八】“三定”型：斜率积定 18
【题型九】圆锥曲线切线型 19
【题型十】“韦达定理”不能直接用 21
【题型十一】“非韦达”型：点带入型 22
专题六: 导数大题
【题型一】导数含参讨论基础: 一次型双参 11
【题型二】导数含参讨论基础: 双线型 12
【题型三】导数含参讨论基础： 三角函数型 13
【题型四】恒成立求参：整数解型 14
【题型五】恒成立求参：三角函数型整数解 15
【题型六】能成立求参 16
【题型七】能成立求参: 双变量型 17
【题型八】能成立求参: 三角函数型 18
【题型九】零点型求参：两个零点与三个零点 19
【题型十】同构型求参 20
【题型十一】同构型证明不等式 22
【题型十二】三个零典型证明不等式 23
【题型十三】证明含三角函数型不等式 24
【题型十四】三角函数型极值点偏移 25
【题型十五】数列型不等式证明 26
题型方法梳理
一、正余弦定理与面积公式
1. 正弦定理 ( R 为三角形 ABC 的外接圆半径): asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=2R
⇔a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
⇔sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R
⇔sinA:sinB:sinC=a:b:c .
⇔bsinA=asinB
2. 余弦定理: (余弦“分式”, 边“平方”. )
① a2=b2+c2−2bccsA; ② b2=a2+c2−2accsB; ③ c2=a2+b2−2abcsC . (求边长或建立方
程)
④ csA=b2+c2−a22bc ; ⑤ csB=a2+c2−b22ac ; (C) csC=a2+b2−c22ab ; (求角、或“化角为边”)
3. 三角形面积公式:
① S=12aha=12bhb=12chc=12ra+b+cha 表示 a 边上的高, r 为 △ABC 的内切圆半径).
② S=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R ( R 为 △ABC 的外接圆半径).
③ SΔABC=pp−ap−bp−c ,其中 p=a+b+c2 ( 海伦公式 ) .
④ S△ABC=12ABACsinA=12AB⋅AC2−AB⋅AC2=12x1y2−x2y1 .
4. 三角形内角和定理:
在 △ABC 中,有 A+B+C=π⇔C=π−A+B⇔C2=π2−A+B2
(1) sinA+B=sinC,csA+B=−csC,tanA+B=−tanC
射影定理① a=c⋅csB+b⋅csC
② b=a⋅csC+c⋅csA
③ c=b⋅csA+a⋅csB
(2) sinA+B2=csC2,csA+B2=sinC2,tanA+B2=csC2/sinC2=ctC2
角形中, −tanC=tanA+B=tanA+tanB1−tanA⋅tanB⇔tanA+tanB+tanC=tanA⋅tanB⋅tanC
二、解三角形和解的个数问题
①已知三边: 可利用余弦定理求出剩余的三个角.
②已知两边及夹角: 可利用余弦定理求出第三边, 进而用余弦定理 (或正弦定理) 求出剩余两角.
③两角及一边: 利用两角先求出另一个角, 然后利用正弦定理确定其它两条边.
④已知三个角: 由相似三角形可知, 三个角对应相等的三角形有无数多个.
⑤已知两边及一边的对角: 比如已知 a,b,A ,所确定的三角形有可能唯一,也有可能是两个.
其原因在于当使用正弦定理求 B 时, asinA=bsinB⇒sinB=bsinAa ,
而 B∈0,π2∪π2,π 时,一个 sinB 可能对应两个角 ( 1 个锐角,1 个钝角),所以三角形可能不唯一.
三、常用结论
1. 在 △ABC 中, ①Acs2B ;
② AcsB (由余弦函数的单调性得出).
2. a=2b⇔sinA=2sinBA=2B⇔sinA=sin2B=2sinBcsB
3. △ABC 为锐角三角形,则 A+B>π2⇔A>π2−B⇔sinA>sinπ2−B⇔sinA>csB
4. 在 △ABC 中, sinA=sinB⇒A=B 或 A+B=π （舍）, sin2A=sin2B⇒2A=2B 或 2A+2B=π
5. sinAcsA=sinBcsA⇒csA=0⇒A=π2csA≠0⇒a=b (三角形中余弦可为 0,正弦必大于 0 )
6. △ABC 为锐角三角形,且 A=2B ,则 B 的范围为 π6,π4
0四、中间线的处理通用策略
用 2 次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即 cs∠ADB+cs∠ADC=0
五、中线或几等分线
如图, △ABC 中, AD 为 BC 的中线,已知 AB,AC ,及 ∠A ,求中线 AD 长.
策略一: 如图, 倍长中线构造全等, 再用余弦定理即可
策略二: 向量法, AD=12AB+AC ,等式两边再进行平方
策略三: 两次余弦定理,邻补角余弦值为相反数,即 cs∠ADB+cs∠ADC=0
补充: 若或将条件“ AD 为 BC 的中线”换为“ BDCD=λ ”也适用,此时需要倍长等分线构造相似.
六、高线
△ABC 中, AD 垂直于 BC .
策略一: 等面积法: AD⋅BC=AB⋅AC⋅sin∠BAC
策略二: AD=AB⋅sin∠ABD=AC⋅sin∠ACD
策略三: a=c⋅csB+b⋅csC
七、角平分线
△ABC 中, AD 平分 ∠BAC .
策略一: 角平分线定理: ABAC=BDCD
策略二: 利用两个小三角形面积和等于大三角形面积处理
SΔABC=SΔABD+SΔADC⇒12×AB×AC×sinA=12×AB×AD×sinA2+12×AB×AD×sinA2,
策略三: 角互补 ⇒∠ABD+∠ADC=π⇒cs∠ABD+cs∠ADC=0 ,
在 △ABD 中, cs∠ABD=DA2+DB2−AB22DA×DB
在 △ADC 中, cs∠ADC=DA2+DC2−AC22DA×DC
八、常用方法
一、基本不等式: (和、积、平方和之间的关系) a2+b2≥2aba+b≥2aba2+b22≥a+b2 (求什么留什么)
二、一角一函数: (知识储备) 正弦、余弦、正切图像与值域辅助角公式、二倍角公式定角范围,定变量范围
三、二次函数求最值: (换元法)
四、分式函数求值域: −k−k,−k−k,−k−k,−k−k分离常数法换元法对勾函数
五、导数: 高次函数三次及以上超越函数两类以上函数
【题型一】三角函数性质与恒等变形
》》》 解法指导
已知 fx=Asinωx+φA>0,ω>0 的部分图象求其解析式时
A 比较容易看图得出,困难的是求待定系数 ω 和 φ ,常用如下两种方法:
(1) 由 ω=2πT 即可求出 ω ; 确定 φ 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0 ,则令 ωx0+φ=0 (或 ωx0+φ=π ),即可求出 φ .
(2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出 ω 和 φ , 若对 A,ω 的符号或对 φ 的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
1. (2024. 北京延庆. 一模) 已知函数 fx=2sinxcsx−2asin2x+aa>0,fx 的最大值为 2 .
(1) 求 a 的值;
(2) 将 fx 的图象向右平移 π3 个单位得到 gx 的图象,求函数 gx 的单调增区间.
2. (2024. 北京平谷. 模拟预测) 已知函数 fx=sin2xcsφ−cs2xsinφ ,其中 φ<π2 ,再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知条件,使 fx 存在,并完成下列两个问题.
(1) 求 φ 的值;
(2) 若 m>0 ,函数 fx 在区间 0,m 上最小值为 −12 ,求实数 m 的取值范围.
条件①: 对任意的 x∈R ,都有 fx≤fπ3 成立;
条件②: fπ4=−12 ;
条件③: fπ3−f−π6=2 .
3. (2024·山东临沂. 一模) 已知向量 a=csx,2sinx,b=2csx,3csx ,函数 fx=a⋅b .
(1) 若 fx0=115 ,且 x0∈π6,π3 ,求 cs2x0 的值;
(2) 将 fx 图象上所有的点向右平移 π6 个单位,然后再向下平移 1 个单位,最后使所有点的纵坐标变为原来的 12 ,得到函数 gx 的图象,当 x∈−π6,π3 时,解不等式 gx≥12 .
【题型二】图像与性质: 零点型
》》》解法指导
零点处,令 sinωx+φ=0,ωx+φ=kπk∈Z ,可求得对称中心的横坐标;
正弦“第一零点”: x=2kπ ; 正弦“第二零点”: x=π+2kπ
余弦“第一零点”: x=−π2+2kπ ; 余弦“第二零点”: x=π2+2kπ
零点求和型, 多利用三角函数对称轴对称性求解
对称性: 换元思想,将 y=Asinωx+φ 中的 “ ωx+φ ” 看成 y=sinx 中的“ x ”,采用整体代入求解.
对称轴: 最值处,令 sinωx+φ=1 ,则 ωx+φ=kπ+π2k∈Z ,可求得对称轴方程;
1. (2024. 全国. 模拟预测) 已知函数 fx=2sinωx+φω>0,φ≤π2 .
(1) 若 fx 的图象经过点 A3π4,0,Bπ4,2 ,且点 B 恰好是 fx 的图象中距离点 A 最近的最高点,试求 fx 的解析式;
(2) 若 f0=−1 ,且 fx 在 5π9,π 上单调,在 0,3π4 上恰有两个零点,求 ω 的取值范围.
2. (23-24 高三上. 吉林白城. 阶段练习) 已知函数 fx=3sinωx+φ+1−2cs2ωx+φ2ω>0,φ<π2 为
奇函数,且 fx 图象的相邻两条对称轴间的距离为 π2 .
(1) 求 fx 的解析式与单调递减区间;
(2) 将函数 fx 的图象向右平移 π6 个单位长度,再把横坐标缩小为原来的 12 (纵坐标不变),得到函数 y=gx 的图象,当 x∈0,π2 时,求方程 2g2x+3gx−3=0 的所有根的和.
3. (2023. 海南省直辖县级单位. 模拟预测) 如图为函数 fx=2csωx+φω>0,φ<π2 的部分图象,且 CD=π4, A−5π12,−2.
(1) 求 ω,φ 的值;
(2) 将 fx 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的 3 倍 (纵坐标不变),再向右平移 3π4 个单位长度,得到函数 gx 的图象,讨论函数 y=gx−a 在区间 −π,π2 的零点个数.
【题型三】新结构第 19 题型：三角函数图像与性质型
》》》解法指导
对新定义的题型要注意一下几点:
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.
1. (23-24 高三北京昌平. ) 已知定义域为 R 的函数 hx 满足: 对于任意的 x∈R ,都有 hx+2π=hx+h2π , 则称函数 hx 具有性质 P .
(1) 判断函数 fx=2x,gx=csx 是否具有性质 P ; (直接写出结论)
(2) 已知函数 fx=sinωx+φ32<ω<52,φ<π2 ,判断是否存在 ω,φ ,使函数 fx 具有性质 P ? 若存在, 求出 ω,φ 的值; 若不存在,说明理由;
(3) 设函数 fx 具有性质 P ,且在区间 0,2π 上的值域为 f0,f2π . 函数 gx=sinfx ,满足
gx+2π=gx ,且在区间 0,2π 上有且只有一个零点. 求证: f2π=2π .
2. (23-24·福建福州·) 英国数学家泰勒发现了如下公式: sinx=x−x33!+x55!−x77!+⋯ ,其中 n!=1×2×3×4×⋯×n , 此公式有广泛的用途,例如利用公式得到一些不等式: 当 x∈0,π2 时, sinxx−x33! , sinx(1) 证明: 当 x∈0,π2 时, sinxx>12 ;
(2) 设 fx=msinx ,若区间 a,b 满足当 fx 定义域为 a,b 时,值域也为 a,b ,则称为 fx 的“和谐区间”. (i) m=1 时, fx 是否存在 “和谐区间”? 若存在,求出 fx 的所有 “和谐区间”,若不存在,请说明理由; (ii) m=−2 时, fx 是否存在“和谐区间”? 若存在,求出 fx 的所有“和谐区间”,若不存在,请说明理由.
【题型四】解三角形：求最大角度型
》》》 解法指导
对于 sinα+β 与 csα+β 简称为 “正余余正,余余正正”
恒等变形和化简求角中, 有如下经验:
1.sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB 正用 1 逆用; 见 A 与 B 的正余或者余正,不够,找 sinC 折
2. 边的齐次式, 正弦定理转为角的正弦;
3. csC=−csA+B=−csAcsB−sinAsinB
解三角形：最值范围
1. 可以用余弦定理+均值不等式来求解。
2. 可以利用正弦定理, 结合角与角所对应的边, 转化为角的形式, 再进行三角恒等边形, 化一, 求解最值与范围, 要主语三角形是否有“锐角、钝角”三角形的角度范围限制
1. (23-24 高三. 浙江金华. 阶段练习) 记锐角 △ABC 的内角为 A,B,C ,
(1) 若 sin2A=sinBsinC ,求角 A 的最大值;
(2) 当角 A=π3 时,求 2csB+csC 的取值范围.
2. (2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测) 在 △ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 2bsinA=ctanC .
(1) 求 a2+b2c2 ;
(2) 求角 C 的最大值.
3. ( 21-22 高三. 陕西榆林. ) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,且
sinCtanA+B1−tanAtanB=tanAtanB.
(1)证明: c2=ab ;
(2) 求角 C 的最大值.
【题型五】解三角形: 边长与中线型最值
》》》解法指导
三角形中线处理方法:
1. 向量法: AD=12AB+AC⇔AM2=14AB2+2AB⋅AC+AC2
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
1. (2024. 陕西西安. 一模) 已知 △ABC 为钝角三角形,它的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且
sin2C=sin2B+sinπ3+Bcsπ6+B, a(1) 求 tanA+B 的值;
(2) 若 △ABC 的面积为 123 ,求 c 的最小值.
2. (2024. 四川南充. 二模) 在① 2csinBcsA=bsinAcsB+csAsinB ; ②
sin2B+sin2C+cs2A−1=sinA+BsinA+C ; ③ bsinB+csinC−asinAcsinB=23sinA ; 这三个条件中任选一个,补充在下面对问题中, 并解答问题.
在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且满足
(1) 求 A ;
(2) 若 △ABC 的面积为 163,D 为 AC 的中点,求 BD 的最小值.
3. ( 22-23 高三. 江苏连云港. ) 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边为 a,b,c ,且 3sinA−sinBsinC=3c−2ba+b . (1) 求 sinA ;
(2) 若 △ABC 的面积为 1632 ;
① 已知 E 为 BC 的中点,求 △ABC 底边 BC 上中线 AE 长的最小值;
②求内角 A 的角平分线 AD 长的最大值.
【题型六】解三角形: 角平分线型求最值
》》》 解法指导
在三角形中, 如果涉及到角平分线, 则可以从下边思维分析
三角形角平分线的处理方法:
S△ABC=S△ACD+S△ABD
角平分线定理 (大题中,需要证明,否则可能会扣过程分): ABBD=ACCD
1. (2022 秋. 山东青岛. 高三统考) 已知函数 fx=sinωx+φ+1ω>0,φ≤π2 的图象经过 7π12,1 ,周期为 π . (1) 求 fx 的解析式;
(2) 在 △ABC 中,角 A,B,C 对的边分别为 a,b,c,∠ACB 的角平分线交 AB 于 D . 若 fC 恰为 fx 的最大值,且此时 CD=fC ,求 4a+b 的最小值.
2. (2023 春. 贵州安顺. 高三统考) 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且
sinA+sinC2=sin2B+45sinAsinC.
(1) 求 csB 和 sinB 的值;
(2) 设点 D 在边 AC 上,且 BD=2,BD 是 ∠ABC 的角平分线,求 4a−2+5c−5 的最小值.
3. (2023 春. 福建三明. 高三统考 ) 已知 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c . 点 D 在 BC 上,且 AD=2 (1) 若 sin∠ADC=2sinB ,求 c
(2) 若 AD 是 ∠BAC 的角平分线,且 ∠BAC=2π3 ,求 △ABC 周长的最小值.
【题型七】解三角形：高的最值型
》》》 解法指导
三角形高的处理方法:
1.等面积法: 两种求面积公式
如S=12bcsinA=12BC×AD=12c2
2.三角函数法:
在 △BCD 中, BD=ABcs∠ABD,AD=ABsin∠ABD ,
1. 已知向量 m=3sinx,csx,n=csx,−csx ,定义函数 fx=m⋅n−12 .
(1) 求函数 fx 的最小正周期;
(2) 在 △ABC 中,若 fC=0 ,且 AB=3,CD 是 △ABC 的边 AB 上的高,求 CD 长度的最大值.
甘肃省张掖市 2022-2023 学年高三下学期第一次全市联考数学 ( 文 ) 试题
2. (湖北省腾云联盟 2022-2023 学年高三上学期 12 月联考数学) 已知 △ABC 的内角 A,B,C 满足
cs2B+cs2C−cs2A=1−sinBsinC.
(1) 求角 A ;
(2) 若 BC=3 ,设 AH 是 △ABC 中 BC 边上的高,求 BH 的最大值.
3. ( 辽宁省朝阳市建平县实验中学 2022-2023 学年高三上学期 ) 在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a ,
b,c,2ccsA=acsB+bcsA .
(1) 求角 A 的值;
(2) 若边 BC 上的高为 3,求 a 的最小值.
【题型八】解三角形：双余弦型
》》》 解法指导
如图设 BD=DC ,
在 △ABD 中,由余弦定理得 AB2=AD2+BD2−2×AD×BD×cs∠ADB ,①
在 △ACD 中,由余弦定理得 AC2=AD2+DC2−2×AD×DC×cs∠ADC ,②
因为 ∠AMB+∠AMC=π ,所以 cs∠ADB+cs∠ADC=0
所以①+②式即可
1. (2022. 辽宁. 高三) 在① 3b−3ccsA=asinC ,② ab=12tanCtanB+1 ,③ sinA−sinCb=sinA−sinBa+c ,这
三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答问题,在 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b , c ,且满足___.
(1) 求 C ;
(2) 若 △ABC 的面积为 3,D 在边 AC 上,且 CD=13CA ,求 BD 的最小值.
2. 在 △ABC 中, BC=2,AC=2,A=π4 ,点 M、N 是边 AB 上的两点, ∠MCN=π6 .
(1) 求 △ABC 的面积;
(2) 当 BN=3 ,求 MN 的长.
3. (2022·湖南·长沙市麓山滨江实验学校高三开学考试) 如图, 在 △ABC 中, D 是 AC 边上一点, ∠ABC 为钝角, ∠DBC=90∘ .
(1) 证明: cs∠ADB+sinC=0 ;
(2) 若 AB=27,BC=2 ,再从下面①②中选取一个作为条件,求 △ABD 的面积.
① sin∠ABC=32114 ; ② AC=3AD .
【题型九】三角形外接圆
》》》 解法指导
三角形所在的外接圆的处理方法:
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2. 正弦定理: asinA=bsinB=csinC=2R ,其中 R 为 外接圆半径
1. (2022. 湖北. 高一阶段练习) 已知 △ABC 中, AB=1,AC=4,BC=13,D 为 AC 中点.
(1) 求角 A 及 △ABC 的面积;
(2) 点 P 在 △ABD 的外接圆上,求 PB2+2PD2 的最大值.
2. (2022·四川·成都外国语学校高一期中 (文) ) 如图,在 △ABC 中, AB=1,BC=3 ,在 AC 的右侧取点 D ,构成平面四边形 ABCD,csB+csD=0 且 B=120∘ .
(1) 求 △ACD 外接圆的面积;
(2) 求 △ACD 周长的取值范围.
3. (2022·湖北·公安县车胤中学高一阶段练习 ) 已知圆内接四边形 ABCD 中, AB=3,BC=1,AD=CD=2 .
