高中数学压轴题小题专项训练专题52排列数、组合数的性质应用问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题52排列数、组合数的性质应用问题含解析答案，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某医院分配3名医生6名护士紧急前往三个小区协助社区做核酸检测.要求每个小区至少一名医生和至少一名护士.问共有多少种分配方案？（ ）
A．3180B．3240C．3600D．3660
2．现有天平及重量为，，，的砝码各一个，每一步，我们选取任意一个砝码，将其放入天平的左边或者右边，直至所有砝码全放到天平两边，但在放的过程中发现天平的指针不会偏向分度盘的右边，则这样的放法共有（ ）种.
A．B．C．D．
3．将六枚棋子A，B，C，D，E，F放置在2×3的棋盘中，并用红、黄、蓝三种颜色的油漆对其进行上色（颜色不必全部选用），要求相邻棋子的颜色不能相同，且棋子A，B的颜色必须相同，则一共有（ ）种不同的放置与上色方式
A．11232B．10483C．10368D．5616
4．将1到30这30个正整数分成甲､乙两组，每组各15个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A．B．C．D．
5．已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ）
A．150B．240C．390D．1440
6．“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够一次量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（ ）个刻度
A．3B．4C．5D．6
7．正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）种.
A．420B．600C．720D．780
8．某同学计划用他姓名的首字母，身份证的后4位数字（4位数字都不同）以及3个符号设置一个六位的密码．若必选，且符号不能超过两个，数字不能放在首位和末位，字母和数字的相对顺序不变，则他可设置的密码的种数为（ ）
A．864B．1009C．1225D．1441
9．将六个数、、、、、将任意次序排成一行，拼成一个位数，则产生的不同的位数的个数是（ ）
A．B．
C．D．
10．中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种B．240种C．1092种.D．120种
11．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680B．4770C．5040D．5200
12．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有( )
A．144种B．216种C．288种D．432种
13．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种
14．因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．379B．360C．243D．217
15．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.
A．105B．95C．85D．75
16．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
17．一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
18．现有7位同学（分别编号为）排成一排拍照，若其中三人互不相邻，两人也不相邻，而两人必须相邻，则不同的排法总数为 ．（用数字作答）
19．一个圆桌有十二个座位，编号为1至12.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位，家长与其孩子相邻.满足要求的坐法共有 种.
20．一个五位数满足,,,且,(如37201､45412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有 个五位数符合“正弦规律”.
21．给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有 种不同的染色方案.
22．中秋节假期间，某医院要安排某科室的2名男职工和2名女职工进行3天值班（分白班和夜班，每班1名职工），其中女职工不值夜班，且每个人至少要值班一次，则不同的安排方法共有 种（用数字作答）．
23．现将6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知书籍分发给了甲，则不同的分发方式种数是 .（用数字作答）
24．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ．
25．如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种.
参考答案：
1．B
【分析】分三种情况进行分类讨论，依据先分组再分配原则解决“至少”问题.
【详解】每个小区至少一名护士，则把护士分为3组，共有3种情况：1,1,4；1,2,3；2,2,2
把护士分为3组，3组人数分别为1,1,4，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；
把护士分为3组，3组人数分别为1,2,3，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为；
把护士分为3组，3组人数分别为2,2,2，共有种分法，再分配给3个小区，有
种分法.每个小区1名医生有种分法，则分配方案数为
综上，分配方案总数为
故选：B
2．A
【分析】由题意，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，结合排列组合以及分类加法原理，可得答案.
【详解】依题可知10只能在左边，按照从大到小的顺序，逐一分情况讨论，有以下4种情况：
情况①：第一步先排10，10只能在左边，接下来重量为1,2,4的砝码顺序随意有种，左右边随意，则种，共有种；
情况②：第一步先排4，4只能在左边，10可以在第2,3,4步中任选一步放，有种，重量为1,2的砝码顺序随意左右边随意，共有种；
情况③：第一步先排2，2只能在左边，
若第二步放10，则重量为去1,4的砝码顺序随意左右边随意，有中，
若第二步放4，则10可以在第3,4步汇总任选一步放，砝码1左右边随意放，有种，
若第二步放1，有2种放法，接下第3步有2种情形：
（）若第三步放10，那第四步放4可以在左右都行，有2种，
（）若第三步放4，那4只能放左边，第四步放10只能放左边，有1种，
共有种；
情况④：第一步先排1，1只能在左边，接下来第二步：
若第二步放10，则重量为2,4的砝码顺序随意左右边随意放，有种，
若第二步放4，则10可以在第3,4步中任选一步放，砝码2左右边随意放，有种，
若第二步放2，2只能在左边，接下来第三步有2种情形：
（）若第三步放10，那第四步放4可以在左右边都行，有2种，
（）若第三步放4，那4只能在左边，第四步放10只能放左边，有1种，
共有种，
综上有种.
