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新高考数学一轮复习课件 第7章 §7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（含详解）
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这是一份新高考数学一轮复习课件 第7章 §7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（含详解），共60页。PPT课件主要包含了落实主干知识，探究核心题型，课时精练，不在一条直线上，两个点，共面直线，a∩α＝A，a∥α，a⊂α，α∥β等内容，欢迎下载使用。
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、 直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
1.基本事实1：过_______________的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____过该点的公共直线.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______.
2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面.3.空间中直线与直线的位置关系
_____直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；_____直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________.6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：______.
1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)两两相交的三条直线共面.( )
1.(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是A.BM与ED平行B.CN与BM成60°角C.CN与BE是异面直线D.DM与BN是异面直线
正方体的直观图如图所示.很显然，BM与ED不平行，故A错误；连接AN，AC，易知△ACN是等边三角形，CN与BM所成角即为∠ANC＝60°，故B正确；连接BE，易知CN∥BE，故C错误；连接BN，DM，易知DM与BN是异面直线，故D正确.
2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与bA.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.
3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形.
AC＝BD且AC⊥BD
∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
跟踪训练1 (1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形.
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
命题点1 空间位置关系的判断例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.异面或平行 B.异面或相交C.异面 D.相交、平行或异面
命题点2 异面直线所成的角例3 (1)如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为
连接AO2，设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E，连接CE，易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，连接CD(图略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝ ，CD＝1.
(2)(2023·长治模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为BB1上一点，平面AEC1将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AE与B1C1所成角的余弦值为
如图，作C1H⊥A1B1于点H，
易得AC⊥平面BB1C1C，
平面AEC1将三棱柱分为两个体积相等的四棱锥C1－A1AEB1和A－BCC1E，
即 ＝ ，则x＝1，所以E为BB1的中点，取CC1中点为F，连接EF，则EF∥B1C1，∠AEF(或其补角)即为异面直线AE与B1C1所成角，
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型.(2)求异面直线所成角的方法
跟踪训练2 (1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线
(2)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝ SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为
如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角.
(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为
例4 (1)(多选)用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是A.这两部分的表面积一定不相等B.截面不会是三角形C.截面不会是五边形D.截面可以是正六边形
空间几何体的切割(截面)问题
如图，一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则平面α一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积相等，根据对称性，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形(如图).
(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，以D1为球心， 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______.
如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，
由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.
由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
跟踪训练3 (1)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为_____.
1.若直线上有两个点在平面外，则A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内
2.(多选)下列命题中不正确的是A.空间四点共面，则其中必有三点共线B.空间四点不共面，则其中任意三点不共线C.空间四点中有三点共线，则此四点不共面D.空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
对于平面四边形来说不成立，故A不正确；若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故B正确；由B的分析可知C不正确；平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D不正确.
3.已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系A.两两垂直 B.两两平行C.两两相交 D.两两异面
如图1，可得a，b，c可能两两垂直；如图2，可得a，b，c可能两两相交；如图3，可得a，b，c可能两两异面.
4.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是 的中点，F是AB的中点，则A.AE＝CF，AC与EF是共面直线B.AE≠CF，AC与EF是共面直线C.AE＝CF，AC与EF是异面直线D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
5.如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E，F 分别是棱AD，BC 的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为
将正四面体补成正方体如图所示，
由于EF⊥平面α，且平面α与四面体的每一个面都相交，故截面为平行四边形MNKL，且KL＋KN＝4，又KL∥BC，KN∥AD，且AD⊥BC，∴KN⊥KL，∴ 平行四边形MNKL 为矩形，
当且仅当KN＝KL＝2 时取等号.
6.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
7.(2023·广州模拟)如图为四棱锥A－DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是线段DF的中点，请写出四棱锥A－DEFG中一对一定相互垂直的异面直线____________________________________.(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形)
AE，DF(或AE，DG或AE，GF
还原该四棱锥的直观图如图所示，连接DF和GE，相交于点O，连接AO，∵DG＝FG，DE＝EF，GE＝GE，∴△GDE≌△GFE，∴∠DGO＝∠FGO，又∵DG＝FG，GO＝GO，∴△DGO≌△FGO，
∵AD＝AF，OD＝OF，∴AO⊥DF，
∵AO∩OE＝O，AO，OE⊂平面AOE，∴DF⊥平面AOE，又AE⊂平面AOE，∴DF⊥AE.