(1) 求 BD 的长及该外接圆的面积;
(2) 求 ∠ADC 的正弦值数列
目录
【题型一】“函数型”裂项求和: 基础型. ... 5
【题型二】“函数型”裂项求和: 指数函数型
【题型三】“函数型”裂项求和: 等差裂和型 ... 9
【题型四】“函数型”裂项求和: 指数型裂和. .. 10
【题型五】“函数型”裂项求和: 同构仿写型. .. 11
【题型六】“函数型”裂项求和: 三角函数裂项型 .. 12
【题型七】递推公式: 分式型不动点. .. 13
【题型八】插入数型. .. 14
【题型九】数列跳项型 .. 16
【题型十】证明数列不等式. .. 17
【题型十一】新结构第 19 题型: 差分密码型. .. 18
题型方法梳理
一、求通项
( 1 ) an+1=an+fn 型
（2） an+1=an⋅fn 型
（3） Sn=fan ( Sn 与 an 的关系式) 型
( 4 ) an+1=A⋅an+B 型
（5） an+1=A⋅an+B⋅Cn 型
（6） an+1=A⋅an+B⋅an−1 型
（7） an+1=A⋅an+B⋅n+C 型
（8） an+1=A⋅an+B⋅an−1+C 型
（9） an+1=p⋅anr 型
( 10 ) an+1=anA⋅an+B 型
( 11 ) an+1=A⋅an+BC⋅an+D 型
( 12 ) anan−1=qan−1−pan 型
( 13 ) an+1+an=pn+q 型
( 14 ) an+1⋅an=p⋅qn 型
( 15 ) an+1=Aan2+Ban+C 型
二、隔项问题
在数列问题中,若涉及到以下几种情况,往往要分 n 为奇数、偶数进行讨论:
( 1 ) 通项公式 an=fn,n=2k−1gn,n=2kk∈N*
( 2 ) an+2−an=λ
( 3 ) an+2an=λ
（4）递推式中含有 −1n 结构
三、求和
（1）分组求和法
（2）绝对值求和
（3）奇偶并项法
( 4 ) 倒序相加法
( 5 ) 裂项相消法 (下节讲解)
（6） 错位相减法: Sn=An+Bqn−B
四、常规裂项
( 1 ) 1nn+k=1k1n−1n+k
( 2 ) 14n2−1=1212n−1−12n+1
( 3 ) 1nn+1n+2=121nn+1−1n+1n+2
( 4 ) 2n+1n2n+12=1n2−1n+12
( 5 ) 1n+k+n=1kn+k−n
( 6 ) 2n2n+1−12n−1=2n+1−1−2n−12n+1−12n−1=12n−1−12n+1−1
( 7 ) n+2nn+1⋅2n=2n+1−nnn+1⋅2n=2n−1n+1⋅12n=1n⋅2n−1−1n+1⋅2n
(8) −1n4n4n2−1=−1n12n−1+12n+1
五、常见放缩
（1）括号内放缩
① 1n−1n+1=1nn+1<1n2<1nn−1=1n−1−1nn≥2 ;
② 2n2n−12=2n2n−12n−1<2n2n−12n−2=2n−12n−12n−1−1=12n−1−1−12n−1n≥2
（2）括号外放缩
① 1n2=44n2<44n2−1=212n−1−12n+1
② 12n−12<14nn−1=141n−1−1nn≥2
③ 2n+1−n=2n+1+n<22n<2n+n−1=2n−n−1
④ 13n−1<13n−3n−1=12⋅3n−1n≥2
（3）二项式定理
① 由于 2n−1=1+1n−1=Cn0+Cn1+⋯+Cnn−1>Cn1+Cn2=nn+12n≥3 ,
于是 12n−1<2nn+1=21n−1n+1n≥3
② 2n>2n+1n≥3,2n=1+1n=Cn0+Cn1+⋯+Cnn−1+Cnn>Cn0+2Cn1=2n+1 ;
（4）糖水不等式
若 b>a>0,m>0 ,则 a+mb+m>ab ; 若 b>a>m>0 ,则 a−mb−m解释: b 克不饱和糖水里含有 a 克糖,再往糖水里加入 m 克糖,则糖水变甜.
如: 13n−1<1+13n−1+1=23nn≥1 .
【题型一】“函数型”裂项求和: 基础型
》》》解法指导
基础原理: mpq=mq−p1p−1q ,如: 12×4=14−212−14 ;
基本题型: ① 1nn+1=1n−1n+1 ; ② 12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ;
注意 (避免掉坑)
① 分母分解因式: 1n2+3n=1nn+3=131n−1n+3 ;
② 系数不相同就提系数: 1n2n+4=12⋅1nn+2=12⋅121n−1n+2 ;
③求和化简时, 要写到“前三后二”, 并且一定要强调每项加括号, 这样容易观察剩余的时首尾项 (或正负项) 对应.
(1) 1nn+k=1k1n−1n+k ;
( 2 ) 1n+k+n=1kn+k−n ;
( 3 ) 12n−12n+1=1212n−1−12n+1 ;
(4) 1nn+1n+2=121nn+1−1n+1n+2 ;
分式型分子裂差法
形如 fnan⋅an+1 型,如果 fn=λan+1−an ,则可以分子裂差: fnan⋅an+1=λan+1−anan⋅an+1=λ1an−1an+1
1. (22.23. 龙岩. 二模) 已知等差数列 an 的首项为 1,公差 d≠0 ,前 n 项和为 Sn ,且 SnS2n 为常数.
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 令 bn=nanan+1−n+1an+1an+2 ,证明: b1+b2+b3+⋯+bn<13 .
2. (22.23. 秦皇岛. 模拟预测) 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,数列 bn 为等差数列,且公差 d≠0,a1=b1=2 , a3=b3,S3=b5 .
(1) 求数列 an 的通项公式以及前 n 项和 Sn ;
(2) 数列 2n+1n2bn+42 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn≤19 .
3. (2024 下. 福建. 高三校联考开学考试) 已知正项数列 an 中, a1=1,an+1=an+2an+1 .
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 记数列 bn=2an+1anan+1 的前 n 项和 Sn ,求满足 Sn<99100 的正整数 n 的集合.
【题型二】“函数型”裂项求和: 指数函数型
》》》解法指导
指数裂项法
形如 mqn+r+thqn+bhqn+1+b 型,如果 mqn+r+t=λhqn+b−hqn+1+b ,则可以分子裂差:
mqn+r+thqn+bhqn+1+b=λhqn+1+b−hqn+bhqn+bhqn+1+b=λ1hqn+b−1hqn+1+b
1. (2023. 广西玉林. 校联考模拟预测) 记 Sn 为数列 an 的前 n 项和,已知 a1=2,an+1=Sn+n .
(1) 证明: 当 n≥2 时,数列 an+1 是等比数列,并求数列 an 的通项公式;
(2) 设 bn=2n+1an+1an+2 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn<13 .
2. (2023 上. 海南海口. 高三校考阶段练习) 在数列 anan≠0 和 bn 中, a1=1,b1=2 ,且 an+1bn 是 anan+1 和 anbn+1 的等差中项.
(1) 设 cn=bnan ,求证: 数列 cn−1 为等比数列;
(2) 若 bn=3×2n2n+1,an 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn<3 .
3. (2023 上. 湖南长沙. 高二长沙一中校考阶段练习) 已知数列 an 的首项 a1=4 ,且满足 an+1=3an−2n∈N* . (1) 求证: 数列 an−1 为等比数列;
(2) 记 bn=3nan⋅an+1 ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
【题型三】“函数型”裂项求和: 等差裂和型
》》》解法指导
正负型: 等差裂和型
形如 −1n⋅fnan⋅an+1 型,如果 fn=λan+1−an ,则可以分子裂差:
−1n⋅fnan⋅an+1=−1n⋅λan+1−anan⋅an+1=−1n⋅λ1an−1an+1
1. (2023. 河北唐山. 三模) 设 Sn 为数列 an 的前 n 项和, an>0,an2+2an+1=4Sn .
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 求数列 −1n4nanan+1 的前 n 项和 Tn .
2. (2023. 江苏镇江. 二模) 已知数列 an 满足: a1=14,an+1=nn+2an .
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 若 bn=−1n2n+1an ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
3. (2023. 湖南永州. 三模) 记正项数列 an 的前 n 项积为 Tn ,且 1an=1−4Tn .
(1) 证明: 数列 Tn 是等差数列;
(2) 记 bn=−1n⋅8n+6Tn⋅Tn+1 ,求数列 bn 的前 2n 项和 S2n .
【题型四】“函数型”裂项求和: 指数型裂和
》》》解法指导
正负型: 指数裂和型
形如 −1n⋅mqn+r+thqn+bhqn+1+b 型,如果 mqn+r+t=λhqn+b+hqn+1+b ,则可以分子裂和:
−1n⋅mqn+r+thqn+bhqn+1+b=−1n⋅λhqn+1+b+hqn+bhqn+bhqn+1+b=−1n⋅λ1hqn+b+1hqn+1+b
1. (23.24 上. 湖北. 期中) 已知 an 为等比数列,且 a2+a3+a4=14,a2,a3+1,a4 成等差数列.
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 当 an 为递增数列时, bn=−1n6an+22n+12n+1+1 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,若存在 n∈N*,m≥Tn ,求 m 的取值范围.
2. (23.24 上. 黔东南. 阶段练习) 已知数列 an 满足: a1=1,an=2an−1+1n≥2 .
(1) 证明: an+1 是等比数列,并求 an 的通项公式;
(2) 令 bn=−1n3n+2nn+1an+1+1 ,求 bn 的前 n 项和 Sn .
3. ( 22.23 高二下. 黑龙江哈尔滨. 期中) 已知数列 an 满足 a1=14,an+1=3an−4 .
(1) 求 an 的通项公式;
(2) 设 bn=−1nan3n+13n+1+1 ,数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,若存在 n∈N* ,使 m≥Tn ,求 m 的取值范围.
【题型五】“函数型”裂项求和: 同构仿写型
》》》解法指导
仿写规律: t>1
① bnan⋅an+1⋅tn⇒1an⋅tn−1−1an+1⋅tn=λbnan⋅an+1⋅tn (可通分反解 λ );
② bn⋅tnan⋅an+1⇒tn+1an+1−tnan=λbn⋅tnan⋅an+1 (可通分反解 λ )
1. (23.24 上. 甘南. 期中) 在数列 an 中, a1=2 且 ∀n∈N*,an+1=3an+2×3n .
(1) 求 an 的通项公式;
(2) 设 bn=an+3nanan+1 ,若 bn 的前 n 项和为 Sn ,证明: Sn<14 .
2. (23.24 上. 合肥. 阶段练习) 在数 1 和 3 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn ,令 an=lg3Tn .
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 若 bn=n+1⋅2n−1anan+1 ,求数列 bn 的前 n 项和 Sn .
3. (23.24 上. 昆明. 阶段练习) 已知数列 an 满足 a1=2,an+1=2n+1ann∈N* .
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 设 bn=lg2an2−n2 ,数列 bn+22n+1bn⋅bn+1 的前 n 项和为 Sn ,求证: 38≤Sn<12 .
【题型六】“函数型”裂项求和: 三角函数裂项型
》》》解法指导
常见的三角函数裂项:
1. 正切型裂项: 若 an+1−an=α,tanα=m (特殊角),则 tanα=tanan+1−an=tanan+1−tanan1+tanan+1tanan=m ,
bn=tanan+1tanan=1mtanan+1−tanan−1;
2. 正余弦和与差公式应用裂项型:
bn=sin1csncsn−1=sinn−n−1csncsn−1=sinncsn−1−csnsinn−1csncsn−1=tann−tann−1
1. (2023. 山东威海. 二模) 已知 2n+2 个数排列构成以 qnqn>1 为公比的等比数列,其中第 1 个数为 1,第 2n+2 个数为 8,设 an=lg2qn .
(1) 证明: 数列 1an 是等差数列;
(2) 设 bn=tanπantanπan+1 ,求数列 bn 的前 100 项和 S100 .
2. (22.23 高三上. 山东济宁. 期中) 已知 n∈N* ,抛物线 y=−x2+n 与 x 轴正半轴相交于点 A ,在点 A 处的切线在 y 轴上的截距为 an
(1) 求数列 an 的通项公式;
(2) 若 bn=4ncsnπan−1an+1 ,求数列 bn 的前项和 Sn .
3. (22.23 上. 芜湖. 期末) 已知 Sn 是数列 an 的前 n 项和, 2Sn=n+1an . 且 a1=1
(1) 求 an 的通项公式;
(2) 设 a0=0 ,已知数列 bn 满足 bn=sin1csancsan−1 ,求 bn 的前 n 项的和 Tn
【题型七】递推公式: 分式型不动点
》》》解法指导
已知分式一次型数列递推关系 an+1=Can+DAan+B 求通项的问题解法:
法一,化归法. 当 D=0 时,递推关系两边取倒数,再裂项构造即可; 当 D≠0 时,为了保持取倒数后分母一致性,通常可以令 an+1+x=Can+DAan+B+x=C+xAan+D+BxAan+B ,可由 1x=C+AxD+Bx 解得 x 的值,即可得到构造方向 bn+1=tbnAan+B ,通过这样的转化将问题又化归为 D=0 的情形再求解.
法二,特征根法求解. 先构造特征方程 x=Cx+DAx+B ,解方程得根 x1,x2 ,若 x1≠x2 ,则 an−x2an−x1 为等比数列;
若 x1=x2 ,则 1an−x1 为等差数列.
1. ( 22-23 高三. 河南. 阶段练习) 已知数列 an 满足 a1=0,an+1=−an−22an+3,n∈N* .
(1) 证明: 数列 1an+1 是等差数列;
(2) 证明: a2⋅a3⋅a4⋯⋅an+1>12n+1 .
2. (2024 高三. 全国. 专题练习) 在数列 an 中, a1=4 且 an+1=3an+2an+4 ,求数列 an 的通项公式.
3. (2023 高三. 全国. 专题练习) 已知数列 an 满足性质: 对于 n∈N,an−1=an+42an+3 ,且 a1=3 ,求 an 的通项公式.
【题型八】插入数型
》》》解法指导
插入数型
1.插入数构成等差数列
在 an 和 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数构成等差数列,可通过构造新数列 bn 来求解 dn
n+2 个数构成等差数列,公差记为 dn ,所以:
bn+2=b1+n+2−1dn⇔dn=bn+2−b1n+2−1
2. 插入数构成等比数列
在 an 和 an+1 之间插入 n 个数,使这 n+2 个数构成等比数列,可通过构造新数列 bn 来求解 dn
n+2 个数构成等比数列,公差记为 dn ,所以:
bn+2=b1⋅qnn+2−1⇔qnn+2−1=bn+2b1⇔lnbn+2b1=lnqnn+2−1=n+2−1lnqn
3. 插入数混合型
混合型插入数列,其突破口在于: 在插入这些数中,数列 an 提供了多少项,其余都是插入进来的。
1. (2024. 全国. 武钢三中校联考模拟预测) 已知数列 an 为等差数列, a1=1,3a4−a2=10 ,且数列 abn 是公比为 2 的等比数列, b1=2 .
(1) 求 an,bn 的通项公式;
(2) 若数列 cn 满足 cn=an,n是奇数an−2,n是偶数 ,将 cn 中的项按原有顺序依次插入到数列 bn 中,使 bk 与 bk+1 之间插入 2 项,形成新数列,求此新数列前面 20 项的和 T20 .
2. (2023. 上海虹口. 华东师范大学第一附属中学校考三模) 若数列 an 满足 an+12−an2=p ( n 为正整数, p 为常数),则称数列 an 为等方差数列, p 为公方差.
(1) 已知数列 xn,yn 的通项公式分别为 xn=n+1,yn=3n−1 ,判断上述两个数列是否为等方差数列,并说明理由;
(2) 若数列 an 是首项为 1,公方差为 2 的等方差数列,数列 bn 满足 bn=2,n=1lgan2an+12,n≥2 ,且 b1⋅b2⋅b3⋯⋅bm=8 , 求正整数 m 的值;
(3) 在 (1)、(2) 的条件下,若在 yk 与 yk+1 之间依次插入数列 an2 中的 k 项构成新数列 cn:y1 ,
a12,y2,a22,a32,y3,a42,a52,a62,y4,…… ,求数列 cn 中前 50 项的和 T50 .
3. (.江苏南京南京外国语学校校考) 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn=2n+1−2 ; 数列 bn 满足
6n2−t+3bnn+2bn=0 t∈R,n∈N*.
( 1 ) 求数列 an 的通项公式;
(2) ①试确定 t 的值,使得数列 bn 为等差数列; ② 在①结论下,若对每个正整数 k ,在 ak 与 ak+1 之间插入 bk 个 2,符到一个数列 cn . 设 Tn 是数列 cn 的前 n 项和,试求满足 Tm=2Cm+1 的所有正整数 m .
【题型九】数列跳项型
1. (湖北省黄冈中学第三次模拟考试理科数学试题) 设 an 是等差数列, bn 是等比数列. 已知 a1=1,b1=2 , b2=2a2,b3=2a3+2 .
(1) 求 an 和 bn 的通项公式;
（2）数列 cn 满足 cn=1, n=2kan,n≠2kk∈N ,设数列 cn 的前 n 项和为 Sn ,求 S2n .
2. (宁夏银川一中 2023 届高三上学期第三次月考数学 (文) 试题). 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1 ,
且 nan+1+Sn+1=2n∈N* .
(1) 证明: 数列 nSn 为等差数列;
(2) 选取数列 Sn 的第 2nn∈N* 项构造一个新的数列 bn ,求 bn 的前 n 项和 Tn .
【题型十】证明数列不等式
》》》解法指导
数列与不等式问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心, 函数的解析式是研究函数问题的基础; 二是方程、不等式与函数的联系, 利用它们之间的对应关系进行灵活的处理. 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景, 给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出 Sn 的表达式,还有以曲线上的切点为背景的问题,解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系, 将条件进行准确的转化. 数列与不等式的综合问题一般以数列为载体, 考查最值问题, 不等关系或恒成立问题.
解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点:
(1) 数列是一类特殊的函数, 函数定义域是正整数, 在求数列最值或不等关系时要特别重视;
(2)解题时准确构造函数, 利用函数性质时注意限制条件;
(3) 不等关系证明中进行适当的放缩.
1. (2024 上. 重庆. 高三重庆巴蜀中学校考期中) 数列 an 的前 n 项和 Sn ,已知 a2=a1+4 ,
2Sn=nan+n+kn∈N*,k 为常数.
(1) 求常数 k 和数列 an 的通项公式;
(2) 数列 1Sn 的前 n 项和为 Tn ,证明: 43−12n+1≤Tn<32 .
2. (2023 上. 黑龙江大庆. 高三校考阶段练习) Sn 为数列 an 的前 n 项和. 已知 an>0,an2+2an=4Sn+3 .
(1) 求 an 的通项公式;
(2) 设 bn=1anan+1 ,求数列 bn 的前 n 项和为 Tn ,证明 115≤Tn<16 .
3. 设数列 an 的首项 a1∈0,1,an=3−an−12n=2,3,4,⋯
( 1 ) 求 an 的通项公式;
( 2 ) 设 bn=an3−2an ,证明: bn【题型十一】新结构第 19 题型：差分密码型
》》》解法指导
关于新定义问题的常见思路为:
(1) 理解新定义, 明确新定义中的条件、原理、方法与结论等;
（2）新定义问题要与平时所学知识相结合运用;
（3）对于不等式恒成立问题要结合均值不等式进行求解最值, 把握好分类讨论的时机.
1. (2024·贵州·三模) 差分密码分析 (Differential Cryptanalysis) 是一种密码分析方法, 旨在通过观察密码算法在不同输入差分下产生的输出差分,来推断出密码算法的密钥信息. 对于数列 ann∈N* ,规定 Δan 为数列 an 的一阶差分数列,其中 Δan=an+1−an ; 规定 Δ2an 为 an 的二阶差分数列,其中 Δ2an=Δan+1−Δan . 如果 an 的一阶差分数列满足 Δai≠Δaj∀i,j∈N*,i≠j ,则称 an 是 “绝对差异数列”; 如果 an 的二阶差分数列满足 Δ2ai=Δ2aj∀i,j∈N* ,则称 an 是 “累差不变数列”.
(1) 设数列 A:1,3,7,9,13,15 ,判断数列 A 是否为 “绝对差异数列”或“累差不变数列”,请说明理由;
(2) 设数列 an 的通项公式 an=2n2+nn∈N* ,分别判断 Δan,Δ2an 是否为等差数列,请说明理由;
(3) 设各项均为正数的数列 cn 为“累差不变数列”,其前 n 项和为 Sn ,且对 ∀n∈N* ,都有 k=1nΔ2ck=Δ2cn+1 ,
对满足 n+m=2km≠n 的任意正整数 n,m,k 都有 cm≠cn ,且不等式 Sn+Sm>tSk 恒成立,求实数 t 的最大值.