故选：A.
3．C
【分析】进行颜色分配，然后利用分类原理的相加和分步相乘的原理进行分析即可.
【详解】①3个1，3个2，0个3如表：
只用两种颜色，并选取两个位置放AB,此时有：种，
②1个1，2个2，3个3如表：
选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在拐角），并选取两个位置放AB,此时有：种，
或
选用三种颜色（1+2+3，且只用一次的颜色放在中间），并选取两个位置放AB,此时有：种，
③2个1，2个2，2个3如表：
选用三种颜色（2+2+2），并选取两个位置放AB，此时有：种，
或
选用三种颜色（2+2+2）,并选取两个位置放AB，此时有：种，
所以不同的放置与上色方式有：
.
故选：C.
4．B
【分析】分析可得甲组的中位数为或，分别求出甲组的中位数为、时的分组方法，即可得解.
【详解】因为甲组、乙组均为个数，则其中位数为从小到大排列的第个数，
即小于中位数的有个数，大于中位数的也有个数，
依题意可得甲组的中位数为或，
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组，
再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时从中选个数放到甲组，剩下的个数放到乙组，
再从中选个数放到甲组，其余数均在乙组，此时有种分组方法；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能大于；
若甲组的中位数为，则乙组的中位数为，此时甲组中小于的数有个、乙组中小于 的数有个，
从而得到小的数一共只有个，显然不符合题意，故舍去，
同理可得，甲组的中位数不能小于；
综上可得不同的分组方法数是种.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是得到甲组的中位数为或再分类分别计算可得.
5．C
【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果.
【详解】因为或
所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中
（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法：
各放1个，2个，2个的方法有种.
各放3个，1个，1个的方法有种.
（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有
种.
综上，总的放球方法数为种.
故选：C
【点睛】易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有n组均匀，最后一点要除以，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题.
6．A
【分析】将问题转化为组合抽样思维，设为长度，为每段长度，为刻度对应的数量，则当尺子有3个刻度时满足条件，其中证明验证求解.
【详解】若有一根的尺子，量出长度为到且为整数的物体，
则当尺子有3个刻度时满足条件
设为长度，为每段长度，为刻度对应的数量，则有且，其中，
当时，
下证，当尺子有2个刻度时不能量出的物体长度
设且，其中，
所以当中有1个0，x的取值至多有3个
当中有2个0时，或，x的取值至多有2个
当中没有0时，x的取值有1个
所以x取值至多有6个，即当尺子有2个刻度时不能量出的物体长度．
故选:A
7．D
【分析】根据对面的颜色是否相同，分①三对面染相同的颜色、②两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色、③一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，分别求出不同的染色方案，最后加总即可.
【详解】分三类：
1、若三对面染相同的颜色，则有种；
2、若两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色，则有种；
3、若一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，则有种；
∴共有种.
故选：D
8．D
【分析】先按照符号的个数分类，利用分步乘法计数原理分别计算每类的情况种数，再利用分类加法计数原理求解即可.
【详解】①当符号的个数为0时，六位密码由字母及身份证的后4位数字组成，此时只有1种情况；
②当符号的个数为1时，六位密码由母，3个数字及1个符号组成.
若末位是符号，则首位是字母，可能的种数为；
若末位是字母，则可能的种数为；
③当符号的个数为2时，六位密码由字母，2个数字及2个符号组成.
若首位和末位均为符号，则可能的种数为；
若首位和末位均为字母，则可能的种数为；
若首位和末位一个是字母、一个是符号，则可能的种数为.
故他可设置的密码的种数为.
故选：D.
【点睛】在求解本题的过程中，考生易犯如下两个错误：
①搞不清楚到底是分类还是分步，不知道是用加法计数原理还是乘法计数原理；
②在求解时考虑不全，存在重复或遗漏现象.
9．A
【分析】先求出将2，0，1，9，20，19的首位不为0的排列数，排除2的后一项是0的排列，1的后一项是9的排列，再加上2的后一项是0同时1的后一项是9的排列，可得答案.