8.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这两个四棱柱的表面相交的交线段总长度为______.
9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).
12.如图，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，若AB＝6，则过A，E，F三点的截面的面积为
连接EF，作直线EF分别与直线DC，DD1的延长线相交于点P，Q，连接AP交BC于点M，连接AQ交A1D1于点N，连接NF，ME.则五边形AMEFN即为过A，E，F三点的截面，如图所示.
在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
则GF∥CD，∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成角，
∴∠EGF＝120°，∴AB与CD所成角的大小为60°.
(1)球O的表面积为_____；
(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是_____.
15.(2023·重庆模拟)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则平面α与该直三棱柱所得截面的周长为 __________.
如图所示，取AC的中点D，连接BD，取A1C1的中点D1，连接B1D1，取AD的中点G，连接EG，连接EF，分别取C1D1，B1C1的中点M，N，连接MN，FN，GM，可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN，又由AB＝BC，可得BD⊥AC，因为AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，
又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，可得EG⊥平面AA1C1C，由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，则平面EGMNF即为平面α，
16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.
(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
存在.当G为PA的中点时满足条件.如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面.
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积.
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、 直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
1.基本事实1：过_______________的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____过该点的公共直线.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______.
2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面.3.空间中直线与直线的位置关系
_____直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；_____直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在_____一个平面内，没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角___________.6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围：______.
1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)两两相交的三条直线共面.( )
1.(多选)如图是某正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列说法正确的是A.BM与ED平行B.CN与BM成60°角C.CN与BE是异面直线D.DM与BN是异面直线
正方体的直观图如图所示.很显然，BM与ED不平行，故A错误；连接AN，AC，易知△ACN是等边三角形，CN与BM所成角即为∠ANC＝60°，故B正确；连接BE，易知CN∥BE，故C错误；连接BN，DM，易知DM与BN是异面直线，故D正确.
2.已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与bA.一定是异面直线B.一定是相交直线C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线
由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若b∥c，则a∥b，与已知a，b为异面直线相矛盾.
3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；
∴四边形EFGH为平行四边形，∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形.
AC＝BD且AC⊥BD
∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内.(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上.(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.
跟踪训练1 (1)如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且A，B，C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必经过A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M
①证明：四边形BCHG是平行四边形；
故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形.
②C，D，F，E四点是否共面？为什么？
命题点1 空间位置关系的判断例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.异面或平行 B.异面或相交C.异面 D.相交、平行或异面
命题点2 异面直线所成的角例3 (1)如图所示，圆柱O1O2的底面半径为1，高为2，AB是一条母线，BD是圆O1的直径，C是上底面圆周上一点，∠CBD＝30°，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为
连接AO2，设AO2的延长线交下底面圆周上的点为E，连接CE，易知∠CAE(或其补角)即为异面直线AC与BD所成的角，连接CD(图略)，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BD＝2，∠CBD＝30°，得BC＝ ，CD＝1.
(2)(2023·长治模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝2，E为BB1上一点，平面AEC1将三棱柱分为上、下体积相等的两部分，则AE与B1C1所成角的余弦值为
如图，作C1H⊥A1B1于点H，
易得AC⊥平面BB1C1C，
平面AEC1将三棱柱分为两个体积相等的四棱锥C1－A1AEB1和A－BCC1E，
即 ＝ ，则x＝1，所以E为BB1的中点，取CC1中点为F，连接EF，则EF∥B1C1，∠AEF(或其补角)即为异面直线AE与B1C1所成角，
(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型.(2)求异面直线所成角的方法
跟踪训练2 (1)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线
(2)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝ SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为
如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角.