2. (2024·辽宁葫芦岛·一模) 大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂, 要想分析出海量数据所蕴含的价值, 数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位, 合适的算法就会起到事半功倍的效果. 现有一个“数据漏斗”软件,其功能为; 通过操作 LM,N 删去一个无穷非减正整数数列中除以 M 余数为 N 的项, 并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列. 设数列 an 的通项公式 an=3n−1 ,
n∈N+ ,通过“数据漏斗”软件对数列 an 进行 L3,1 操作后得到 bn ,设 an+bn 前 n 项和为 Sn .
(1) 求 Sn ;
(2)是否存在不同的实数 p,q,r∈N+ ,使得 Sp,Sq,Sr 成等差数列? 若存在,求出所有的 p,q,r ; 若不存在, 说明理由;
(3) 若 en=nSn23n−1,n∈N+ ,对数列 en 进行 L3,0 操作得到 kn ,将数列 kn 中下标除以 4 余数为 0,1
的项删掉,剩下的项按从小到大排列后得到 pn ,再将 pn 的每一项都加上自身项数,最终得到 cn ,证明: 每个大于 1 的奇平方数都是 cn 中相邻两项的和.
3. (2024·安徽黄山·一模) 随着信息技术的快速发展, 离散数学的应用越来越广泛. 差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具,并且有广泛的应用. 对于数列 an ,规定 Δan 为数列 an 的一阶差分数列,其中 Δan=an+1−ann∈N* ,规定 Δ2an 为数列 an 的二阶差分数列,其中 Δ2an=Δan+1−Δann∈N* .
(1) 数列 an 的通项公式为 an=n3n∈N* ,试判断数列 Δan,Δ2an 是否为等差数列,请说明理由?
(2) 数列 lgabn 是以 1 为公差的等差数列,且 a>2 ,对于任意的 n∈N* ,都存在 m∈N* ,使得 Δ2bn=bm , 求 a 的值;
(3)各项均为正数的数列 cn 的前 n 项和为 Sn ,且 Δcn 为常数列,对满足 m+n=2t,m≠n 的任意正整数 m,n,t 都有 cm≠cn ,且不等式 Sm+Sn>λSt 恒成立,求实数 λ 的最大值.
概率
目录
【题型一】超几何分布型分布列.
【题型二】二项分布型分布列.
【题型三】正态分布型. ... 11
【题型四】分布列均值与方差. .. 14
【题型五】竞技比赛型分布列. .. 16
【题型六】多人比赛竞技型分布列. .. 17
【题型七】递推数列型. .. 19
【题型八】三人传球递推数列型.. ... 21
【题型九】导数计算型分布列最值. ... 23
【题型十】机器人跳棋模式求分布列. ... 26
题型方法梳理
一、频率分布直方图中的数据计算
1. 频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小, 以各个小长方形的面积表现相应各组的频率, 各个小长方形的面积的总和等于 1 , 即样本数据落在整个区间的频率为 1 .
2. 频率分布直方图中的平均数: 在频率分布直方图中,设 xi 和 pi 为第 ii=1,2,⋯,n 组数据的组中值和频率, 则样本平均数为
x=x1p1+x2p2+⋯+xnpn=i=1nxipi
3. 频率分布直方图中的百分位数: 在频率分布直方图中, 我们通常认为数据均匀地分布在各自的区间上. 设 pi 为第 ii=1,2,⋯,n 组数据的频率,在计算第 p 百分位数时,由
p1+p2+⋯+pi−1确定第 p 百分位数在第 i 组,设第 i 组所对应的区间为 a,bap1+p2+⋯+pi−1+x0−a⋅pib−a=p%
即直线 x=x0 左侧所有小长方形的面积之和为 p% .
4. 频率分布直方图中的方差: 在频率分布直方图中,设 xi 和 pi 为第 ii=1,2,⋯,n 组数据的组中值和频率, x 为平均数, 则方差为
s2=x1−x2p1+x2−x2p2+⋯+xn−x2pn=i=1nxi−x2pi.
二、回归分析
（1）变量间的相关关系
从散点图上看, 点散布在从左下角到右上角的区域内, 两个变量的这种相关关系称为正相关, 点散布在左上角到右下角的区域内, 两个变量的这种相关关系称为负相关.
(1) (2)
(2) 相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2i=1nyi2−ny2 .
相关系数 r 的性质:
① r>0 ,正相关; r<0 ,负相关.
② r 越接近于 1,相关程度越大; r 越接近于 0,相关程度越小.
③通常当 r>0.75 ,就认为两个变量具有很强的线性相关关系.
（3）线性回归方程 y=bx+a
两个具有线性相关关系的变量的一组数据 x1,y1,x2,y2,⋯,xn,yn ,直线方程 y=bx+a
a,b 的值由公式给出: b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2,a=y−bx.
其中,回归直线的斜率为 b ,截距为 a ,即回归方程为 y=bx+a
回归方程一定通过样本点的中心 x,y ,可能不经过 x1,y1,x2,y2,…,xn,yn 中的任何一点.
（4）决定系数 R2
① 残差 ei=yi−yi (其中 yi=bxi+a ): 实际值与估计值之间的差.
残差平方和 Q=i=1nyi−y2 越小,线性回归模型的拟合效果越好.
②相关指数 R2=1−i=1nyi−yi2i=1nyi−y2 . 表示解释变量 x 对于响应变量 y 变化的贡献率.
可以看出, R2 越接近于 1,表示残差平方和越小,表示模型的拟合效果越好.
( 5 ) 非线性回归分析
在实际问题中, 有时两个变量之间的关系并不是线性关系, 这就需要我们选择适当的变量代换, 把非线性方程转化为线性回归方程. 常见的非线性回归转化方法有:
① y=c1ec2x ,令 z=lny ,则 z=bx+aa=lnc1,b=c2 ; 转换成线性回归方程;
② y=c3x2+c4 ,令 t=x2 ,则 y=c3t+c4 . 转换成线性回归方程.
三、独立性检验流程
问法: 根据小概率值 a=⋯ 的独立性检验,分析两个分类变量 X 和 Y 是否有关 l 有差异? 解决上述问题的基本流程如下:
Step1. 分析统计数据,填写 2×2 列联表:
Step 2. 零假设为 H0 : 假设 X 和 Y 无关或无差异或相互独立
Step 3. 计算 χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d
Step 4. 查表,比较 χ2 与临界值 xa
Step5. 下结论:
(1) 若计算出的 χ2>xa ,则: 根据小概率值 a=⋯ 的独立性检验,零假设 H0 不成立,即认为变量 X 和 Y 有关,这种判断犯错误的概率不超过 a ;
（2）若计算出的 χ2四、古典概型
(1) 古典概型的特点
有限性: 样本空间的样本点只有有限个; 等可能性: 每个样本点发生的可能性相等.
(2) 古典概型事件 A 的概率
PA=事件A的样本点个数样本空间Ω的样本点个数
五、二项分布 (放回抽取)
① n 重伯努利试验
（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验,比如产品的合格或不合格,医学检验结果的阳性或阴性;
（2）将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验,
（3） n 重伯努利试验具有如下共同特征
第一: 同一个伯努利试验重复做 n 次; 第二: 各次试验的结果相互独立;
② 二项分布概念
一般地,在 n 重伯努利试验中,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p0PX=k=Cnkpk1−pn−k,k=0,1,2,
此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 X∼Bn,p ,并称 p 为成功概率.
随机变量 X 的分布列如下:
(其中 q=1−p )
由二项式定理,可得
k=0nPX=k=k=0nCnkpkqn−k=p+qk=1
③ 二项分布的期望与方差
一般地,如果 X∼Bn,p ,那么 EX=np,DX=np1−p .
下面对期望进行证明
证明: 令 q=1−p ,由 kCnk=nCn−1k−1 ,可得
EX=k=0nkCnkpkqn−k=k=1nnCn−1k−1pkqn−k=npk=1nCn−1k−1pk−1qn−1−k−1
令 k−1=m ,则
EX=npm=0n−1Cn−1mpk−1qn−1−m=npp+qn−1=np
六、超几何分布 (不放回, 一次性抽取)
① 概念
一般地,假设一批产品共有 N 件,其中有 M 件次品,从 N 件产品中随机抽取 n 件(不放回),用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数,则 X 的分布列为:
PX=k=CMkCN−Mn−kCNn, k=m,m+1,m+2,…,r
其中 n,M,N∈N*,n≤N,M≤N,m=max{0,n−N+M},r=min{n,m} .
如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量 X 服从超几何分布.
②超几何分布的期望与方差
设随机变量 X∼Hn,M,N ,则 EX=nMN,DX=nMN1−MN⋅N−nN=nMN−MN−nN2N−1 .
证明: 令 =max{0,n−N+M},r=min{n,m} ,有
EX=k=mrkCMkCN−Mn−kCNn=Mk=mrCM−1k−1CN−Mn−kCNn
因为 k=mrCM−1k−1CN−Mn−k=CN−1n−1 ,所以
EX=MCNnk=mrkCM−1k−1CN−Mn−k=MCN−1n−1CNn=nMN
备注: 方差的公式解答题中是不能直接使用的, 了解即可.
七、类超几何分布 (不放回抽取, 一次一次抽取)
例: 一个袋中装有形状大小完全相同的球 9 个, 其中红球 3 个, 白球 6 个, 从袋中不放回地取球, 每次随
机取 1 个,直到取出 3 次红球即停止,求恰好取 4 次停止的概率 P .
解: P=C33C61C31A33A94 (分子分母都带顺序,把相同球看成不同球)
【题型一】超几何分布型分布列
》》》 解法指导
总数为 N 的两类物品,其中一类为 M 件,从 N 中取 n 件恰含 M 中的 m 件, m=0,1,2…,k ,其中 k 为 M 与 n 的较小者, Pξ=m=CMmCN−Mn−mCNn ,称 ξ 服从参数为 N,M,n 的超几何分布,记作 ξ∼ HN,M,n ,此时有公式 Eξ=nMN 。
一般地,假设一批产品共有 N 件,其中有 M 件次品. 从 N 件产品中随机抽取 n 件 (不放回),用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数,则 X 的分布列为 PX=k=CMkCN−Mn−kCNn,k=m,m+1,m+2,⋯,r . 其中 n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n−N+M},r=min{n,M} . 如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式,那么称随机变量 X 服从超几何分布 EX=np .
1. (2023·湖北·模拟预测) 某区域中的物种 P 拥有两个亚种 (分别记为 A 种和 B 种). 为了调查该区域中这两个亚种的数目,某生物研究小组计划在该区域中捕捉 100 个物种 P ,统计其中 A 种的数目后,将捕获的生物全部放回,作为一次试验结果. 重复进行这个试验共 20 次,记第 i 次试验中 A 种的数目为随机变量 Xii=1,2,⋯,20 . 设该区域中 A 种的数目为 M,B 种的数目为 N ,每一次试验均相互独立.
(1) 求 X1 的分布列;
(2) 记随机变量 X=120i=120Xi . 已知 EXi+Xj=EXi+EXj,DXi+Xj=DXi+DXj ;
(i) 证明: EX=EX1,DX=120DX1 ;
(ii) 该小组完成所有试验后,得到 Xi 的实际取值分别为 xii=1,2,⋯,20 . 数据 xii=1,2,⋯,20 的平均值 x=40 , 方差 s2=1.176 . 采用 x 和 s2 分别代替 EX 和 DX ,给出 M,N 的估计值.
2. (23.24 高三上. 江苏南通. 阶段练习 ) 某班为了庆祝我国传统节日中秋节, 设计了一个小游戏: 在一个不透明箱中装有 4 个黑球, 3 个红球, 1 个黄球, 这些球除颜色外完全相同. 每位学生从中一次随机摸出 3 个球, 观察颜色后放回. 若摸出的球中有 X 个红球,则分得 X 个月饼; 若摸出的球中有黄球,则需要表演一个节目. (1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率;
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
3. (2024·广东广州·二模) 某沙漠地区经过治理, 生态系统得到很大改善, 野生动物数量有所增加. 为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系, 将其分成面积相近的若干个地块, 从这些地块中随机抽取 20 个作为样区,调查得到样本数据 xi,yii=1,2,⋯,20 ,其中 xi ,和 yi ,分别表示第 i 个样区的植物覆盖面积 (单位: 公顷) 和这种野生动物的数量 (单位: 只), 并计算得
i=120xi−x2=80,i=120yi−y2=9000,i=120xi−xyi−y=800.
(1) 求样本 xi,yii=1,2,⋯,20 的相关系数 (精确到 0.01),并推断这种野生动物的数量 y (单位: 只) 和植物覆盖面积 x (单位: 公顷) 的相关程度;
(2) 已知 20 个样区中有 8 个样区的这种野生动物数量低于样本平均数, 从 20 个样区中随机抽取 2 个, 记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为 X ,求随机变量 X 的分布列.
附: 相关系数 r=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2i=1nyi−y2,2≈1.414
【题型二】二项分布型分布列
》》》 解法指导
若在一次实验中事件发生的概率为 p01. (2024·云南昆明·一模) 聊天机器人 (chatterbt) 是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序. 当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时, 如果输入的问题没有语法错误,则应答被采纳的概率为 80% ,若出现语法错误,则应答被采纳的概率为 30% . 假设每次输入的问题出现语法错误的概率为 10% .
(1) 求一个问题的应答被采纳的概率;
(2) 在某次测试中,输入了 8 个问题,每个问题的应答是否被采纳相互独立,记这些应答被采纳的个数为 X ,
事件 X=kk=0,1,⋯,8 的概率为 PX=k ,求当 PX=k 最大时 k 的值.
2. (2024·全国·模拟预测) 某地文旅部门为了增强游客对本地旅游景区的了解, 提高旅游景区的知名度和吸引力, 促进旅游业的发展, 在 2023 年中秋国庆双节之际举办“十佳旅游景区”评选活动, 在坚持“公平、公正公开”的前提下, 经过景区介绍、景区参观、评选投票、结果发布、颁发奖牌等环节, 当地的 6 个“自然景观类景区”和 4 个“人文景观类景区”荣获“十佳旅游景区”的称号. 评选活动结束后, 文旅部门为了进一步提升“十佳旅游景区”的影响力和美誉度, 拟从这 10 个景区中选取部分景区进行重点推介.
(1)若文旅部门从这 10 个景区中先随机选取 1 个景区面向本地的大学生群体进行重点推介、再选取另一个景区面向本地的中学生群体进行重点推介,记面向大学生群体重点推介的景区是“自然景观类景区”为事件 A ,
面向中学生群体重点推介的景区是“人文景观类景区”为事件 B ,求 PB∣A,PB ;
(2)现需要从“十佳旅游景区”中选 4 个景区, 且每次选 1 个景区（可以重复）, 分别向北京、上海、广州、 深圳这四个一线城市进行重点推介,记选取的景区中“人文景观类景区”的个数为 X ,求 X 的分布列和数学期望.
3. (2023. 广东肇庆. 二模) 在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号 n 次,每次发射信号 “ 0 ” 和 “1 ” 是等可能的. 记发射信号 1 的次数为 X .
(1) 当 n=6 时,求 PX≤2
(2) 已知切比雪夫不等式: 对于任一随机变量 Y ,若其数学期望 EY 和方差 DY 均存在,则对任意正实数 a , 有 PY−EY【题型三】正态分布型
》》》 解法指导
(1) 若 X 是正态随机变量,其概率密度曲线的函数表达式为 fx=12π⋅σe−x−μ22σ2,x∈R (其中 μ,σ 是参数,且 σ>0,−∞<μ<+∞ )。 其图像如图 13-7 所示, 有以下性质:
①曲线在 x 轴上方,并且关于直线 x=μ 对称;
②曲线在 x=μ 处处于最高点,并且此处向左右两边延伸时,逐渐降低,呈现“中间高,两边低”的形状; ③曲线的形状由 σ 确定, σ 越大,曲线越“矮胖”, σ 越小,曲线越 “高瘦”;
④ fx 图像与 x 轴之间的面积为 1 .
图 13-7
(2) Eξ=μ , Dξ=σ2 ,记作 ξ∼Nμ,σ2 .
当 μ=0,σ=1 时, ξ 服从标准正态分布,记作 ξ∼N0,1 .
(3) ξ∼Nμ,σ2 ,则 ξ 在 μ−σ,μ+σ, μ−2σ,μ+2σ,μ−3σ,μ+3σ 上取值的概率分别为 68.3%,95.4%,99.7% ,这叫做正态分布的 3σ 原则。
1. 从某酒店开车到机场有两条路线, 为了解两条路线的通行情况, 随机统计了走这两条路线各 10 次的全程时间 (单位: min ),数据如下表:
将路线一和路线二的全程时间的样本平均数分别记为 x 和 y ,样本方差分别记为 s12 和 s22 .
(1) 求 x,y,s12,s22 .
(2) 假设路线一的全程时间 X 服从正态分布 Nμ1,σ12 ,路线二的全程时间 Y 服从正态分布 Nμ2,σ22 ,分别用 x,y,s12,s22 作为 μ1,μ2,σ12,σ22 的估计值. 现有甲、乙两人各自从该酒店打车去机场,甲要求路上时间不超过 60 min ,乙要求路上时间不超过 70 min ,为尽可能满足客人要求,司机送甲、乙去机场应该分别选哪条路线?
2.2020 年我国科技成果斐然, 其中北斗三号全球卫星导航系统 7 月 31 日正式开通. 北斗三号全球卫星导航系统由 24 颗中圆地球轨道卫星、 3 颗地球静止轨道卫星和 3 颗倾斜地球同步轨道卫星, 共 30 颗卫星组成. 北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于 10 米, 实测的导航定位精度都是 2 23 米, 全球服务可用性 99% , 亚太地区性能更优.
(I) 南美地区某城市通过对 1000 辆家用汽车进行定位测试,发现定位精确度 X 近似满足 X∼N52,14 , 预估该地区某辆家用汽车导航精确度在 1,3 的概率;
（II）（i）某地基站工作人员 30 颗卫星中随机选取 4 颗卫星进行信号分析，选取的 4 颗卫星中含 3 颗倾斜地球同步轨道卫星数记为 Y ,求 Y 的分布列和数学期望;
(ii) 某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约 5 个基地同时独立随机选取 1 颗卫星进行信号分析, 选取的 5 颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为 ξ ,求 ξ 的数学期望.
附: 若 X∼Nμ,σ2 ,则 Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545 ,
Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.
3. 据相关部门统计,随着电商网购的快速普及,快递包装业近年来实现了超过 50% 的高速年均增长. 针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为 1000 万个包装胶带的生产线. 已知该包装胶带的质量以某项指标值作为衡量标准. 为估算其经济效益, 该化工厂先进行了试生产, 并从中随机抽取了 1000 个包装胶带,
统计了每个包装胶带的质量指标值 k ,并分成以下 5 组: [50,60),[60,70),…,90,100 ,其统计结果及产品等级划分如下表所示:
试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布, 并解决下列问题 (注: 每组数据取区间的中点值) :
（1）由频数分布表可认为,该包装胶带的质量指标值 k 近似地服从正态分布 Nμ,σ2 ,其中 μ 近似为样本平均数 x,σ 近似为样本的标准差 s ,并已求得 s≈10.03 . 求 P50.54（2）已知每个包装胶带的质量指标值 k 与利润 y （单位：元）的关系如下表所示： t∈1,4
假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去, 且这一年的总投资为 5000 万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内 ), 问: 该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资? 试说明理由.
参考数据: 若随机变量 Z∼Nμ,σ2 ,则 Pμ−σPμ−3σ江苏省南通市西亭高级中学 2020-2021 学年高三上学期省模考模拟二数学试题
【题型四】分布列均值与方差
》》》解法指导
（1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y1,Y2,⋯,YN ,总体的平均数为 Y ,则称 s2= 1Ni=1NYi−Y2 _为总体方差, s=s2 _为总体标准差.
（2）总体方差的加权形式：如果总体的 N 个变量值中,不同的值共有 kk≤N 个,不妨记为 Y1,Y2,⋯,Yk , 其中 Yi 出现的频数为 fii=1,2,⋯,k ,则总体方差为 s2=1Ni=1kfiYi−Y2 .