【详解】将六个数、、、、、将任意次序排成一行，拼成一个位数，由于首位不能为0，则有个，
其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有种，
“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有种，
“20”和“19”都出现2次的排法有种，
因此满足条件的位数的个数为：.
故选：A.
10．A
【分析】根据给定条件先求出“射”不在第一次的“六艺”讲座不同的次序数，去掉“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的“六艺”讲座不同的次序数即可得解.
【详解】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为，
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为，
于是得，
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.
故选：A
【点睛】思路点睛：含有两个限制条件的排列问题，利用排除法，先让一个条件被满足，再去掉这个条件满足时另一个条件不满足的所有可能即可解决问题.
11．C
【详解】若有人参加“演讲团”，则从 人选人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有 种情况： 和 ，故人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，若无人参加“演讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，故满足条件的方法数为 ，故选C.
【方法点睛】本题主要考查分组分配问题及排列组合的综合应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
12．C
【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．
【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有种排法．
∴不同的排法种数有：种．
故选：C．
13．D
【分析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，结合图形的对称性，即可求解.
【详解】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有种方法，
再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有种方法，
由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，
所以不同的涂色方法，共有种不同的涂法.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了排列、组合及分步计数原理的应用，其中解答中注意图形的对称性，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
14．A
【分析】依题意，重点要先排好7号位和3号位，余下的按部就班即可.
【详解】依题意作图如下：
上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比124567要高，
1，7两处是排列里最低的，3，9两处是最高点，
设9个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，
则 3号位最少是7，最大是9，下面分类讨论：
第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，
余下的4个号中最小的放入7号位置，剩下的三个放入中间三个位置，
8，9号放入最后两个位置，即；
第3个位置选8号：先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置，
余下的5个号中最小的放入7号位置，剩下4个选3个放入中间三个位置，
余下的号和9号放入最后两个位置，即；
第3个位置选9号：先从1，2，3，4，5，6，7，8号中选两个放入前两个位置，
余下的6个号中最小的放入7号位置，剩下5个选3个放入中间三个位置，
余下的2个号放入最后两个位置，即；
由分类计数原理可得共有种排列方式；
故选：A.
15．A
【详解】分析：根据题意，分4种情况讨论：①，小青蛙向左跳一次2个单位，向右跳4次，每次1个单位，②，小青蛙向左跳2次，每次2个单位，向右跳3次，每次2个单位，③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次，2次2个单位，1次1个单位，④，小青蛙向左跳2次，每次1个单位，向右跳3次，1次2个单位，2次1个单位，由加法原理计算可得答案．
详解：根据题意，分4种情况讨论：
①，小青蛙向左跳一次2个单位，向右跳4次，每次1个单位，有C51=5种情况，
②，小青蛙向左跳2次，每次2个单位，向右跳3次，每次2个单位，有C52=10种情况，
③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次，2次2个单位，1次1个单位，
有C52A33=60种情况，
④，小青蛙向左跳2次，每次1个单位，向右跳3次，1次2个单位，2次1个单位，有C52C32=30种情况，
则一共有5+10+60+30=105种情况，即有105种不同的跳动方式．
故选A．
点睛：本题考查排列、组合的应用，注意分析青蛙左右跳动的次数与单位．
16．D
【解析】对于选项 ，每人有4种安排法，故有种；对于选项 ，5名同学中有两人工作相同，先选人再安排；对于选项，先分组再安排；对于选项 ，以司机人数作为分类标准进行讨论即可.
【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误，
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误，
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误，
④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位，
故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 ,
从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，
即选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了排列知识的应用.
求解排列问题的六种主要方法:
1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;
2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;
3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;
4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;
5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;
6.间接法:正难则反、等价转化的方法.
17．B
【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解.
【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：，
每相邻的3人取成一组，则有5组，
因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生，
即这15人中至少有10名男生；
每相邻的5人取成一组，则有3组，
因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生，
即这15人中至多有9名男生；
显然矛盾，故人数不可能大于6，
当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解.
18．240
【分析】把排列，产生4个空位，然后将看作一个整体与插入到中可求解.
【详解】解：因两人必须相邻，所以把看作一个整体有种排法.
又三人互不相邻，两人也不相邻，所以把排列，有种排法，产生了4个空位，再用插空法.
（1）当分别插入到中间的两个空位时，有种排法，再把整体插入到此时产生的6个空位中，有6种排法.
（2）当分别插入到中间的两个空位其中一个和两端空位其中一个时，有种排法，此时必须排在中间的两个空位的另一个空位，有1种排法.