(3)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为
例4 (1)(多选)用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是A.这两部分的表面积一定不相等B.截面不会是三角形C.截面不会是五边形D.截面可以是正六边形
空间几何体的切割(截面)问题
如图，一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则平面α一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积相等，根据对称性，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形(如图).
(2)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°，以D1为球心， 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______.
如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，
由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点.
由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，
(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线.
跟踪训练3 (1)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和C1C上(异于端点)，则过三点A，F，E的平面被正方体截得的图形(截面)可能是A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形
(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为_____.
1.若直线上有两个点在平面外，则A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内
2.(多选)下列命题中不正确的是A.空间四点共面，则其中必有三点共线B.空间四点不共面，则其中任意三点不共线C.空间四点中有三点共线，则此四点不共面D.空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
对于平面四边形来说不成立，故A不正确；若四点中有三点共线，则根据“直线与直线外一点可以确定一个平面”知四点共面，与四点不共面矛盾，故B正确；由B的分析可知C不正确；平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D不正确.
3.已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系A.两两垂直 B.两两平行C.两两相交 D.两两异面
如图1，可得a，b，c可能两两垂直；如图2，可得a，b，c可能两两相交；如图3，可得a，b，c可能两两异面.
4.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是 的中点，F是AB的中点，则A.AE＝CF，AC与EF是共面直线B.AE≠CF，AC与EF是共面直线C.AE＝CF，AC与EF是异面直线D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
5.如图，已知四面体ABCD 的各条棱长均等于4，E，F 分别是棱AD，BC 的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α 去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为
将正四面体补成正方体如图所示，
由于EF⊥平面α，且平面α与四面体的每一个面都相交，故截面为平行四边形MNKL，且KL＋KN＝4，又KL∥BC，KN∥AD，且AD⊥BC，∴KN⊥KL，∴ 平行四边形MNKL 为矩形，
当且仅当KN＝KL＝2 时取等号.
6.(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为
7.(2023·广州模拟)如图为四棱锥A－DEFG的侧面展开图(点G1，G2重合为点G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是线段DF的中点，请写出四棱锥A－DEFG中一对一定相互垂直的异面直线____________________________________.(填上你认为正确的一个结论即可，不必考虑所有可能的情形)
AE，DF(或AE，DG或AE，GF
还原该四棱锥的直观图如图所示，连接DF和GE，相交于点O，连接AO，∵DG＝FG，DE＝EF，GE＝GE，∴△GDE≌△GFE，∴∠DGO＝∠FGO，又∵DG＝FG，GO＝GO，∴△DGO≌△FGO，
∵AD＝AF，OD＝OF，∴AO⊥DF，
∵AO∩OE＝O，AO，OE⊂平面AOE，∴DF⊥平面AOE，又AE⊂平面AOE，∴DF⊥AE.
8.如图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这两个四棱柱的表面相交的交线段总长度为______.
9.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).
12.如图，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中点，若AB＝6，则过A，E，F三点的截面的面积为
连接EF，作直线EF分别与直线DC，DD1的延长线相交于点P，Q，连接AP交BC于点M，连接AQ交A1D1于点N，连接NF，ME.则五边形AMEFN即为过A，E，F三点的截面，如图所示.
在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
则GF∥CD，∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成角，
∴∠EGF＝120°，∴AB与CD所成角的大小为60°.
(1)球O的表面积为_____；
(2)若D是BC的中点，过点D作球O的截面，则截面面积的最小值是_____.
15.(2023·重庆模拟)如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，过AB，BB1的中点E，F作平面α与平面AA1C1C垂直，则平面α与该直三棱柱所得截面的周长为 __________.
如图所示，取AC的中点D，连接BD，取A1C1的中点D1，连接B1D1，取AD的中点G，连接EG，连接EF，分别取C1D1，B1C1的中点M，N，连接MN，FN，GM，可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN，又由AB＝BC，可得BD⊥AC，因为AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，
又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，可得EG⊥平面AA1C1C，由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，则平面EGMNF即为平面α，
16.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.
(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
存在.当G为PA的中点时满足条件.如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面.
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积.
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