（3）设样本容量为 n ,平均数为 x ,其中两层的个体数量分别为 n1,n2 ,两层的平均数分别为 x1,x2 ,方差分别为 s12,s22 ,则这个样本的方差为 s2=n1ns12+x1−x2+n2ns22+x2−x2 .
1. (2021·江苏泰州·模拟预测) 现有一批疫苗试剂, 拟进入动物试验阶段, 将 1000 只动物平均分成 100 组, 任选一组进行试验. 第一轮注射, 对该组的每只动物都注射一次, 若检验出该组中有 9 只或 10 只动物产生抗体, 说明疫苗有效, 试验终止; 否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射, 再次检验. 如果被二次注射的动物都产生抗体, 说明疫苗有效, 否则需要改进疫苗. 设每只动物是否产生抗体相互独立, 两次注射疫苗互不影响,且产生抗体的概率均为 p0(1) 求该组试验只需第一轮注射的概率 (用含 p 的多项式表示);
（2）记该组动物需要注射次数 X 的数学期望为 EX ,求证: 102. (22-23 高二下. 福建福州. 期末) 某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况, 现有 nn∈N* 份血液样本 (数量足够大),有以下两种检验方式:
方式一: 逐份检验,需要检验 n 次;
方式二: 混合检验,将其中 kk∈N*且k≥2 份血液样本混合检验,若混合血样无抗体,说明这 k 份血液样本全无抗体, 只需检验 1 次; 若混合血样有抗体, 为了明确具体哪份血液样本有抗体, 需要对每份血液样本再分别化验一次,检验总次数为 k+1 次.
假设每份样本的检验结果相互独立,每份样本有抗体的概率均为 p0(1) 现有 7 份不同的血液样本, 其中只有 3 份血液样本有抗体, 采用逐份检验方式, 求恰好经过 4 次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率;
(2) 现取其中 k ( k∈N* 且 k≥2 ) 份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为 ξ1 ; 采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为 ξ2 .
①若 Eξ1=Eξ2 ,求 P 关于 k 的函数关系式 p=fk ;
② 已知 p=1−e−18 ,以检验总次数的期望为依据,讨论采用何种检验方式更好?
参考数据: ln2=0.693,ln25=3.219,ln26=3.258,ln27=3.296,ln28=3.332 .
3. (23-24 高三上. 四川成都. 开学考试) 在三维空间中,立方体的坐标可用三维坐标 a1,a2,a3 表示,其中 ai∈{0,1}1≤i≤3,i∈N . 而在 n 维空间中 n≥2,n∈N ,以单位长度为边长的“立方体”的项点坐标可表示为 n 维坐标 a1,a2,a3,⋯⋯,an ,其中 ai∈{0,1}1≤i≤n,i∈N . 现有如下定义: 在 n 维空间中两点间的曼哈顿距离为两点 a1,a2,a3,⋯⋯,an 与 b1,b2,b3,⋯⋯,bn 坐标差的绝对值之和,即为
a1−b1+a2−b2+a3−b3+⋯⋯+an−bn . 回答下列问题:
(1) 求出 n 维 “立方体”的顶点数;
(2) 在 n 维“立方体”中任取两个不同顶点,记随机变量 X 为所取两点间的曼哈顿距离
①求出 X 的分布列与期望;
②证明: 在 n 足够大时,随机变量 X 的方差小于 0.25n2 .
(已知对于正态分布 X∼Nμ,σ2,P 随 X 变化关系可表示为 φμ,σx=1σ2π⋅e−x−μ22σ2 )
【题型五】竞技比赛型分布列
1. (2023·山西临汾·模拟预测) 魔方, 又叫鲁比可方块, 最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺. 鲁比克教授于 1974 年发明的机械益智玩具. 魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法, 风靡程度经久未衰, 每年都会举办大小赛事, 是最受欢迎的智力游戏之一. 通常意义下的魔方, 是指狭义的三阶魔方. 三阶魔方形状通常是正方体, 由有弹性的硬塑料制成. 常规竞速玩法是将魔方打乱, 然后在最短的时间内复原. 广义的魔方, 指各类可以通过转动打乱和复原的几何体. 魔方与华容道、法国的单身贵族 (独立钻石棋) 并称为智力游戏界的三大不可思议. 在 2018WCA 世界魔方芜湖公开赛上,杜宇生以 3.47 秒的成绩打破了三阶魔方复原的世界纪录, 勇夺世界魔方运动的冠军, 并成为世界上第一个三阶魔方速拧进入 4 秒的选手.
(1)小王和小吴同学比赛三阶魔方,已知小王每局比赛获胜的概率均为 35 ,小吴每局比赛获胜的概率均为 25 , 若采用三局两胜制,两人共进行了 X 局比赛,求 X 的分布列和数学期望;
(2)小王和小吴同学比赛四阶魔方, 首局比赛小吴获胜的概率为 0.5 , 若小王本局胜利, 则他赢得下一局比赛的概率为 0.6 , 若小王本局失败, 则他赢得下一局比赛的概率为 0.5 , 为了赢得比赛, 小王应选择“五局三胜制”还是“三局两胜制”?
2. (2021·山东·模拟预测) 国际比赛赛制常见的有两种, 一种是单败制, 一种是双败制. 单败制即每场比赛的失败者直接淘汰, 常见的有 BO1,BO3 等等. BO1 表示双方进行一局比赛, 获胜者晋级. BO3 表示双方最多进行三局比赛, 若连胜两局, 则直接晋级; 若前两局两人各胜一局, 则需要进行第三局决胜负. 现在 A,B,C,D 四人进行乒乓球比赛,比赛赛制采用单败制, A 与 B 一组, C 与 D 一组,第一轮两组分别进行 BO1 , 胜者晋级,败者淘汰; 第二轮由上轮的胜者进行 BO3 ,胜者为冠军. 已知 A 与 B,C,D 比赛, A 的胜率分别为 23,12,35;B 与 C,D 比赛, B 的胜率分别 12,25;C 与 D 比赛, C 的胜率为 23 . 任意两局比赛之间均相互独立.
(1) 在 C 进入第二轮的前提下,求 A 最终获得冠军的概率;
( 2 ) 记 A 参加比赛获胜的局数为 X ,求 X 的分布列与数学期望.
3. (23.24 高三下·浙江·开学考试) 甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛, 约定赛制如下: 每场比赛胜者积 2 分, 负者积 0 分; 比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人, 另一人轮空; 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛, 负者下一场轮空; 积分首先累计到 4 分者获得比赛胜利, 比赛结束. 已知甲与乙比赛时, 甲获胜的概率为 p1 ,甲与丙比赛时,甲获胜的概率为 p2 ,乙与丙比赛时,乙获胜的概率为 p3 .
(1) 若 p1=p2=p3=0.5 ,求比赛结束时,三人总积分 X 的分布列与期望;
(2) 若 p1+p3>1 ,假设乙获得了指定首次比赛选手的权利,为获得比赛的胜利,试分析乙的最优指定策略.
【题型六】多人比赛竞技型分布列
》》》 解法指导
比赛模式, 要考虑:
1. 比赛几局?
2. “谁赢了”;
3. 有没有平局
4. 赢了的必赢最后一局;
5. 比赛为啥结束?
1. (2023·全国·模拟预测) 已知甲、乙、丙三人进行一个项目的比赛. 在一轮比赛中, 每两人之间均进行一场比赛, 且每场比赛均无平局出现, 三场比赛结束后, 若有人赢得两场比赛, 则该人获胜, 比赛结束: 若三人各赢得一场比赛, 则三人继续进行下一轮比赛, 以此类推, 直至有人在其中一轮比赛中赢得两场比赛, 该人获胜,比赛结束. 已知甲胜乙、甲胜丙、乙胜丙的概率分别为 12,13,23
(1) 求恰好在两轮比赛后比赛结束的概率;
(2)设比赛结束时,共进行了 X 轮比赛,且当进行了四轮比赛后仍无人赢得比赛则通过抽签决出胜负,不再进行第五轮比赛,求 X 的分布列及数学期望,
2. (23.24 高三·海南海口·阶段练习) 甲、乙两队举行围棋擂台赛, 比赛规则如下: 两队各出三人参加比赛, 并按 1,2,3 号排定先后出场次序,第一局由双方 1 号队员出场比赛. 每场比赛后,获胜的队员留下继续比赛, 告负的队员淘汰出局, 由该队下一号队员上场比赛. 当某队三名队员都被淘汰出局时比赛结束, 有队员未被淘汰的一方获得擂台赛胜利. 假设各局比赛相互独立,甲队第 m 号队员胜乙队第 n 号队员的概率为下表中第 m 行、第 n 列中的数据.
(1)求甲队 2 号队员把乙队三名队员都淘汰出局的概率;
(2)在第三局比赛中, 甲队和乙队哪个队获胜的可能性更大?说明你的理由.
3. (23.24 高三. 江苏. 开学考试) 第 19 届亚运会将于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 日在中国杭州举办. 中国田径队拟派出甲、乙、丙三人参加男子 100 米比赛. 比赛分为预赛、半决赛和决赛, 只有预赛和半决赛都获得晋级才能进入决赛. 已知甲在预赛和半决赛中晋级的概率均为 34 ; 乙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为 45 和 12 ; 丙在预赛和半决赛中晋级的概率分别为 p 和 32−p ,其中 12(1) 试比较甲、乙、丙三人进入决赛的可能性大小;
(2) 若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为 18 ,求三人中进入决赛的人数 ξ 的分布列和期望.
【题型七】递推数列型
》》》解法指导
马尔可夫链: 若 PXn+1=j∣Xn=i,Xn−1=in−1,⋯,X0=i0=PXn+1=j∣Xn=i=Pij ,即未来状态 Xn+1 只受当前状态 Xn
马尔科夫不等式
设 X 为一个非负随机变量,其数学期望为 EX ,则对任意 ε>0 ,均有 PX≥ε≤EXε ,
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界, 阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.
证明: 当 X 为非负离散型随机变量时,马尔科夫不等式的证明如下:
设 X 的分布列为 PX=xi=pi,i=1,2,⋯,n ,其中 pi∈0,+∞,xi∈[0,+∞)i=1,2,⋯,n,i=1npi=1 ,则对任意 ε>0,PX≥ε=xi≥ε​pi≤xi≥ε​xiεpi=1εxi≥ε​xipi≤1εi=1nxipi=EXε ,其中符号 xi≥ε​Ai 表示对所有满足 xi≥ε 的指标 i 所对应的 Ai 求和. 的影响,与之前的 Xn−1,Xn−2,⋯,X0 无关.
1. (23.24 高三上. 湖北. 期中) 小明进行投篮训练, 已知每次投篮的命中率均为 0.5 .
(1) 若小明共投篮 4 次, 求在投中 2 次的条件下, 第二次没有投中的概率;
(2) 若小明进行两组训练,第一组投篮 3 次,投中 X1 次,第二组投篮 2 次,投中 X2 次,求 EX1−X2 ; (3) 记 Pi 表示小明投篮 ii=2,3,⋯ 次,恰有 2 次投中的概率,记 XX=2,3,⋯,n 表示小明在投篮不超过 n 次的情况下,当他投中 2 次后停止投篮,此时一共投篮的次数 (当投篮 n 次后,若投中的次数不足 2 次也不再继续投),证明: EX≥2i=2n+2Pi .
2. (2022 高三. 全国. 专题练习) 投掷一枚硬币 (正反等可能),设投掷 n 次不连续出现三次正面向上的概率为 Pn .
(1) 求 P1,P2,P3 和 P4 ;
(2)写出 Pn 的递推公式,并指出增减性.
3. (20.21 高三. 福建福州. 期中) 一只蚂蚁从正方形 ABCD 的顶点 A 出发,每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点,其中顺时针的概率为 13 ,逆时针的概率为 23 ,设蚂蚁经过 n 步回到 A 点的概率为 pn .
( 1 ) 求 p1,p2 ;
( 2 ) 设经过 n 步到达 C 点的概率为 qn ,求 pn+qn 的值;
( 3 ) 求 pn .
【题型八】三人传球递推数列型
》》》解法指导
多人比赛或者传球模型, 一般情况下涉及到独立事件与互斥事件的识别, 及概率运算, 离散型随机变量的分布列和期望, 如果符合常见的二项分布, 超几何分布等等分布, 直接用概率公式进行运算。如果限制条件较多, 可以进行罗列方式进行分类讨论计算
1. (22.23 高三 . 江苏. ) 第 22 届世界杯于 2022 年 11 月 21 日到 12 月 18 日在卡塔尔举办. 在决赛中, 阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军.
(1)扑点球的难度一般比较大, 假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门, 门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有 23 的可能性扑不到球. 不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数 X 的分布列和期望;
(2) 好成绩的取得离不开平时的努力训练, 甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中, 球从甲脚下开始,
等可能地随机传向另外 2 人中的 1 人, 接球者接到球后再等可能地随机传向另外 2 人中的 1 人, 如此不停地传下去,假设传出的球都能接住. 记第 n 次传球之前球在甲脚下的概率为 pn ,易知 p1=1,p2=0 .
① 试证明: pn−13 为等比数列;
② 设第 n 次传球之前球在乙脚下的概率为 qn ,比较 p10 与 q10 的大小.
2. (22.23 高三山东潍坊. 阶段练习 ) 学校篮球队 30 名同学按照 1, 2, ..., 30 号站成一列做传球投篮练习, 篮球首先由 1 号传出,训练规则要求: 第 m1≤m≤28,m∈N 号同学得到球后传给 m+1 号同学的概率为 23 , 传给 m+2 号同学的概率为 13 ,直到传到第 29 号 (投篮练习) 或第 30 号 (投篮练习) 时,认定一轮训练结束,已知 29 号同学投篮命中的概率为 13,30 号同学投篮命中的概率为 67 ,设传球传到第 n2≤n≤30,n∈N 号的概率为 Pn .
(1) 求 P4 的值;
(2) 证明: Pn+1−Pn2≤n≤28 是等比数列;
(3) 比较 29 号和 30 号投篮命中的概率大小.
3. (22.23 高三 ⋅ 广东. 阶段练习 ) 足球是一项大众喜爱的运动.2022 卡塔尔世界杯揭幕战将在 2022 年 11 月
21 日打响, 决赛定于 12 月 18 日晚进行, 全程为期 28 天.
(1)为了解喜爱足球运动是否与性别有关,随机抽取了男性和女性各 100 名观众进行调查,得到 2×2 列联表如下:
依据小概率值 a=0.001 的独立性检验,能否认为喜爱足球运动与性别有关?
(2)校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练, 第 1 次由甲将球传出, 每次传球时, 传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人, 如此不停地传下去, 且假定每次传球都能被接到. 记开始传
球的人为第 1 次触球者,第 n 次触球者是甲的概率记为 Pn ,即 P1=1 .
(i) 求 P3 (直接写出结果即可);
(ii) 证明: 数列 Pn−14 为等比数列,并判断第 19 次与第 20 次触球者是甲的概率的大小.
【题型九】导数计算型分布列最值
1. ( 22-23 高三浙江 ) 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗. 该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染,现有 n 只白鼠,每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 12 ,被感染的白鼠数用随机变量 X 表示,假设每只白鼠是否被感染之间相互独立
(1) 若 PX=5=PX=95 ,求数学期望 EX ;
(2) 接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 p ,现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 p 与参数 θ0<θ<1 的取值有关. 团队 A 提出函数模型为 p=ln1+θ−23θ2 ,团队 B 提出函数模型为 p=121−e−θ . 现将 100 只接种疫苗后的白鼠分成 10 组,每组 10 只,进行实验,随机变量 Xii=1,2,⋯,10 表示第 i 组被感染的白鼠数,将随机变量 Xii=1,2,⋯,10 的实验结果 xii=1,2,⋯,10 绘制成频数分布图,如图所示.
(i) 试写出事件 “ X1=x1,X2=x2,⋯,X10=x10 ”发生的概率表达式 (用 D 表示,组合数不必计算);
(ii) 在统计学中,若参数 θ=θ0 时使得概率 PX1=x1,X2=x2,⋯,X10=x10 最大,称 θ0 是 θ 的最大似然估计. 根据这一原理和团队 A,B 提出的函数模型,判断哪个团队的函数模型可以求出 θ 的最大似然估计,并求出最大似然估计. 参考数据: ln32≈0.4055 .
2. (22-23 高三·福建福州 ) 某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况,现有 nn∈N* 份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式:
方式一: 逐份检验,需要检验 n 次;
方式二: 混合检验,将其中 kk∈N*且k≥2 份血液样本混合检验,若混合血样无抗体,说明这 k 份血液样本全无抗体, 只需检验 1 次; 若混合血样有抗体, 为了明确具体哪份血液样本有抗体, 需要对每份血液样本再分别化验一次,检验总次数为 k+1 次.
假设每份样本的检验结果相互独立,每份样本有抗体的概率均为 p0(1) 现有 7 份不同的血液样本, 其中只有 3 份血液样本有抗体, 采用逐份检验方式, 求恰好经过 4 次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率;
(2) 现取其中 k ( k∈N* 且 k≥2 ) 份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为 ξ1 ; 采用混
合检验方式,样本需要检验的总次数为 ξ2 .
①若 Eξ1=Eξ2 ,求 P 关于 k 的函数关系式 p=fk ;
②已知 p=1−e−18 ,以检验总次数的期望为依据,讨论采用何种检验方式更好?
参考数据: ln2=0.693,ln25=3.219,ln26=3.258,ln27=3.296,ln28=3.332 .
3. (20-21 高三 ⋅ 重庆沙坪坝·阶段练习 ) 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染,现有 n 只白鼠,每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 12 ,被感染的白鼠数用随机变量 X 表示,假设每只白鼠是否被感染之间相互独立.
( 1 ) 若 PX=3=PX=97 ,求数学期望 EX ;
（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 P ,现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 P 与参数 θ0<θ<1 的取值有关. 团队 A 提出函数模型为 p=ln1+θ−23θ ,团队 B 提出函数模型为 p=121−e−θ . 现将白鼠分成 10 组,每组 10 只,进行实验,随机变量 Xii=1,2,⋯,10 表示第 i 组被感染的白鼠数,现将随机变量 Xii=1,2,⋯,10 的实验结果 xii=1,2,⋯,10 绘制成频数分布图,如图所示. 假设每组白鼠是否被感染之间相互独立.
① 试写出事件 “ X1=x1,X2=x2,⋯,X10=x10 ” 发生的概率表达式 (用 p 表示,组合数不必计算);
② 在统计学中,若参数 θ=θ0 时使得概率 PX1=x1,X2=x2,⋯,X10=x10 最大,称 θ0 是 θ 的最大似然估计. 根据这一原理和团队 A,B 提出的函数模型,判断哪个团队的函数模型可以求出 θ 的最大似然估计,并求出估计值.
参考数据: ln32≈0.4065 .
【题型十】机器人跳棋模式求分布列
1. (江苏省苏州市 2022-2023 学年高三下学期 2 月学业质量调研数学试题) 设数轴上有一只兔子,从坐标 x0=0 开始,每秒以 pp>12 的概率向正方向跳一个单位,以 1−p 的概率向反方向跳一个单位,记兔子第 n 秒时的位置为 xnn=0,1,⋯ .
(1) 证明: Exn≥0 ;
(2) 记 fn 是表达式 12nCnkk=0,1,⋯,n 的最大值,证明: Pxn≥0>1−p2p−1fn .
2. 某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率, 随机抽查了高一年级 100 位学生的某次数学成绩 (单位: 分), 得到如下所示的频率分布直方图:
(1)估计这 100 位学生的数学成绩的平均值 x ; (同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2) 根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩 X 近似地服从正态分布 Nμ,σ2 ,经计算,(1) 中样本的标准差 s 的近似值为 10,用样本平均数 x 作为 μ 的近似值,用样本标准差 s 作为 σ 的估计值,现任抽取一位学生,求他的数学成绩恰在 64 分到 94 分之间的概率; (若随机变量 X∼Nμ,σ2 ,则
Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827, Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545, Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973)
(3)该年级 1 班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习, 提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性, 特意在微信上设计了一个每日作业小程序, 每当学生提交的作业获得优秀时, 就有机会参与一次小程序中” 玩游戏, 得奖励积分”的活动, 开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上有一列方格, 共 15 格, 刚开始有只小兔子在第 1 格, 每点一下游戏的开始按钮, 小兔子就沿着方格跳一下, 每次跳 1 格或跳 2 格,概率均为 12 ,依次点击游戏的开始按钮,直到小兔子跳到第 14 格 (奖励 0 分) 或第 15 格 (奖励 5 分) 时,游戏结束,每天的积分自动累加,设小兔子跳到第 n1≤n≤14 格的概率为 Pn ,试证明 Pn+1−Pn 是等比数列,并求 P15 (获胜的概率) 的值.