所以共有.
【点睛】方法点睛：在排列组合中“相邻问题”用捆绑法策略处理；“不相邻问题”用插空法策略处理.
19．
【分析】分学生选择相邻的四个偶数、学生选择三个相邻的偶数，另一个学生坐对面、四个学生每两个学生选择相邻偶数三种情况，
求出学生的坐法，家长的坐法、四组家长学生全排列，由分步乘法计数原理和分类加法计算原理即可求解.
【详解】当学生选择相邻的四个偶数有，，，
，，有种，
以学生选为例，家长的排法有 ，，
，有种，
同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，∴有种，
当学生选择三个相邻的偶数，一个学生坐对面有，，，
，，有种，
以学生选择为例，家长的坐法有，，，，
，，，，共种，
同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，∴有种，
当四个学生每两个学生选择相邻偶数时，学生有，，有种，
以学生选择为例，家长坐法有：，，，，
，，，，有种，
同理可得：每一种学生的坐法，家长都有种坐法，∴有种，
综上所述：满足要求的坐法共有种.
故答案为：.
20．2892
【分析】将情况分为五个数中没有数相同；五个数中有两个数相同；五个数中有三个数相同三种情况，分别计算得到答案.
【详解】根据意义知，五位数中，最大，最小.
当五个数中没有数相同时：
选五个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余三个全排列，共有个；
当五个数中有两个数相同时：
选四个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余两个数赋值给，共有
个；
当五个数中有三个数相同时：
选三个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余的一个数赋值给，共有个；
故共有
故答案为：
【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，分类讨论是解题的关键.
21．96
【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即同色，同色，同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即，，三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中、、、、、六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，
即同色，同色，同色，则从四种颜色中取三种颜色有种取法，三种颜色染三个区域有种染法，共种染法；
第二类是用四种颜色染色，即，，中有一组不同色，则有3种方案不同色或不同色或不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为种．
故答案为：96．
【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染相同的颜色，属于中档题．
22．120
【分析】分类讨论白班是否有男职工，结合分步乘法计算原理运算求解.
【详解】若白班无男职工，则不同的安排方法共有（种）．
若白班有男职工，则值白班的不同的安排方法共有（种），
①当值白班的男职工不值晚班时，则值晚班不同的安排方法共有1种；
②当值白班的男职工也值晚班时，则值晚班不同的安排方法共有（种），
则不同的安排方法共有（种）．
综上，不同的安排方法共有（种）．
故答案为：120
【点睛】注意不要重复计算.
23．180
【分析】按甲乙丙3人各分得书籍本数分类即可，注意平均分与不平均分情况.
【详解】6本书分给甲乙丙3人，每人至少1本.
则3人书籍本数分为1，1，4；1，2，3；2，2，2三大类情况.
第一类1，1，4情况：
若甲分1本，已分得书籍，则另两人一人1本，1人4本，共有种，
若甲分4本，即再取3本，则剩余2本书分给乙丙，一人一本，则共有种，
故第一类情况共有种；
第二类1，2，3情况：
若甲分1本，已分得书籍，另两人一人2本，1人3本，共有种，
若甲分2本，另两人一人1本，1人3本，共有种，
若甲分3本，另两人一人1本，1人2本，共有种，
故第二类情况共有种；
第三类2，2，2情况：
每人都两本，故甲再取1本，乙丙平均分剩下4本，则共有种；
所以不同的分发方式种数共.
故答案为：180.
24．5040
【分析】参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.
【详解】若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有种情况：和，
故人参加“演讲团”的不同参加方法数为；
若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有 种情况：和，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为，
故满足条件的方法数为，
故答案为：5040
25．264
【分析】按用色数量的不同分成两类，每一类中分步进行，先确定涂A，D，E三点涂法数，再讨论点B，F，C的涂法数即可.
【详解】计算不同涂色方法数有两类办法：
当涂四色时，先涂A，E，D，有种涂法，再从B，F，C中选一点涂第四种颜色，如B，再涂F，
若F与D同色，则C有2种涂法，若F与D异色，则C有1种涂法，于是得有种涂法，
当涂三色时，先涂A，E，D，有种涂法，再涂B，有2种涂法，则F，C各有1种涂法，于是得有种涂法，
利用分类加法计数原理得不同涂色方法数为：(种)，
所以不同的涂色方法共有264种.
故答案为：264
1
2
1
2
1
2
1
3
2
3
2
3
3
1
3
2
3
2
3
2
2
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2
3
2
3