江西省景德镇一中 2021-2022 学年数学试题
立体几何
目录
【题型一】等角证明及建系型. ... 5
【题型二】投影型证明与建系.
【题型三】斜棱柱建系法. ... 8
【题型四】翻折型建系求动点. .. 10
【题型五】二面角及其延长线型建系. .. 11
【题型六】最值型 .. 13
【题型七】特殊的几何体. .. 14
题型方法梳理
一、平行证明思路
（1）证线面平行思路：①中位线 (线大于面)
②平行四边形（线小于面）
③作面面平行来证线面平行（频率最高）
④补截面
（2）证面面平行思路：面面平行判定定理.
（3）证线线平行思路: 线面平行性质定理.
二、垂直证明思路
（1）证线面垂直思路：线面垂直判定定理
（2）证线线垂直思路：以其中一线作面，证线面垂直来证线线垂直
（3）证面面垂直思路：从其中一面中选择一线, 证一次线面垂直即可 (选线的原则: ①该线看起来垂直于另一面, ②按照题中所给的垂直找线)
（4）常用两种辅助线做法:
①遇到等腰三角形一定要作中线垂直于底线
②遇到面面垂直, 要找垂直于交线的直线 (没有就作辅助线), 进而用面面垂直性质定理
三、空间向量的应用一求角
1. 求异面直线 a,b 所成的角
已知 a,b 为两异面直线, A,C 与 B,D 分别是 a,b 上的任意两点, a,b 所成的角为 θ ,
则 csθ=cs=AC⋅BDACBD .
① 向量 AC,BD 所成角 的范围是 (0,π] ,而异面直线 AC,BD 所成的角范围是 0,π2 ; ② 与 θ 的关系相等或互补
故 csθ=cs ,不要漏了“绝对值符号”.
2. 求直线 l 和平面 α 所成的角
设直线 l 方向向量为 a ,平面 α 法向量为 n ,直线与平面所成的角为 θ,a 与 n 的夹角为 α ,
则 θ 为 α 的余角或 α 的补角的余角,即有 sinθ=csα=a⋅nan .
当 θ=π2−α 时, sinθ=csα ; 当 θ=α−π2 时, sinθ=−csα ;
不管哪种情况,都有 sinθ=csα .
3. 求平面 α 与平面 β 的夹角
(1) 二面角的平面角是指在二面角 α−l−β 的棱上任取一点 O ,分别在两个半平面内作射线
AO⊥l,BO⊥l ,则 ∠AOB 为二面角 α−l−β 的平面角,二面角的取值范围是 0,π . 如图:
（2）平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于90 ​ 的二面角称为平面α与平面β 的夹角.
（3）空间向量求平面 α 与平面 β 的夹角
求法: 设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 m,n ,
再设 m,n 的夹角为 φ ,平面 α 与平面 β 的平面角为 θ ,则 θ 为 φ 或 π−φ ,
则 csθ=csφ=m⋅nmn=m⋅nmn .
四、空间向量的应用一求距离
(1)点 A、B 间的距离
AB=AB=x1−x22+y1−y22.
(2)点 Q 到直线 l 距离
若 Q 为直线 l 外的一点, P 在直线上, a 为直线 l 的方向向量, b=PQ ,
则点 Q 到直线 l 距离为 d=1aab2−a⋅b2 .
如图, d=bsinθ=b1−cs2θ=b1−a⋅bab2=1aab2−a⋅b2 .
(3)点 Q 到平面 α 的距离
若点Q为平面α外一点，点M为平面α内任一点，平面α的法向量为 n ，则Q到平面α的距离就等于 MQ 在法向量 n 方向上的投影的绝对值,即 d=n⋅MQn .
如图, d=MQsinα=MQcs⟨n,MQ⟩=MQ⋅n⋅MQnMQ=n⋅MQn .
(4)直线 a 平面 α 之间的距离
当一条直线和一个平面平行时, 直线上的各点到平面的距离相等. 由此可知, 直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离, 即转化为点面距离.
(5)利用两平行平面间的距离处处相等, 可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.
【题型一】等角证明及建系型
》》》 解法指导
向量角度:
a=x1,y1,z1,b=x2,y2,z2,cs⟨a,b⟩=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22
角度公式:
（1）、异面直线夹角（平移角,也是锐角和直角 θ∈0,π2),a,b 分别是两直线的方向向量
csθ=cs⟨a,b⟩=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22
（2）、直线与平面所成的角（射影角，也是夹角, θ∈0,π2 ）, a,b 分别是直线的方向向量与平面的法向量
sinθ=cs⟨a,b⟩=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22
（3）、二面角（法向量的方向角， θ∈0,π ） a,b 分别是两平面的法向量
csθ=cs⟨a,b⟩=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22
1. (2023 上·山东·高三校联考阶段练习) 如图,在四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是正方形,
∠B1BD=π3,∠B1BA=∠B1BC,AB=2A1B1=2,BB1=22.
(1) 求证: 直线 AC⊥ 平面 BDB1 ;
(2) 求二面角 A1−BC−D 的余弦值.
2. (223 浙江宁波·浙江省宁波市鄞州中学校考模拟预测) 如图,在四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是菱形, ∠ABC=π3,∠B1BA=∠B1BC,∠B1BD=π6,AB=2A1B1=2,B1B=2,E 是 CD 的中点.
（1）求证: 直线 AC⊥ 平面 BDD1B1 ;
（2）求直线 ED1 与平面 ABB1A1 所成角的正弦值.
3. (2024 郑州一质检) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 为平行四边形, EF // 平面 BC , △EAB 为等边三角形, BC=CE=2AB=2EF,∠ABC=60∘ .
(1) 求证: 平面 EAB⊥ 平面 ABCD ;
(2) 求平面 ECD 与平面 FCD 夹角的余弦值.
【题型二】投影型证明与建系
1. (2023·全国·高二专题练习) 如图,在三棱锥 P−ABC 中, AB=AC,D 为 BC 的中点, PO⊥ 平面 ABC , 垂足 O 落在线段 AD 上. 已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 .
(1)证明: AP⊥BC ;
(2)若点 M 是线段 AP 上一点,且 AM=3 ,试证明 AM⊥ 平面 BMC .
2. (2023·贵州贵阳·高二贵阳一中校考阶段练习) 如图,在三棱锥 D−ABC 中, O 是点 D 在平面 ABC 上的投影, DA=DB,AB⊥AC,M 是 BD 的中点.
(1)证明: OM// 平面 DAC ;
(2)若 O 点正好落在 ∠ABC 的内角平分线上, DO=3,DA=5,AB=43 ,求二面角 B−AM−C 的正弦值.
3. (23-24 高三·黑龙江·阶段练习) 已知: 斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中, BB1⊥AC,AA1 与面 ABC 所成角正切值为 2,AA1=5,AB=BC=22AC=22 ,点 E 为棱 A1C1 的中点,且点 E 向平面 ABC 所作投影在 △ABC 内.
(1) 求证: AC⊥EB ;
(2) F 为棱 AA1 上一点,且二面角 A−BC−F 为 30∘ ,求 AFAA1 的值.
【题型三】斜棱柱建系法
1. (2023·河南南阳·南阳中学校考三模) 如图, 在四棱锥 P−ABCD 中,平面 PCD⊥ 平面 ABCD ,四边形 ABCD 是梯形, AB//CD,AB⊥AD,E,F 分别是棱 BC,PA 的中点.
(1)证明: EF∥ 平面 PCD .
(2) 若 PC=3PD=3CD=3AD=23AB ,求直线 EF 与平面 PAD 所成角的正弦值.
2. (2023·贵州毕节·校考模拟预测) 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中,侧面 ACC1A1 是矩形,
AC⊥AB,AB=AA1=2,AC=3,∠A1AB=120∘,E,F 分别为棱 A1B1,BC 的中点, G 为线段 CF 的中点.
(1)证明: A1G// 平面 AEF .
(2) 求二面角 A−EF−B 的正弦值.
3. (2023·全国·高三专题练习) 在底面 ABCD 为梯形的多面体中. AB//CD,BC⊥CD,AB=2CD=22 , ∠CBD=45∘,BC=AE=DE ,且四边形 BDEN 为矩形.
(1) 求证: BD⊥AE ;
(2)线段 EN 上是否存在点 Q ,使得直线 BE 与平面 QAD 所成的角为 60∘ ? 若不存在,请说明理由. 若存在, 确定点 Q 的位置并加以证明.
【题型四】翻折型建系求动点
1. (2024·山西运城·一模) 如图,在矩形纸片 ABCD 中, AB=4,BC=2 ,沿 AC 将 △ADC 折起,使点 D 到达点 P 的位置,点 P 在平面 ABC 的射影 H 落在边 AB 上.
(1) 求 AH 的长度;
(2) 若 M 是边 PC 上的一个动点,是否存在点 M ,使得平面 AMB 与平面 PBC 的夹角余弦值为 34 ? 若存在, 求 CM 的长度; 若不存在,说明理由.
2. (2024·黑龙江哈尔滨·一模) 如图 1,在平行四边形 ABCD 中, D=60∘,DC=2AD=2 ,将 △ADC 沿 AC 折起,使点 D 到达点 P 位置,且 PC⊥BC ,连接 PB 得三棱锥 P−ABC ,如图 2.
(1) 证明: 平面 PAB⊥ 平面 ABC ;
(2) 在线段 PC 上是否存在点 M ,使平面 AMB 与平面 MBC 的夹角的余弦值为 58 ,若存在,求出 PMPC 的值, 若不存在, 请说明理由.
3. (2023·全国·模拟预测) 如图①所示,在 △ABC 中, AB=4,BC=2,∠B=π3,DE 垂直平分 AB . 现将 △ADE 沿 DE 折起,使得二面角 A−DE−B 的大小为 π3 ,得到如图②所示的四棱锥 P−BCED .
图①
图②
(1) 求证: 平面 PBD⊥ 平面 BCED ;
(2) 若 Q 为 PE 上一动点,且 PQ=λPE0<λ<1 ,当锐二面角 B−DQ−E 的余弦值为 25 时,求四棱锥 Q−BCED 的体积.
【题型五】二面角及其延长线型建系
1. (2023·辽宁大连·统考一模) 如图,平面五边形 ABCDE 中, △ADE 是边长为 2 的等边三角形, CD//AE ,
CD=AE,∠BAD=∠ABC=π2 ,将 △ADE 沿 AD 翻折,使点 E 翻折到点 P .
(1)证明: PC⊥BC ;
(2) 若 PC=3 ,求二面角 P−AD−B 的大小,以及直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值.
2. (2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测) 如图,已知菱形 ABCD 中, AB=4,∠BAD=60∘ ,点 E 为边 CD 的中点,沿 BE 将 △CBE 折起,得到 △PBE 且二面角 P−BE−A 的大小为 120∘ ,点 F 在棱 PA 上, PE// 平面 BDF .
(1) 求 AFFP 的值; (2) 求二面角 A−FD−B 的余弦值.
3. (2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测) 已知直角梯形形状如下,其中 AB⊥AD,DC=2AB=6AE,AB=6 , AD=2 .
(1) 在线段 CD 上找出点 F ,将四边形 ADFE 沿 EF 翻折,形成几何体 A′BE−D′CF . 若无论二面角 A′−EF−B 多大,都能够使得几何体 A′BE−D′CF 为棱台,请指出点 F 的具体位置 (无需给出证明过程).
(2) 在 ( 1 ) 的条件下,若二面角 A′−EF−B 为直二面角,求棱台 A′BE−D′CF 的体积,并求出此时二面角 B−A′D′−E 的余弦值.
【题型六】最值型
1. (2023 春·山西·高一统考期末) 如图,在四棱锥 M−ABCD 中, AD//BC,AC⊥CD,BC=2AD,△MAD 为等边三角形,平面 MAD⊥ 平面 ABCD ,点 N 在棱 MD 上,直线 MB// 平面 ACN .
(1)证明: MN=2ND .
(2) 设二面角 M−AC−D 的平面角为 α ,直线 CN 与平面 ABCD 所成的角为 θ ,若 tanα 的取值范围是 3,33 , 求 tanθ 的取值范围.
2. (23-24 高三下·河北张家口·开学考试) 如图,在矩形 ABCD 中, AB=2,AD=2 . 沿对角线 BD 折起, 形成一个四面体 A−BCD ,且 AC=m .
(1)是否存在 m ,使得 AB⊥CD,AD⊥BC 同时成立? 若存在,求出 m 的值; 若不存在,请说明理由.
(2) 求当二面角 A−CD−B 的正弦值为多少时,四面体 A−BCD 的体积最大.
3. (2023 春·江苏扬州·高三统考) 如图, 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中,底面是边长为 2 的等边三角形, CC1=2,D,E 分别是线段 AC,CC1 的中点, C1 在平面 ABC 内的射影为 D .
(1) 求证: A1C⊥ 平面 BDE ;
(2) 若点 F 为棱 B1C1 的中点,求点 F 到平面 BDE 的距离;
(3) 若点 F 为线段 B1C1 上的动点 (不包括端点),求锐二面角 F−BD−E 的余弦值的取值范围.
【题型七】特殊的几何体
1. (2024·贵州·三模) 如图,在正四棱锥 P−ABCD 中, AC∩BD=O,PF=12AD,PE=12DC ,已知 AB=2 , PC=3 ,其中 G,H 分别为 BC,CD 的中点.
(1)证明: EG//FH ;
(2) 求二面角 E−PC−F 的正弦值.
2. (2024·全国·模拟预测) 如图,正方体 ABCD−EFGH 的棱长为 2,在正方形 ABFE 的内切圆上任取一点 P1 , 在正方形 BCGF 的内切圆上任取一点 P2 ,在正方形 EFGH 的内切圆上任取一点 P3 .
(1) 若 P1,P2,P3 分别是棱 AB,GC,HG 的中点,,求棱 AE 和平面 P1P2P3 所成角的余弦值;
(2) 求 P1P2+P2P3+P3P1 的最小值与最大值.
3. (2024·湖南·二模) 如图所示,半圆柱的轴截面为平面 BCC1B1,BC 是圆柱底面的直径, O 为底面圆心,
AA1 为一条母线, E 为 CC1 的中点,且 AB=AC=AA1=4 .
(1) 求证: OE⊥AB1 ;
(2) 求平面 AB1E 与平面 B1OE 夹角的余弦值.
目录
【题型一】轨迹 .. 10
【题型二】新结构卷中 19 题“定义”型轨迹 .. 11
【题型三】直线所过定点不在坐标轴上. .. 12
【题型四】面积比值范围型. .. 13
【题型五】非常规型四边形面积最值型. .. 15
【题型六】“三定”型: 圆过定点 .. 16
【题型七】“三定”型: 斜率和定. .. 17
【题型八】“三定”型: 斜率积定. .. 18
【题型九】圆锥曲线切线型.. .. 19
【题型十】“韦达定理”不能直接用. ... 21
【题型十一】“非韦达”型: 点带入型 ... 22
圆锥曲线
题型方法梳理
一、圆锥曲线大题基本步骤
第一步: 设点设线
1. 设线与设点的选择标准
2. 正设直线与反设直线
第二步: 题目信息转化为坐标
在“第一步准备”完成后，掌握“第二部转化”中常规问题的转化:
1. 弦长 AB=1+k2x1−x2=1+k2x1+x22−4x1x2 ;
AB=1+1k2y1−y2=1+1k2y1+y22−4y1y2.
2. 当直线 l 过焦点 Fc,0 时, S△OAB=12cy1−y2 ;
当直线 l 过焦点 F0,c 时, S△OAB=12cx1−x2 .
3. 若弦 AB 中点 Mx0,y0 ,则 x0=x1+x22y0=kx0+m (求 y0 不需再消元); 若 AB 过定点 C ,则 kAB=kMC 可加以利用.
4. 以 AB 为直径的圆过点 O⇔OA⊥OB⇔OA⋅OB=0⇔x1x2+y1y2=0
⇔x1x2+kx1+mkx2+m=0.
⇔1+k2x1x2+kmx1+x2+m2=0.
① ∠AOB 为钝角 ⇔OA⋅OB<0 ; ② ∠AOB 为锐角 ⇔OA⋅OB>0 .
【上面的点 O 也可以是其它的定点 (如焦点 F−c,0 ),转化类似. 】
5. 弦 AB 的垂直平分线经过点 Cp,q⇔AC=BC⇔x1−p2+y1−q2=x2−p2+y2−q2
或设弦 AB 的中点为 Mx0,y0 ,则弦 AB 的垂直平分线经过点 Cp,q⇔CM⊥AB⇔kCM⋅kAB=−1 .
弦 AB 的垂直平分线经过点 Cp,q ,设出弦 AB 的中点坐标 x0,y0 后,还可以用点差法.
6. A,B 两点关于直线 y=px+q 对称(或弦 AB 的垂直平分线为直线 y=px+q )
7. 证明动弦 AB 的斜率为定值,这个定值实际上是将 AB 平移到与圆锥曲线相切时切线的斜率.
8. 证明A、B、C、D四点共圆，①考虑证对角互补；②找到一点，证明它到A、B、C、D四点距离相等.
第三步: 坐标到韦达
1. 韦达化处理一: 代换一一即消去 x 或 y 中的一个 用直线换 (椭圆、双曲线、抛物线)用曲线换 (抛物线)
2. 韦达化处理二: 配凑
配凑法进行韦达化处理,一个经典案例就是弦长中的 x1−x2=x1+x22−4x1x2 . 对于前述坐标化后的部分式子, 也需要作配凑处理:
( 1 ) x1−22+y12=x2−22+y22⇒x1+x2−4=y2−y1y1+y2x1−x2 ,即 x1+x2−4=−ky1+y2 ,其中 k 为直线 AB 斜率, y1+y2 再用直线代换,即 y1+y2=kx1+m+kx2+m=kx1+x2+2m ,得 x1+x2−4=−kkx1+x2+2m .
( 2 ) y12+y22⇒y1+y22−2y1y2 .
( 3) x1−2x2−2+y1y2=0⇒x1x2−2x1+x2+y1y2+4=0 ,此处 y1y2 考虑直线代换,
y1y2=kx1+m⋅kx2+m=k2x1x2+mkx1+x2+m2 ,再代入上式即可得 k2+1x1x2+mk−2x1+x2+m2+4=0 .
( 4 ) y1x1−2+y2x2−2=−1⇒y1x2−2+y2x1−2=−x1−2x2−2 ,
而 y1y2=k2x1x2+mkx1+x2+m2 ,整理得 2k+1x1x2−2k−m+2x1+x2−4m+1=0 .
(5) y1y2=−2⇒ 此形式可以配凑倒数关系, y2y1=−12 ,故 y1y2+y2y1=y12+y22y1y2 ,
配凑可得 y1y2+y2y1=y1+y22−2y1y2y2=−52 .
3. 韦达化处理三: 利用韦达定理构造“和积消去”型
此外,在一些定点、定值、定线问题中,还常出现需要证明类似 y2−2x1y1+2x2 为定值的情形,通过直线代换可得: y2−2x1y1+2x2=kx2+2x1kx1+6x2=kx1x2+2x1kx1x2+6x2 ,但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式,这种式子一般称为“非对称韦达定理”.
我们明明求了韦达定理却无法代入,这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到 x1+x2 和 x1⋅x2 之间的关系, 将其中一个替换, 常用手段是把乘法的替换成加法.
第四步: 联立直线与曲线, 得坐标与参数关系
由方程 y=kx+m,Fx,y=0. 消去 y ,得 Fx,kx+m=0 ; 整理得 ax2+bx+c=0a≠0 ,
则 x1+x2=−ba, 如需要可求弦中点坐标x1x2=ca, 知道一根可求另一根, 这三个式子有时不需要全写出来.Δ>0. 确定有交点或参数的取值范围
二、面积问题
1. 面积问题的解决策略
( 1 )面积公式的选择: 常用的面积公式是 S=12a⋅ha ,寻底找高,一般需要求出底与高的长度,用到两个公
式: 弦长公式和点到直线的距离公式.
（2）面积的分割: 一种常见的分割是
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC⋅yA−yB
2. 相关公式
（1）弦长公式的两种形式
①若 A,B 是直线 y=kx+m 与圆锥曲线的两个交点,且由两方程消去 y 后得到一元二次方程 px2+qx+r=0 ,则 PQ=1+k2⋅x1−x2=1+k2⋅Δp .
②若 A,B 是直线 x=my+n 与圆锥曲线的两个交点,且由两方程消去 x 后得到一元二次方程 py2+qy+r=0 ,则 AB=1+m2yA−yB=1+m2⋅Δp
（2）三角形面积的三种常用形式
① S=12a⋅ha .
② S=12a⋅bsinC .
③设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,则 S△AOB=12x1y2−x2y1 . (三角形的坐标面积公式)
证明: S△AOB=12OA⋅OBsin∠AOB
=12OAOB1−cs2∠AOB
=12OAOB∣2−OA⋅OB2
=12x12+y12x22+y22−x1x2+y1y22
=12x1y2−x2y1
（3）四边形面积公式
设四边形的两条对角线长度为 m,n ,夹角为 θ ,则四边形面积 S=12mnsinθ . 特别地,当两对角线
互相垂直时,有 S=12mn .
三、最值与范围问题
(1)基本不等式法
(2)导数法
(3)判别式法
(4)换元法
(5)配方法
(6)三角函数有界性
(7)函数单调性
四、节选最值与范围问题实战
1.2b2=4k2+3 ,求 l=23−b2k2+1 的最大值. 答案: 6
2. S△ABC=12×61−y024⋅94y0y0∈−2,2 ,求 S△ABC 的最大值. 答案: 274
3. λ=18tt2+276tt2+3t≠0 ,求 λ 的取值范围. 答案: 13,3
4. fk=−16k2+124k2+3+8434k2+3 ,求 fk 的最小值. 答案: 22
5. fk=k1+4k24+k2 ,求 fk 的最大值. 答案: 15
6. S△TBCS△TEF=t2+36t2+4t2+122t≠0 ,求 S△TBCS△TEF 的最大值. 答案: 43
7. S=721+k223k2+44k2+3 ,求 S 的取值范围. 答案: 28849,6
8. S=k2+122k2+1k2+2k≠0 ,求 S 的取值范围. 答案: 23,22
9.T=12⋅16⋅m2+416+m22 ,求 T 的最大值. 答案: 4
10. k1k2=−14 ,求 OP2⋅OQ2=41+4k12+4k121+4k12⋅41+4k22+4k221+4k22 的最大值. 答案: 254
11. PB⋅PM=−m,3⋅−m3+12mm2+4,m2+12m2m≠0,求PB⋅PM 的取值范围. 答案: 9,+∞
12. fk=1+k21+1k215+k2415+14k2 ,求 fk 的最小值. 答案: 160081
13. 已知 x024+y02=1 ,求 PB⋅PM=x0y0+1x0+x0y0+1+3y0+2 的取值范围. 答案: 9,+∞ .
五、定点问题
1. 对直线过定点的理解
如: ① 直线 y−2=kx−1 恒过定点 1,2 ;
② 对于直线 l:y=kx+m ,若 m=−2k ,则直线方程为 y=kx−2 ,显然 l 过定点 2,0 ;
③无论 k 取任何实数,直线 2k+3x+k−1y−4k+1=0 必经过一个定点,则这个定点的坐标为___.
【解析】直线 2k+3x+k−1y−4k+1=0 可化为 k2x+y−4+3x−y−1=0 ,
令 2x+y−4=03x−y−1=0⇒x=1y=2 ,故定点坐标为 1,2 .
2. 直线过定点问题的基本解法
方法 1: 设线法, 用两个参数表示直线方程, 一般步骤为:
①设直线方程为 y=kx+m (或 x=ny+t ),联立直线与圆锥曲线方程,得出根与系数的关系;
② 结合韦达定理和已知条件,得到 k、b 或 m、t 的关系,或者解出 b、t 的值;
③将②的结果代入 y=kx+m (或 x=ny+t ),得到定点坐标.
方法 2: 解点法, 用一个参数表示直线方程, 一般步骤为:
① 引进参数,根据已知条件,求出直线上两个点 A,B 的坐标(含参);
②特殊位置入手,找到定点 P (有时可考虑对称性);
③证明 A,B,P 三点共线,从而直线 AB 过定点 P . (其中一个方法是证明 PA//PB )
3. 定点问题的常见类型
（1）由斜率关系求定点
（2）由倾斜角关系求定点
（3）圆过定点
（4）相交弦过定点
( 5 ) 切点弦过定点
4. 切线方程及切点弦方程 (圆锥曲线的极点与极线) :
当点 Px0,y0 在二次曲线上时,过点 Px0,y0 可作一条切线,若点 Px0,y0 为切点,则切线方程如下:
(替换规则: x2→x0x,y2→y0y,x→x0+x2,y→y0+y2 )
① 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ,则切线只有一条,共方程是 x0x+y0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0 ;
②椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,则切线方程是 x0xa2+y0yb2=1 ;
③双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ,则切线方程是 x0xa2−y0yb2=1 ;
④ 抛物线 y2=2px ,则切线方程是 y0y=px0+x .
若点 Px0,y0 不在二次曲线上时,且过点 Px0,y0 可作两条切线,可得切点弦所在直线方程:
① 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的切点弦方程为 x0x+y0y+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0 ;
②椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的切点弦方程是 x0xa2+y0yb2=1 ;
③双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的切点弦方程是 x0xa2−y0yb2=1 ;
④ 抛物线 y2=2px 的切点弦方程是 y0y=px0+x .
六、定值问题
1. 定值问题的解法
(1) 常规解法: 选定参数, 求出题目所需的代数表达式, 然后对表达式进行计算、化简、消参, 从而得到定值. 步骤为: 一选 (选好参数) 、二求(化简消参) 、三定值 (得到定值).
（2）特殊解法: 曲线系法, 仿射变换法等.
2. 定值问题的处理技巧
（1）思路：可从特殊情况入手 (如直线斜率不存在时 ), 求出定值, 再证明这个值与变量无关;
（2）运算: 在运算过程中, 应尽量减少所求表达式中变量的个数, 以利于向目标靠拢.
3. 三个定值模型
（1）圆锥曲线定义相关的定值
（2）圆锥曲线垂径定理
（3）椭圆的共轭直径性质
4. 八类常见的定值问题
( 1 ) 斜率为定值
（2）斜率之和（积）为定值
（3）斜率之比为定值
( 4 ) 角度为定值
( 5 ) 距离为定值
( 6 ) 面积为定值
（7）数量积为定值
（8）系数和为定值
【题型一】轨迹
》》》 解法指导
求轨迹方程的常见方法有:
（1）直译法：直接将条件翻译成等式, 整理化简后即得动点的轨迹方程;
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义, 则可利用曲线的定义写出方程;
（3）相关点法: 用动点 Q 的坐标 x、y 表示相关点 P 的坐标 x0、y0 ,然后代入点 P 的坐标 x0,y0 所满足的曲线方程,整理化简可得出动点 Q 的轨迹方程;
(4) 参数法: 当动点坐标 x、y 之间的直接关系难以找到时,往往先寻找 x、y 与某一参数 t 得到方程, 即为动点的轨迹方程;
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去, 得到不含参数的方程, 即为两动曲线交点的轨迹方程.
1. (2024. 重庆. 模拟预测) 已知点 F−1,0 和直线 m:x=2 ,点 P 到 m 的距离 d=4−2PF .
(1) 求点 P 的轨迹方程;
(2) 不经过圆点 O 的直线 l 与点 P 的轨迹交于 A,B 两点. 设直线 OA,OB 的斜率分别为 k1,k2 ,记 k1k2=t , 是否存在 t 值使得 △OAB 的面积为定值,若存在,求出 t 的值; 若不存在,说明理由.
2. (2024·辽宁.一模) 已知平面上一动点 P 到定点 F12,0 的距离比到定直线 x=−2023 的距离小 40452 ,记动点 P 的轨迹为曲线 C .
(1) 求 C 的方程;
(2)点 A2,1,M,N 为 C 上的两个动点,若 M,N,B 恰好为平行四边形 MANB 的其中三个顶点,且该平行四边形对角线的交点在第一、三象限的角平分线上,记平行四边形 MANB 的面积为 S ,求证: S≤869 .
3. (2024. 山东淄博. 一模) 在平面直角坐标系 xOy 中,点. F5,0 ,点 Px,y 是平面内的动点. 若以 PF 为直径的圆与圆 D:x2+y2=1 相切,记点 P 的轨迹为曲线 C .
(1) 求 C 的方程;
(2)设点 A1,0,M0,t,N0,4−tt≠2 ,直线 AM,AN 分别与曲线 C 交于点 S,T(S,T 异于 A ),过点 A 作 AH⊥ST ,垂足为 H ,求 OH 的最大值.
【题型二】新结构卷中 19 题“定义”型轨迹
1. (2024. 新疆乌鲁木齐. 二模) 在平面直角坐标系 xOy 中,重新定义两点 Ax1,y1,Bx2,y2 之间的“距离”为 AB=x2−x1+y2−y1 ,我们把到两定点 F1−c,0,F2c,0c>0 的“距离”之和为常数 2aa>c 的点的轨迹叫“椭圆”.
(1) 求“椭圆”的方程;
(2)根据“椭圆”的方程, 研究“椭圆”的范围、对称性, 并说明理由;
(3) 设 c=1,a=2 ,作出 “椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为 C,C 的左顶点为 A ,过 F2 作直线交 C 于 M,N 两点, △AMN 的外心为 Q ,求证: 直线 OQ 与 MN 的斜率之积为定值.
2. (2024·湖南·二模) 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体,例如 x=ty+1 表示过点 1,0 的直线,直线的包络曲线定义为: 直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线, 且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
(1) 若圆 C1:x2+y2=1 是直线族 mx+ny=1m,n∈R 的包络曲线,求 m,n 满足的关系式;
(2) 若点 Px0,y0 不在直线族: Ω2a−4x+4y+a−22=0a∈R 的任意一条直线上,求 y0 的取值范围和直线族 Ω 的包络曲线 E ;
(3) 在 (2) 的条件下,过曲线 E 上 A,B 两点作曲线 E 的切线 l1,l2 ,其交点为 P . 已知点 C0,1 ,若 A,B,C 三点不共线,探究 ∠PCA=∠PCB 是否成立? 请说明理由.
3. (2024. 全国. 模拟预测) 已知复平面上的点 Z 对应的复数 z 满足 z2−z2−9=7 ,设点 Z 的运动轨迹为 W . 点 O 对应的数是 0 .
(1) 证明 W 是一个双曲线并求其离心率 e ;
(2) 设 W 的右焦点为 F1 ,其长半轴长为 L ,点 Z 到直线 x=Le 的距离为 d (点 Z 在 W 的右支上),证明: ZF1=ed
(3) 设 W 的两条渐近线分别为 l1,l2 ,过 Z 分别作 l1,l2 的平行线 l3,l4 分别交 l2,l1 于点 P,Q ,则平行四边形 OPZQ 的面积是否是定值? 若是,求该定值; 若不是,说明理由.
【题型三】直线所过定点不在坐标轴上
》》》解法指导
存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在, 推证满足条件的结论, 若结论正确则存在; 若结论不正确则不存在.
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论;
②当给出结论而要推导出存在的条件时, 先假设成立, 再推出条件;
③当条件和结论都不知, 按常规法解题很难时, 可先由特殊情况探究, 再推广到一般情况.
1. 已知点 M 是抛物线 C:x2=2pyp>0 的对称轴与准线的交点,过 M 作抛物线的一条切线,切点为 P ,且满足 PM=22 .
(1) 求抛物线 C 的方程;
(2)过 A−1,1 作斜率为 2 的直线与抛物线 C 相交于点 B ,点 T0,tt>0 ,直线 AT 与 BT 分别交抛物线 C
于点 E,F ,设直线 EF 的斜率为 k ,是否存在常数 λ ,使得 t=λk ? 若存在,求出 λ 值; 若不存在,请说明理由.
2. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的离心率为 233 ,点 P2,3 到其左右焦点 F1,F2 的距离的差为 2 .
(1) 求双曲线 C 的方程;
(2) 在直线 x+2y+t=0 上存在一点 Q ,过 Q 作两条相互垂直的直线均与双曲线 C 相切,求 t 的取值范围.
3. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 上任意一点 Q (异于顶点) 与双曲线两顶点连线的斜率之积为 19,E 在双曲线 C 上, F 为双曲线 C 的右焦点, EF 的最小值为 10−3 .
(1) 求双曲线 C 的标准方程;
(2) 过椭圆 x2m2+y2n2=1m>n>0 上任意一点 P ( P 不在 C 的渐近线上) 分别作平行于双曲线两条渐近线的直线,交两渐近线于 M,N 两点,且 PM2+PN2=5 ,是否存在 m,n 使得椭圆的离心率为 223 ? 若存在, 求出椭圆的方程, 若不存在, 说明理由.
【题型四】面积比值范围型
》》》解法指导
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略:
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系, 从而确定参数的取值范围;
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式, 从而求出参数的取值范围;
( 4 ) 利用已知的不等关系建立不等式, 从而求出参数的取值范围;
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
1. (2022. 全国. 高三专题练习) Fc,0 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点,其中 c∈N* . 点 A、B 分别为椭圆 E 的左、右顶点,圆 F 过点 B 与坐标原点 O,P 是椭圆上异于 A、B 的动点,且 △PBF 的周长小于 8 .
(1) 求 C 的标准方程;
(2) 连接 BP 与圆 F 交于点 Q ,若 OQ 与 AP 交于点 M ,求 S△OPQS△MBQ 的取值范围.
2. (2023 下. 福建福州. 高三校考) 如图,已知圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左顶点 A−2,0 ,过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当直线 l⊥x 轴时, MN=3 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 记 △AMF,△ANF 的面积分别为 S1,S2 ,求 S1S2 的取值范围.
3. (2022. 湖北黄冈. 蕲春县第一高级中学校考模拟预测) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点分别为 A1,A2 ,左、右焦点分别为 F1,F2 ,圆 A2:x−22+y2=r2r>0 ,椭圆 C 与圆 A2 交于点 D ,且 kDA2⋅kDA1=−34 .
(1) 求椭圆方程.
(2) 若过椭圆右焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,与圆 A2 交于 M,N 两点,且 SΔAPQSΔA2MN=3 ,求 r 的取值范围.
【题型五】非常规型四边形面积最值型
》》》 解法指导
求非常规型四边形的面积最大值, 首先要选择合适的面积公式, 对于非常规四边形, 如果使用的面积公式为 SDMEN=12xN−xMy1−y2 ,为此计算 y1−y2, xN−xM 代入转化为 k 的函数求最大值.
1. (2023. 全国. 高三专题练习) 已知圆 O:x2+y2=4,O 为坐标原点,点 K 在圆 O 上运动, L 为过点 K 的圆的切线,以 L 为准线的抛物线恒过点 F1−3,0,F23,0 ,抛物线的焦点为 S ,记焦点 S 的轨迹为 S .
(1) 求 S 的方程;
(2) 过动点 P 的两条直线 l1,l2 均与曲线 S 相切,切点分别为 A,B ,且 l1,l2 的斜率之积为 -1,求四边形 PAOB 面积的取值范围.
2. (2023. 全国. 高三专题练习) 已知 F1,F2 是椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左右焦点,以 F1F2 为直径的圆和椭圆 C 在第一象限的交点为 G ,若三角形 GF1F2 的面积为 1,其内切圆的半径为 2−3 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 已知 A 是椭圆 C 的上顶点,过点 P−2,1 的直线与椭圆 C 交于不同的两点 D,E ,点 D 在第二象限,直线 AD、AE 分别与 x 轴交于 M,N ,求四边形 DMEN 面积的最大值.
3. (2023. 全国. 高三专题练习) 如图. 已知圆 M:x−22+y2=81 ,圆 N:x+22+y2=1 . 动圆 S 与这两个圆均内切.
(1) 求圆心 S 的轨迹 C 的方程;
(2) 若 P2,3、Q2,−3 是曲线 C 上的两点, A、B 是曲线 C 上位于直线 PQ 两侧的动点. 若直线 AB 的斜率为 12 , 求四边形 APBQ 面积的最大值.
【题型六】“三定”型：圆过定点
》》》解法指导
圆过定点思维:
1. 可以根据特殊性, 计算出定点, 然后证明
2. 利用以 “某线段为直径”, 转化为向量垂直计算
2. 利用对称性, 可以猜想出定点, 并证明。
4. 通过推导求出定点 (计算推导难度较大)
1. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右顶点分别为 A,B ,且 AB=4 ,离心率为 12 .
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 设 P 是椭圆 C 上不同于 A,B 的一点,直线 PA,PB 与直线 x=4 分别交于点 M,N . 试判断以 MN 为直径的圆是否过定点, 若过定点, 求出定点坐标; 若不过定点, 请说明理由.
2. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 A0,1 ,且右焦点为 F1,0 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 过点 0,12 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 P,Q ,直线 AP 与 x 轴交于点 M ,直线 AQ 与 x 轴交于点 N ,问以 MN 为直径的圆是否过 y 轴上的定点,若是求出定点坐标,若不是说明理由.
3. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左顶点为 A ,过左焦点 F 的直线与 C 交于 P,Q 两点. 当 PQ⊥x 轴时, PA=10,△PAQ 的面积为 3 .
(1) 求 C 的方程;
(2)证明: 以 PQ 为直径的圆经过定点.
【题型七】“三定”型：斜率和定
》》》解法指导
设抛物线 y2=2pxp>0 ,其上有不同的三点: Px0,y0,Ax1,y1,Bx2,y2x0≠x1≠x2 ,
当 lPA,lPB 的斜率 kPA,kPB 满足:
① kPA+kPB=tt≠0 时, lAB 过定点 x0−2y0t,2pt−y0
② kPA×kPB=tt≠0 时, lAB 过定点 x0−2pt,−y0 或者 y022p−2y0t,−y0
1. 已知点 F 是椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点, P 是椭圆 E 的上顶点, O 为坐标原点且
tan∠PFO=33 .
( 1 ) 求椭圆的离心率 e ;
（2）已知 M1,0,N4,3 ,过点 M 作任意直线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点. 设直线 AN,BN 的斜率分别为 k1,k2 ,若 k1+k2=2 ,求椭圆 E 的方程.
2. 在平面直角坐标系中,已知圆心为点 Q 的动圆恒过点 F1,0 ,且与直线 x=−1 相切,设动圆的圆心 Q 的轨迹为曲线 Γ .
(I) 求曲线 Γ 的方程;
(II) 过点 F 的两条直线 l1、l2 与曲线 Γ 相交于 A、B、C、D 四点,且 M、N 分别为 AB、CD 的中点. 设 l1 与 l2 的斜率依次为 k1、k2 ,若 k1+k2=−1 ,求证: 直线 MN 恒过定点.
3. 已知右焦点为 F1,0 的椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 D1,32 .
（1）求椭圆 C 的方程;
( 2 ) 经过 F 的直线 l 与椭圆 C 分别交于 A、B (不与 D 点重合),直线 DA、DB 分别与 x 轴交于 M、N , 是否存在直线 l ,使得 ∠DMN=∠DNM ? 若存在,求出直线 l 的方程; 若不存在,请说明理由.
【题型八】“三定”型：斜率积定
》》》 解法指导
给定椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 ,与椭圆上定点 Px0,y0 ,过 P 点走两条射线 PA、PB ,与椭圆交与 A 和 B 两点,记直线 PA、PB 的斜率分别为 K1, K2 ,则有
① 若 k1+k2=t ,则直线 AB 过定点 x0−2y0t,−y0−2b2x0a2t
② 若 k1⋅k2=t ,则直线 AB 过定点 2b2x0ta2−b2+x0,−2a2ty0ta2−b2+y0
1. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 经过点 3,12 ,其左焦点为 F1−3,0 .
(1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2)椭圆 C 的右顶点为 A ,若点 P,Q 在椭圆 C 上,且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为 120 ,证明: 直线 PQ 过定点.
2. 已知椭圆 C:x24+y23=1 的左、右顶点分别为 A,B . 直线 l 与 C 相切,且与圆 O:x2+y2=4 交于 M,N 两点, M 在 N 的左侧.
(1) 若直线 l 的斜率 k=12 ,求原点 O 到直线 l 的距离;
(2) 记直线 AM,BN 的斜率分别为 k1,k2 ,证明: k1k2 为定值.
3. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1,a>b>0 的离心率为 32 ,短轴长为 2 .
(1) 求椭圆 E 的方程;
(2)如图,已知 A,B,C 为椭圆 E 上三个不同的点,原点 O 为 △ABC 的重心;
① 如果直线 AB,OC 的斜率都存在,求证: kAB⋅kOC 为定值;
②试判断 △ABC 的面积是否为定值,如果是,求出这个定值; 如果不是,请说明理由.
【题型九】圆锥曲线切线型
》》》解法指导
在利用椭圆 (双曲线) 的切线方程时, 一般利用以下方法进行直线:
( 1) 设切线方程为 y=kx+m 与椭圆方程联立,由 Δ=0 进行求解;
( 2 ) 椭圆 (双曲线) x2a2±y2b2=1 在其上一点 x0,y0 的切线方程为 x0xa2±y0yb2=1 ,再应用此方程时,首先应
证明直线 x0xa2±y0yb2=1 与椭圆 (双曲线) x2a2±y2b2=1 相切.
双曲线 x2a2−y2b2=1 的以 x0,y0 为切点的切线方程为 x0xa2−y0yb2=1 .)
抛物线的切线:
( 1 ) 点 Px0,y0 是抛物线 y2=2mxm≠0 上一点,则抛物线过点 P 的切线方程是: y0y=mx0+x ;
(2) 点 Px0,y0 是抛物线 x2=2mym≠0 上一点,则抛物线过点 P 的切线方程是: x0x=my0+y .
1. 已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 23 ,且经过点 P−3,12 .
(1) 求椭圆 E 的标准方程:
(2) 过椭圆 E 的左焦点 F1 作直线 l 与椭圆 E 相交于 A,B 两点 (点 A 在 x 轴上方),过点 A,B 分别作椭圆的切线,两切线交于点 M ,求 ABMF1 的最大值.
2. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,焦距为 2,C 上一点 P 到 F1,F2 距离之和为 6 .
(1) 求 C 的方程;
(2) 设 C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q ,证明: PF1⋅QF2=PF2⋅QF1 .
3. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父. 他在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论: 一椭圆的任两条互相垂直的切线交点的轨迹是一个圆, 尊称为蒙日圆, 且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心, 半径为该椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根. 已知在椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 中,离心率 e=12 , 左、右焦点分别是 F1、F2 ,上顶点为 Q ,且 QF2=2,O 为坐标原点.
(1) 求椭圆 C 的方程,并请直接写出椭圆 C 的蒙日圆的方程;
(2)设 P 是椭圆 C 外一动点 (不在坐标轴上),过 P 作椭圆 C 的两条切线,过 P 作 x 轴的垂线,垂足 H ,若两切线斜率都存在且斜率之积为 −12 ,求 △POH 面积的最大值.
【题型十】“韦达定理”不能直接用
》》》解法指导
x1=λx2
1. 利用公式 x1+x22x1x2=x1x2+2+x2x1 ,可消去参数
2. 可以直接借助韦达定理反解消去两根
定比分点型,即题中向量 (或者线段长度满足) 可以利用公式 x1+x22x1x2=x1x2+2+x2x1 ,可消去
1. 已知椭圆 C:y2a2+x2b2=1a>b>0 的上下两个焦点分别为 F1,F2 ,过点 F1 与 y 轴垂直的直线交椭圆 C 于
M,N 两点, ΔMNF2 的面积为 3 ,椭圆 C 的离心率为 32 .
（1）求椭圆 C 的标准方程;
（2）已知 O 为坐标原点,直线 l:y=kx+m 与 y 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点,若存在实数 λ ,使得 OA+λOB=4OP ,求 m 的取值范围.
2. 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 Mx,y 与定点 F1,0 的距离和 M 到定直线 x=2 的距离的比是常数 22 ,点 M 的轨迹为曲线 E . (1) 求 E 的方程;
(2) 直线 l 交曲线 E 于 P,Q 两点,交 x 轴于 N 点,交 y 轴于 R 点,若 RP=λ1PN,RQ=λ2QN ,若 λ1+λ2=−4 , 求点 N 的坐标.
3. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 ,倾斜角为 30∘ 的直线过椭圆的左焦点 F1 和上顶点 B ,且 S△ABF1=1+32 (其中 A 为右顶点). (1) 求椭圆 C 的标准方程;
(2) 若过点 M0,m 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q ,且 PM=2MQ ,求实数 m 的取值范围.
【题型十一】“非韦达”型: 点带入型
1. 已知 M 为椭圆 C:x225+y29=1 上的动点,过点 M 作 x 轴的垂线段 MD,D 为垂足,点 P 满足 PD=53MD .
(I) 求动点 P 的轨迹 E 的方程;
(II) 若 A,B 两点分别为椭圆 C 的左右顶点, F 为椭圆 C 的左焦点,直线 PB 与椭圆 C 交于点 Q ,直线 QF,PA 的斜率分别为 kQF,kPA ,求 kQFkPA 的取值范围.
2. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ,上顶点 A 到右焦点的距离为 2 . 过点 D0,mm≠0 作不垂直于 x 轴, y 轴的直线 l ,交椭圆 E 于 P,Q 两点, C 为线段 PQ 的中点, 且 AC⊥OC .
（1）求椭圆 E 的方程;
（2）求实数 m 的取值范围;
（3）延长 AC 交椭圆 E 于点 B ,记 △AOB 与 △AOC 的面积分别为 S1,S2 ,若 S1S2=83 ,求直线 l 的方程.
3. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左焦点为 F−3,0 ,点 A−3,12 在椭圆 C 上.
（1）求椭圆 C 的方程;
（2）已知圆 O:x2+y2=a2 ,连接 FA 并延长交圆 O 于点 B,H 为椭圆长轴上一点 (异于左、右焦点),过点 H 作椭圆长轴的垂线分别交椭圆 C 和圆 O 于点 P,Q ( P,Q 均在 x 轴上方). 连接 PA,QB ,记 PA 的斜率为 k1 , QB 的斜率为 k2 .
① 求 k2k1 的值;
②求证: 直线 PA,QB 的交点在定直线上.
4. 已知双曲线 Ω:x2a2−y2b2=1a>0,b>0,A2,0,B−32,−152,C32,152,D−1,0,E4,0 五点中恰有三点在 Ω 上. （1）求 Ω 的方程;
（2）设 P 是 Ω 上位于第一象限内的一动点,则是否存在定点 Qm,0m<0 ,使得 ∠PQA+12∠PAE=π2 ,若存在,求出点 Q 的坐标; 若不存在,请说明理由. 导数
目录
【题型一】导数含参讨论基础: 一次型双参 .. 11
【题型二】导数含参讨论基础: 双线型. .. 12
【题型三】导数含参讨论基础: 三角函数型. .13
【题型四】恒成立求参: 整数解型. .. 14
【题型五】恒成立求参: 三角函数型整数解. .. 15
【题型六】能成立求参 .. 16
【题型七】能成立求参: 双变量型. .. 17
【题型八】能成立求参: 三角函数型. .. 18
【题型九】零点型求参: 两个零点与三个零点. .. 19
【题型十】同构型求参 .. 20
【题型十一】同构型证明不等式. .. 22
【题型十二】三个零典型证明不等式. .. 23
【题型十三】证明含三角函数型不等式. ... 24
【题型十四】三角函数型极值点偏移. ... 25
【题型十五】数列型不等式证明. .. 26
题型方法梳理
一、恒成立求参
1.直接讨论法
2. 分离参数法 全分离半分离
3. 端点效应法 (必要性探路可以缩小参数的讨论范围, 减少分类讨论的类别.)
4.局部隔离法
5. 洛必达法则
（1）若函数 fx 和 gx 满足下列条件:
limx→afx=0及limx→agx=0在点a的去心邻域内,fx与gx可导,且g′x≠0limx→af′xg′x=l⇒
那么limx→afxgx=limx→af′xg′x=l.
（2）若函数 fx 和 gx 满足下列条件:
limx→∞fx=0及limx→∞gx=0∃A>0,fx和gx在−∞,A与A,+∞内可导,且g′x≠0limx→∞f′xg′x=l⇒
那么 limx→∞fxgx=limx→∞f′xg′x=l .
（3）若函数 fx 和 gx 满足下列条件:
limx→afx=∞及limx→agx=∞在点a的去心邻域内,fx与gx可导,且g′x≠0limx→af′xg′x=l⇒limx→afxgx=limx→af′xg′x=l.
6. 构造函数法 (同构)
（1）基础变形方式
① xex=ex+lnx ; ② exx=ex−lnx ; ③ xex=elnx−x ; ④ x+lnx=lnxex ; ⑤ x−lnx=lnexx .
（2）积、商、和差型变形方式
①积型: aea≤blnb⇒a⋅ea≤lnb⋅elnb⇒fx=xex (同左)
⇒ea⋅lnea≤b⋅lnb⇒fx=xlnx(同右)
⇒a+lna≤lnb+lnlnb⇒fx=x+lnx(取对数)
②商型: eaa⇒ealnea⇒a−lna③和差型: ea±a>b±lnb⇒ea±a>elnb±lnb⇒fx=ex±x (同左)
⇒ea±lnea>b+lnb⇒fx=x±lnx(同右)
（3）配凑变形同构
① aeax>lnx⇒axeax>xlnx ;
② ex>alnax−a−a⇒1aex>lnax−1−1⇒ex−lna−lna>lnx−1−1
⇒ex−lna+x−lna>lnx−1+x−1=elnx−1+lnx−1 ;
③ ax>lgax⇒exlna>lnxlna⇒xlnaexlna>xlnx
④ x+1ex≥xa−lnxax>0⇒1ex−ln1ex≥xa−lnxa⇒fx=x−lnx
⑤ xa+1ex≥−alnx⇒xex≥−alnxxa⇒xex≥−alnx⋅e−alnx⇒fx=xex
（4）地位同等同构（双变量合二为一）
① fx1−fx2x1−x2>kx1② fx1−fx2x1−x2kx1−x2x1x2=kx2−kx1⇔fx1+kx1>fx2+kx2⇔y=fx+kx
为减函数.
二、不等式证明
1. 直接讨论
2. 综合分析法
3. 数形结合
4. 代数变形
（1）对数处理技巧——对数单身狗
① 设 fx>0,fxlnx+gx>0⇔lnx+gxfx>0
（2）指数处理技巧——指数找基友
① 设 fx>0 ,则 fx+gxex>0⇔gxfxex+1>0
② 设 gx>0 ,则 fx+gxex>0⇔fxgxe−x+1>0
5. 放缩法
（1）切线不等式
① ex≥x+1 ; ② lnx≤x−1 ; ③ ex≥ex ; ④ lnx≤1ex ; ⑤ lnx≥1−1x .
（2）与三角有关的一些不等式
① 当 x≥0 时, sinx≤x , csx≥1−x22 ; ② 当 0≤x≤π2 时, csx≤1−x24 ;
③ 当 0（3）一些常见不等式(稍微提高)
① 当 x>1 时, x2−1x2+1<2x−1x+1② 当 0③对数平均不等式: ∀x1>x2>0,x1x2（4）一些不常见的不等式
① 当 x>0 时, ex>1+x+12x2 ;
② 当 02x+23x3 ; 当 −1（5）偶尔用上的不等式
当 n>1,n∈N*,x>−1 时,则: 1+xn≥1+nx,1+x1n≤1+1nx .
6. 泰勒展开式
( 1 ) 常见函数在 x=0 处的泰勒展开式
① 11−x=1+x+x2+⋯+xn+xn ;
② 1+xm=1+mx+mm−12!x2+⋯+mm−1⋯m−n+1n!xn+xn ;
③ ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+xn ;
④ ln1+x=x−x22+x33−⋯+−1nxn+1n+1+xn+1 ;
⑤ sinx=x−x33!+x55!−⋯+−1nx2n+12n+1!+x2n+2 ;
⑥cs x=1−x22!+x44!−x66!+⋯+−1nx2n2n!+x2n+1 .
（2）常用的泰勒展开式的片断应用
① 当 x≥0 时, ex≥1+x+x22 ; 当 x≤0 时, ex≤1+x+x22 ;
② 当 x≥0 时, x−x22≤ln1+x≤x ; 当 x≥0 时, x−x22≤ln1+x≤x−12x2+13x3
③ x−x36≤sinx≤x 对 x≥0 恒成立;
④ 1−x22≤csx≤1−x22+x424 对 x≥0 恒成立;
⑤ 1+x⑥ 当 01 时, 2x−1x+1⑦ 当 0三、零点问题
1. 函数零点的定义: 方程 fx=0 的解叫做函数 y=fx 的零点.
2. 三个等价关系: 函数 y=fx 有零点 ⇔ 方程 fx=0 有解 ⇔y=fx 图象与 x 轴有交点.
3. 零点问题主要有如下几类:
(1) 零点的个数问题 (2) 零点的范围问题 (3) 隐零点问题
4. “找点”问题 (常用的“取点”方法,来寻找合理有效的数 a 与 b ,使得 fa⋅fb<0 )
（1）直接赋值法（当函数相对简单时,可以将区间端点或 0,1,e,1e,e 等特殊数值代入尝试,通过计算判断正负）
（2）局部为零法
（3）插值取点法
( 4 ) 放缩取点法
①对数放缩
由熟知不等式 lnx≤x−1 可得 lnx放大: 由 lnx0 ),如分别取 α=2,3,12 ,可得 lnx缩小: 由 lnx−1α⋅1xα ,作用: 将 lnx 缩小,可以根据需要选择合适的常数 α ,如分别取 α=1,2,12 ,可得 lnx>−1x,lnx>−12x2,lnx>−2x .
②指数放缩
由熟知不等式 ex≥x+1 可得 ex>x ,进而有 exα>xα .
当 x>0,α>0 时,有 exa>xα⇒ex>xαa ,分别取 α=2,3 ,可得 ex>x24x>0,ex>x33x>0 .
当 x<0 时,有 e−xα>−xα⇒ex<−αxα ,分别取 α=−1,−2 ,可得 ex<−1x,ex<4x2 .
四、导数与三次函数
1. 单调性
对于三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da>0 ,其导函数 f′x=3ax2+2bx+c ,判别式 Δ=4b2−3ac .
( 1 ) 若 b2−3ac≤0 ,则 f′x≥0,fx 在 −∞,+∞ 上为增函数;
(2) 若 b2−3ac>0 ,令 f′x=3ax2+2bx+c=0 ,则此方程有两个不等实根 x1,x2 ,不妨设 x12. 图象
下图中, x1,x2 为函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 的两个极值点, x0 为二阶导数的零点.
3. 极值
对于三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da>0 ,
( 1) 若 b2−3ac≤0 ,则 fx 在 −∞,+∞ 上无极值;
（2）若 b2−3ac>0 ,则 fx 在 −∞,+∞ 上有两个极值; 且 fx 在 x=x1 处取得极大值,在 x=x2 处取得极小值.
4. 零点个数
对于三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 ,
( 1 ) 若 b2−3ac≤0 ,则方程 fx=0 恰有一个实根,函数 fx 恰有一个零点;
(2) 若 b2−3ac>0 ,且 fx1⋅fx2>0 ,则方程 fx=0 恰有一个实根,函数 fx 恰有一个零点;
（3）若 b2−3ac>0 ,且 fx1⋅fx2=0 ,则方程 fx=0 有两个不等实根,函数 fx 有两个零点;
(4) 若 b2−3ac>0 ,且 fx1⋅fx2<0 ,则方程 fx=0 有三个不等实根,函数 fx 有三个零点.
5. 对称性
三次函数 fx=ax3+bx2+cx+da≠0 的图象关于点 −b3a,f−b3a 对称.
五、导数与三角函数
1. 分段讨论
( 1 ) 以 −π2,0,π2,π,⋯ 为端点分区间讨论;
（2）以三角函数的最值点为端点分段讨论.
2. 巧用放缩, 消去三角函数
( 1 ) 正弦函数: 当 x>0 时, x≥sinx≥x−12x2 .
（2）余弦函数: csx≥1−12x2 .
（3）正切函数: 当 x∈0,π2 时, sinx( 4 ) 函数值域: sinx∈−1,1,csx∈−1,1 .
3. 分离函数: 将含有三角函数的式子放到一起.
4. 分离参数: 转化为函数值域问题.
5. 半分离参数: 将不等式等价转化, 化为左右两边函数是一直线与一曲线, 考虑端点处的切线斜率.
六、导数与数列不等式
1. 数列求和不等式, 要注意从通项公式入手, 放缩成可求和的数列.
2. 在放缩时要注意前几问的铺垫与提示作用, 特别是由恒成立与最值问题所得到的不等式, 往往提供了放缩的方向.
3. 常用的放缩不等式: lnx≤x−1,ex≥x+1,sinx0
七、双变量问题处理
1. 极值点偏移
(1) 概念: 函数 fx 满足定义域内任意自变量 x 都有 fx=f2x0−x ,则函数 fx 关于直线 x=x0 对称; 可以理解为函数 fx 的对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若 fx 为单峰函数,则 x=x0 必为 fx 的极值点,如图 1 所示,二次函数 fx 的对称轴就是极值点 x0 ,若 fx=c 的两根的中点为 x1+x22=x0 ,即极值点在两根的正中间, 也就是极值点没有偏移.
图 1
当相等变为不等,则极值点偏移: 若单峰函数 y=fx 的极值点为 x0,x1f2x0−x1 (见图 2)或 fx1x0,fx 在 x0,+∞ 上单调,则 2x0−x1>x2 或 2x0−x1x0 (极值点左偏).
图 2
图 3
图 4
图 5
（2）极值点偏移问题的一般题设形式
①若函数 fx 存在两个零点 x1,x2 且 x1≠x2 ,求证: x1+x2>2x0x0 为函数 fx 的极值点)
② 若函数 fx 存在 x1,x2 且 x1≠x2 满足 fx1=fx2 ,求证: x1+x2>2x0x0 为函数 fx 的极值点 )
③ 若函数 fx 存在两个零点 x1,x2 且 x1≠x2 ,令 x0=x1+x22 ,求证: f′x0>0
④ 若函数 fx 存在 x1,x2 且 x1≠x2 满足 fx1=fx2 ,令 x0=x1+x22 ,求证: f′x0>0
⑤ 若函数 fx 存在两个极值点 x1,x2 ,且 x1≠x2 ,求证: x1+x2>2x0
（3）答题模板
常见题设: 若函数 fx 存在两个零点,且满足 fx1=fx2,x0 为函数 fx 的极值点,求证 x1+x2<2x0 . ①求导讨论 fx 单调性,并求出极值点 x0 以及 x1,x2 的范围
②构造函数 Fx=fx−f2x0−x (左右构造)
注: 有时需要根据题意构造: Fx=fx0+x−fx0−x (居中构造).
③ 讨论 Fx 单调性,从而判断 Fx 在极值点单侧的正负,得出 fx 与 f2x0−x 的大小关系
注: i : 后续代入哪侧的自变量证明, Fx 就求哪侧的正负,无需同时求极值点两侧
ii: 若 Fx 出现定号部分,可先去掉定号部分再求导.
④代入 x1 或 x2 ,得出 fx 与 f2x0−x 的大小关系,借助 fx1=fx2 将自变量统一到极值点同侧,再通过 fx 单调性得出结论.
2. 对数平均不等式
两个正数 a,b 的对数平均 La,b=a−blna−lnba≠baa=b ,有如下关系 ab≤La,b≤a+b2 .
证明: 不妨设 a>b,ab1 ,则 bt式进行整理和化简得到 t3. 指数平均不等式
设 a=em,b=en ,则 Ea,b=em−enm−nm≠nemm=n ,有如下关系: em+n2≤Ea, b≤em+en2 .
证明: 由对数平均不等式 abb 令 a=em,b=en m>n ,所以 emen即 em+n2【题型一】导数含参讨论基础: 一次型双参
》》》解法指导
对于求导后 kx+b ,其中 k,b 皆为参数
1. 令 k=0 ,得第一讨论点
2. 令动根 x0=bk= 定义域端点值,可得其余讨论点
3. 注意对应讨论点斜率正负。根的位置, 画出对应图像, 查找落在定义域部分正负
4. 以讨论点为分界点, 分段讨论, 不要忘了分界点。
5. 分界点可以合并到区间处 (需要检验)
1. (北京交通大学附属中学 2022 届高三 12 月月考数学) 已知函数 fx=ax+1ex ,其中 e 为自然对数的底数.
(1) 求函数 fx 的单调区间;
(2) 取 a=0 并记此时曲线 y=fx 在点 Px0,fx0 (其中 x0<0 ) 处的切线为 1,1 与 x 轴、 y 轴所围成的三角形面积为 Sx0 ,求 Sx0 的解析式及 Sx0 的最大值.
2. 已知 fx=lnx+m−mx .
（1）求 fx 的单调区间;
( 2 ) 设 m>1,x1,x2 为函数 fx 的两个零点,求证: x1+x2<0 .
【题型二】导数含参讨论基础: 双线型
1. (2021·全国·模拟预测) 已知函数 fx=14x21+2lnx−axlnx+ln2−12aa∈R .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 当 x≥1 时, fx>0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2. 已知函数 fx=aex−e−x−a+1xa∈R,fx 既存在极大值,又存在极小值.
（1）求实数 a 的取值范围;
(2) 当 00 ,求实数 k 的取值范围.
3. (四川省南充市 2021-2022 学年高三高考适应性) 已知函数 fx=12x2−ax+x−a+1ex ,其中 a∈R .
(1) 讨论 fx 的单调性; ∴f′x=x−a−x−aex=x−aex−1ex
（2）若 a∈0,1 ,设 gx=fx−f0 ,求证: 函数 gx 在区间 0,+∞ 内有唯一的一个零点.
【题型三】导数含参讨论基础： 三角函数型
》》》解法指导
1.三角形式注意适当合理的恒等变形
2. 充分利用三角函数正余弦的有界性。
1. 已知 fx=sin2x+2csx,x∈0,π .
（1）求 fx 的单调区间;
（2）若 gx=fx−2csx+mlnx ,证明: 当 m<0 时, gx 有且只有两个零点.
2. 已知函数 fx=cs2xcs2x .
( 1 ) 讨论函数 fx 在区间 0,π 上的单调性;
（2）求函数 fx 的最值.
3. 已知 fx=ex−2x+sinx,gx=13x3−2x+2sinx+m .
（1）求 fx 的单调区间;
( 2 ) 若 x≥0 时, fx≥gx 恒成立,求 m 的取值范围.
【题型四】恒成立求参：整数解型
1. (2023. 全国. 高三专题练习) 已知函数 fx=lna2x−2ax+alna .
(1) 求证 fx≤a2−3 ;
(2)是否存在实数 k ,使得只有唯一的正整数 a ,对于 x∈0,+∞ 恒有: fx2. (2022. 江西. 高三校联考阶段练习) 已知函数 fx=2lnmx−2mx+mlnm
(1) 当 m=e 时,求函数 fx 在 x=1e 处切线的方程;
(2) 是否存在实数 b ,使得只有唯一的正整数 m ,对于 x∈0,+∞ 恒有 em+b≥fx ? 若存在,求出 b 的取值范围及正整数 m 的值,若不存在,请说明理由? (下表的近似值仅供参考)
3. (2024. 安徽淮北. 统考一模) 已知函数 fx=xlnx−x,gx=−12ax2+a, a∈R .
(1) 求函数 fx 的最小值;
(2) 若 Fx=fx+gx 有两个不同极值点,分别记为 m,n ,且 m(i) 求实数 a 的取值范围;
(ii) 若不等式 mnk>ek+1 恒成立 ( e 为自然对数的底数),求正数 k 的取值范围.
【题型五】恒成立求参：三角函数型整数解
1. (2020. 云南昆明. 统考三模) 已知 fx=ex−2x−12 .
（1）证明: fx>0 ;
（2）对任意 x≥1,esinx+x2−ax−1−lnx>0 ,求整数 a 的最大值.
(参考数据: sin1≈0.8,ln2≈0.7 )
2. (2020 上. 浙江. 高三校联考阶段练习) 已知函数 fx=asinx+sin2x,a∈R .
(1) 若 a=2 ,求函数 fx 在 0,π 上的单调区间;
（2）若 a=1 ,不等式 fx≥bxcsx 对任意 x∈0,2π3 恒成立,求满足条件的最大整数 b .
3. (2022. 全国. 高三专题练习) 已知函数 fx=ex+acsx−2x−2,f′x 为 fx 的导函数.
(1) 讨论 f′x 在区间 0,π2 内极值点的个数;
(2) 若 x∈−π2,0 时, fx≥0 恒成立,求整数 a 的最小值.
【题型六】能成立求参
》》》解法指导
利用参变量分离法求解函数不等式恒 (能) 成立, 可根据以下原则进行求解:
(1) ∀x∈D,m≤fx⇔m≤fxmin ;
( 2 ) ∀x∈D,m≥fx⇔m≥fxmax ;
( 3 ) ∃x∈D,m≤fx⇔m≤fxmax ;
( 4 ) ∃x∈D,m≥fx⇔m≥fxmin .
1. (2023 下. 北京. 高三校考) 已知函数 fx=xlnx,gx=−x2+ax−3 .
(1) 求 fx 的单调区间;
(2) 若存在 x∈1e,e ( e 是常数, e=2.71828⋯ ) 使不等式 2fx≥gx 成立,求实数 a 的取值范围.
2. (2023 下. 重庆. 高三重庆一中校考阶段练习) 已知函数 gx=lnx .
(1) 若 fx=2x−1gx+x−1,x∈12,+∞ ,求关于 x 的方程 a=fx,a∈0,12 的实根个数;
(2) 令 Fx=x2−x⋅gx ,若关于 x 的不等式 x⋅Fx≤ax−ex 在 12,+∞ 上有解,求实数 a 的取值范围.
3. (2023. 河南郑州. 统考模拟预测) 已知 fx=x−a−1ex−12ax2+a2x−1 . a∈R
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 若 a=−1 ,且存在 x∈0,+∞ ,使得 fx≤lnx+12x2+b+1x ,求 b 的取值范围.
【题型七】能成立求参：双变量型
》》》解法指导
已知函数 y=fx,x∈a,b,y=gx,x∈c,d
(1) 若 ∀x1∈a,b,∀x2∈c,d ,总有 fx1(2) 若 ∀x1∈a,b,∃x2∈c,d ,有 fx1（3）若 ∃x1∈a,b,∃x2∈c,d ,有 fx1( 4 ) 若 ∀x1∈a,b,∃x2∈c,d ,有 fx1=gx2 ,则 fx 的值域是 gx 值域的子集.
1. (2023. 全国. 高三专题练习) 已知函数 fx=lnx−ax+2,gx=ex+1−lnx+1−b ,其中 a∈R,b∈Z .
(1) 试讨论函数 fx 的极值;
(2) 当 a>0 时,若对任意的 x1∈0,+∞,x2∈−1,+∞ ,总有 fx1≤gx2−b−lna 成立,试求 b 的最大值.
2. (2022 上. 河北. 高三校联考阶段练习) 已知函数 fx=alnx+x2,gx=2x3−ax+2,a∈R .
(1) 讨论函数 fx 的单调性;
(2) 若 ∃x1∈0,+∞,∃x2∈−2,−1 ,使得 2fx1≤gx2 ,求实数 a 的取值范围.
3. (2023. 全国. 高三专题练习) 已知函数 fx=lnx−ax+2−2axa∈R .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 若 a=1,1elnt−3 ,求实数 t 的取值范围.
【题型八】能成立求参：三角函数型
1. (2022. 河南. 校联考二模) 已知函数 fx=ex−2x+sinx,gx=ex−sinx+csx+a .
（1）求函数 fx 的单调区间;
(2) ∃x1、x2∈0,π2 ,使得不等式 gx1≥fx2 成立,求 a 的取值范围;
（3）不等式 f′x−mx>lnx 在 1,+∞ 上恒成立,求整数 m 的最大值.
2. (2022 上. 江西宜春. 高三校联考阶段练习) 已知函数 fx=xcsx−32,gx=2sinx−ax−32 .
(1) 讨论 fx 在 −π,0 内的零点个数.
（2）若存在 x∈0,π ,使得 gx≥fx 成立,证明: a<π2 .
3. (2022. 辽宁. 校联考一模) 已知函数 fx=14x3−x2sinα+x+1,α∈−π6,π2 ,
(1) 讨论函数 fx 的单调性;
(2) 证明: 存在 α∈−π6,π2 ,使得不等式 fx>ex 有解 ( e 是自然对数的底 ).
【题型九】零点型求参：两个零点与三个零点
1. (2023 上. 上海杨浦. 高三同济大学第一附属中学校考) 已知函数 fx=lnx−ax,gx=a+1x2−1 ,
a∈R .
(1) 当 a=2 时,求函数 fx 在点 1,f1 处的切线方程;
(2) 令当 hx=2fx−gx ,若函数 hx 有两个零点 x1,x2 ,求实数 a 的取值范围;
(3) 在 ( 2 ) 的条件下,证明: x1+x2>2a+1 .
2. (2021 上. 河南. 高三阶段练习) 已知 fx=ex−ax2−x−1a>0
(1) 当 a=e2 时,求曲线 y=fx 在 1,f1 处的切线方程;
(2) 设 Fx=fx+2 ,若当 a∈t,+∞ 时, Fx 有三个不同的零点,求实数 t 的最小值.
3. (2022 上. 全国. 高三阶段练习) 已知函数 fx=lnx−ax+axa>0 .
(1) 当 a=12 时:
①解关于 x 的不等式 fx>0 ;
②证明: 1+1221+1321+142⋯1+1n2(2) 若函数 gx=fx−ln2+3ax 恰有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围.
【题型十】同构型求参
》》》解法指导
同构法求参数范围
通过对原函数进行适当的代换或者变换, 可以带到一个与之相同 (同构, 结构相同, 性质相同) 的新函数, 新函数相对容易处理。利用同构法, 可以讲原函数问题转化为一个更简单的问题, 并通过求导求最值进行分析从而得到参数范围。
同构法求解参数范围:
1. 寻找原函数及其特点
2. 进行适当的变形方式。
3. 对构造的新函数进行求导分析
4. 根据新函数极值最值等得到参数范围
常见同构技巧:
指对变形同构
① x=lnex=elnx (“无中生有”,原理公式)
② xex=elnx⋅ex=elnx+x
③ xex=elnxex=elnx−x
④ x+lnx=lnex+lnx=lnxex
⑤ x−lnx=lnex−lnx=lnexx
1. (2023 下. 吉林长春. 高三长春市第五中学校考阶段练习) 已知函数 fx=alnx−x+1a∈R .
(1) 求函数 fx 的单调区间;
(2) 对任意的 x1、x2∈(0,1] ,当 x12. (2022 上. 陕西安康. 高三统考期末) 已知函数 fx=x−a+1lnx−axa∈R .
(1) 讨论 fx 的单调性;
(2) 若 fx 有两个极值点,且这两个极值点分别为 x1,x2 ,若不等式 fx1+fx2<λlnx1+lnx2 恒成立,
求 λ 的值.
3. (2022 下. 山东济宁. 高三统考) 已知函数 fx=−x+1x+alnxa∈R ,且 fx 有两个极值点 x1,x2 . (1) 求实数 a 的取值范围;
(2) 是否存在实数 a ,使 fx1−fx2x1−x2=a−2 成立,若存在求出 a 的值,若不存在,请说明理由.
4 (2022. 全国. 高三专题练习) 已知函数 fx=a−lnxx 在点 1,f1 处的切线与 x 轴平行.
(1) 求实数 a 的值及 fx 的极值;
(2) 若对任意 X1,x2∈e2,+∞ ,有 fx1−fx2x1−x2>kx1⋅x2 ,求实数 k 的取值范围.
【题型十一】同构型证明不等式
1. (2023 上. 安徽马鞍山. 高三马鞍山二中校考阶段练习) 已知函数 fx=exx3−1,e=2.71828⋯ 为自然对数的底数.
(1) 试判断函数 fx 的零点个数并说明理由;
(2)证明: fx≥x−3lnx .
2. 已知 fx=ex+1−2x,gx=a+x+lnxx,a∈R .
(1) 当 x∈1,+∞ 时,求函数 gx 的极值;
(2) 当 a=0 时,求证: fx≥gx .
3. 已知函数 fx=eaxx,gx=lnx+2x+1x ,其中 a∈R .
（1）试讨论函数 fx 的单调性;
（2）若 a=2 ,证明: xfx≥gx .
【题型十二】三个零点型证明不等式
1. (2023. 山东. 山东省实验中学校联考模拟预测) 已知函数 fx=ax2ex−1−lnx−lna−1 有三个零点.
(1) 求 a 的取值范围;
(2) 设函数 fx 的三个零点由小到大依次是 x1,x2,x3 . 证明: aex1x3>e .
2. (2023. 河南. 校联考模拟预测) 已知定义在 0,+∞ 上的函数 fx=e2xxa−t ,其中 a,t∈R .
(1) 若函数 fx 存在极值,求实数 a 的取值范围;
(2) 设 t=0,gx=a14ln2xafx−1lnx−x−12a≠0 存在三个零点 x1,x2,x3 ,其中 x1(i) 求实数 a 的取值范围;
(ii) 求证: 3a−1x1+x3+2<2 .
【题型十三】证明含三角函数型不等式
1. 已知函数 fx=xcsx−sinx−e−2,x∈0,π .
(1) 求 fx 的最大值;
(2) 证明: exsinx+ex−2>xexcsx+x−1 ;
(3) 若 fx+2ax3+e−2≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2. (2022. 新疆. 统考三模) 已知函数 fx=sinx−axcsx,a∈R
(1) 若 fx 在 x=0 处的切线为 y=x ,求实数 a 的值;
(2) 当 a≥13,x∈[0,+∞) 时,求证: fx≤2ax .
3. 已知函数 fx=ex+sinx−csx,f′x 为 fx 的导数.
(1) 证明: 当 x≥0 时, f′x≥2 ;
(2) 设 gx=fx−2x−1 ,证明: gx 有且仅有 2 个零点.
【题型十四】三角函数型极值点偏移
》》》解法指导
零点型, 注意数形结合思想的应用:
1. 零点是否是特殊值, 或者在某个确定的区间之内。
2. 零点是否可以通过构造零点方程, 进行迭代或者转化。
3. 将方程根的判定转化为函数的单调性问题处理
处理极值点偏移问题中的类似于 x1x2①求导确定 fx 的单调性,得到 x1,x2 的范围;
②构造函数 Fx=fx−fax ,求导可得 Fx 恒正或恒负;
③得到 fx1 与 fax1 的大小关系后,将 fx1 置换为 fx2 ;
④根据 x2 与 ax1 的范围,结合 fx 的单调性,可得 x2 与 ax1 的大小关系,由此证得结论.
1. (2024. 四川凉山. 二模) 已知函数 fx=x+asinx .
(1) 若函数 fx 在 R 上是增函数,求 a 的取值范围;
(2) 设 gx=x−12sinx−lnx ,若 gx1=gx2x1≠x2 ,证明: x1x2<2 .
2. (23-24 高三下. 海南省直辖县级单位. 开学考试) 已知函数 fx=mx−m2sinx ,且 fx 的图象在 x=π2 处的切线斜率为 2 .
(1) 求 m ;
(2) 求 fx 的单调区间;
(3) 若 fx=alnx 有两个不等的实根 x1,x2 ,求证: x1x23. (23-24 高三上. 江苏泰州) 已知函数 fx=ex,gx=csx,x∈0,π2 .
(1) 若函数 Fx=fx−kgx 在 0,π2 上单调递增,求 k 的取值范围;
(2) 若关于 x 的方程 fx⋅gx=m 有两个实根 x1,x2x1(i) 求 m 的范围;
(ii) 求证: x1+1≥m .
【题型十五】数列型不等式证明
》》》 解法指导
数列型不等式证明
1. 对于 n∈N* 型数列不等式证明,可以转化为定义域为 x≥1 ,在实数范围内证明不等式。
2. 一些特殊形式的数列不等式,可以通过选择合适的换元,构造新函数,注意因为 n 的正整数属性,注意对应换元的取值范围
3. 数列型不等式的证明, 一般需要联系前面第一问的结论, 对要证明的不等式进行适当的拆分凑配来证明
1. (2022. 辽宁沈阳校考三模) 已知函数 fx=alnx−ax−3a∈R .
(1) 求函数 fx 的单调区间;
(2) 若函数 y=fx 的图象在点 2,f2 处的切线的倾斜角为 45∘ ,对于任意的 t∈1,2 ,函数
gx=x3+x2f′x+m2 在区间 t,3 上总不是单调函数,求 m 的取值范围;
(3) 求证: ln22×ln33×ln44×⋯×lnnn<1nn≥2,n∈N* .
2. (2023. 贵州黔东南. 凯里一中校考三模) 已知函数 fx=lnx−x−1x .
(1) 证明: fx≥0 ;
(2) 证明: ln2+ln322+ln432+⋯+lnn+1n2>1−1n+1,n∈N* .
3. (2023. 天津红桥. 统考一模) 已知函数 fx=lnxx−k .
(1) 当 k=0 时,求曲线 y=fx 在点 e,fe 处的切线方程;
(2) 若 fx≤0 恒成立,求实数 k 的取值范围;
(3) 证明: ln12+ln13+⋯+ln1n<1e12+13+⋯+1nn>1,n∈N* .y1
y2
总计
x1
a
b
a+b
x2
C
d
c+d
总计
a+c
b+d
a+b+c+d
α
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
xα
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
X
0
1
⋯
k
⋯
n
P
Cn0p0qn
Cn1p1qn−1
…
Cnkpkqn−k
…
Cnnpnq0
路线一
44
58
66
50
34
42
50
38
62
56
路线二
62
56
68
62
58
61
61
52
61
59
质量指标值 k
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[70,80)
90,100
产品等级
A 级
B 级
C 级
D 级
废品
频数
160
300
400
100
40
质量指标值 k
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[70,80)
90,100
利润 y
5t
3t
2t
t
−5et
第 1 列
第 2 列
第 3 列
第 1 列
0.5
0.3
0.2
第 2 列
0.6
0.5
0.3
第 3 列
0.8
0.7
0.6
喜爱足球运动
不喜爱足球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
双动点设 Ax1,y1,Bx2,y2
单动点设 Px0,y0 ,单动点指可以用一个点的坐标 x0,y0 来表示所有的条件与目标
正设直线
①先考虑直线斜率不存在的情况（易忽视），要么求解结果， 要么直接证明；
②当已知条件中未出现直线过定点时,一般设为 y=kx+m ; 若题目条件中指明直线过定点 x0,y0 ,则设为 y−y0=kx−x0 .
③若题目已知条件中,直线所过定点在 y 轴上,优选正设直线,在计算量上会简单很多.
反设直线
①先考虑直线斜率为 0 的情况（易忽视），要么求解结果，要么直接证明；
② 当已知条件中未出现直线过定点时,一般设为 x=my+n ; 若题目条件中指明直线过定点 t,0 ,则设为 x=my+t .
③若题目已知条件中,直线所过定点在 x 轴上,优选反设直线. 在计算量上会简单很多.
④ 直线 l 与 y2=2px 联立时,通常设 x=my+n ,计算要简单 多.
多数题目, 两种思路通用, 不过有繁简之别; 少数题目, 只能用一种思路, 还需在平时做题中加以区分.
函数
y=ax3+bx2+cx+da>0
y=ax3+bx2+cx+da<0
图象
▵>0
Δ≤0
▵>0
Δ≤0
ln2
ln3
ln4
ln5
ln6
ln7
ln8
ln9
0.69
1.10
1.38
1.61
1.79
1.95
2.07
2.20
e
ln2
ln3
ln4
ln5
ln6
ln7
ln8
ln9
2.7
0.69
1.1
1.39
1.61
1.79
1.95
2.08
2.2