精品解析：2024年四川省乐山市中考数学试题

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本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共8页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．考生作答时，不能使用任何型号的计算器．
第Ⅰ卷（选择题共30分）
注意事项：
1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上．
2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1. 不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
移项可得一元一次不等式的解集．
【详解】解：，
解得，，
故选：A．
2. 下列文物中，俯视图是四边形的是（ ）
A. 带盖玉柱形器B. 白衣彩陶钵
C. 镂空人面覆盆陶器D. 青铜大方鼎
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提．
得出各个选项中的几何体的俯视图即可．
【详解】解：A．俯视图是圆形，因此选项A不符合题意；
B．俯视图不是四边形，因此选项B不符合题意；
C．俯视图不是四边形，因此选项C不符合题意；
D．俯视图是正方形，因此选项D符合题意；
故选：D．
3. 年，乐山市在餐饮、文旅、体育等服务消费表现亮眼，网络零售额突破亿元，居全省地级市第一．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值．
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴用科学记数法表示为，
故选：C．
4. 下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】边数为n的多边形的内角和，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形的内角和，即可得到．
【详解】解：三角形的内角和等于
四边形的内角和等于
五边形的内角和等于
六边形的内角和等于
所以三角形的内角和最小
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n的多边形的内角和是解此题的关
键．
5. 为了解学生上学的交通方式，刘老师在九年级800名学生中随机抽取了60名进行问卷调查，并将调查结果制作成如下统计表，估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为（ ）
A. 100B. 200C. 300D. 400
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用学校总人数乘样本中乘坐公交车上学的人数的比例，即可得出答案．
【详解】解：估计该年级学生乘坐公交车上学的人数为：
（人），
故选：D．
6. 下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【详解】解：A、∵，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、∵，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
C、∵，
∴四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、∵，不能得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：D．
交通方式
公交车
自行车
步行
私家车
其它
人数（人）
30
5
15
8
2
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理．
7. 已知，化简的结果为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．
先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
8. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A. B. C. D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解：，
，
而，
，
，
故选：A．
9. 已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
∴关于对称轴对称的点坐标为，
∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，
∴，
解得，，
故选：C．
10. 如图，在菱形中，，，点P是边上一个动点，在延长线上找一点Q，使得点P和点Q关于点C对称，连接交于点M．当点P从B点运动到C点时，点M的运动路径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】该题主要考查了菱形的性质，垂直平分线的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上点M的运动路径．
过点C作交于点H，根据，四边形是菱形，，算出，得出，垂直平分，再证明，得出，证明垂直平分，点M在上运动，根据解直角三角形 ．即可求解．
【详解】解：过点C作交于点H，
∵，四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∵点P和点Q关于点C对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴点M上运动，
当点P与点B重合时，点M位于点，
此时，∵，四边形是菱形，，
∴，
∴．
故点M的运动路径长为．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题共120分）
注意事项：
1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效．
2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚．
3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤．
4．本部分共16个小题，共120分．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：______.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用合并同类项法则计算得出答案．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，正确把握运算法则是解题关键．
12. 一名交警在路口随机监测了5辆过往车辆的速度，分别是：66，57，71，69，58（单位：千米/时）．那么这5辆车的速度的中位数是______．
【答案】66
【解析】
【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
先将数据从小到大重新排列，根据中位数的概念求解可得．
【详解】解：将这组数据重新排列为57，58，66，69，71，
所以这组数据的中位数为66．
故答案为：66．
13. 如图，两条平行线a、b被第三条直线c所截．若，那么______．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了直线平行的性质：两直线平行同位角相等．也考查了平角的定义．
根据两直线平行同位角相等得到，再根据平角的定义得到，从而可计算出．
【详解】解：如图，
，
，
而，
，
故答案为：．
14. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
15. 如图，在梯形中，，对角线和交于点O，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握平行线间的距离，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
设的距离为，则，即，证明，则，计算求解即可．
【详解】解：设的距离为，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是______（填序号）；
①；②；③．
（2）若一次函数图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为______．
【答案】 ①. ③ ②. 或
【解析】
【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．熟练掌握新定义，一次函数，反比例函数，二次函数图象上的点到坐标轴距特点，是解决问题的关键．
（1）①中，取，不存“近轴点”；
②，由对称性，取，不存在“近轴点”；
③，取时，，得到是的“近轴点”；
（2）图象恒过点，当直线过时， ，得到；当直线过时，，得到．
【详解】（1）①中，
时，，
不存在“近轴点”；
②，
由对称性，当时，，
不存在“近轴点”；
③，
时，，
∴是的“近轴点”；
∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③
故答案为：③；
（2）中，
时，，
∴图象恒过点，
当直线过时，，
∴，
∴；
当直线过时，，
∴，
∴；
∴m的取值范围为或．
故答案为：或．

三、解答题：本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，算术平方根．熟练掌握绝对值，零指数幂，算术平方根是解题的关键．
先分别计算绝对值，零指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18. 解方程组：
【答案】详见解析
【解析】
【分析】用加减消元法把二元一次方程转化成一元一次方程．
【详解】解：①＋②，得．
解得．
把代入②，得．
原方程组的解是．
19. 知：如图，平分，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用证明，即可证明．
【详解】解：平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握、、、等全等三角形的判定方法是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下：
解：…①
…②
…③
（1）小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误；
（2）请帮助小乐同学写出正确的解答过程．
【答案】（1）③ （2），
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底；
（2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可．
【小问1详解】
解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底，
应为：；
【小问2详解】
解：
当时，原式
21. 乐山作为闻名世界的文化旅游胜地，吸引了大量游客．为更好地提升服务质量，某旅行社随机调查了部分游客对四种美食的喜好情况（每人限选一种），并将调查结果绘制成统计图，如图所示．
…④
…⑤
当时，原式．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽取的游客总人数为______人，扇形统计图中m的值为______；
（2）请补全条形统计图；
（3）旅行社推出每人可免费品尝两种美食的活动，某游客从上述4种美食中随机选择两种，请用画树状图或列表的方法求选到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率．
【答案】（1）240，35
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考音了统计图．
（1）根据：该项所占的百分比该项人数÷总人数．两图给出了“跷脚牛肉”的数据，代入即可算出抽取的游客总人数，然后再算出“钵钵鸡”的人数；
（2）根据条形图中数据和调查总人数，先计算出喜欢“甜皮鸭”的人数，再补全条形图；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”“钵钵鸡和跷脚牛肉”的结果数，然后根据概率公式求解．
【小问1详解】
解：本次抽取的游客总人数为(人)，
，
故答案为：240，35；
【小问2详解】
“甜皮鸭”对应的人数为(人)，
补全图形如下：
【小问3详解】
假设“麻辣烫”“跷脚牛肉”“钵钵鸡”“甜皮鸭”对应为“A、B、C、D”，
画树状图如图所示，
共有12种等可能结果数，其中抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”题目的结果数为2，
∴抽到“钵钵鸡和跷脚牛肉”的概率是．
22. 如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
（1）求、的值和一次函数的表达式；
（2）连结，求点到线段的距离．
【答案】（1），，
（2）点到线段的距离为
【解析】
【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式；
（2）连结，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据
，计算得的长度，即为点到线段的距离．
【小问1详解】
点、在反比例函数图象上
，
又一次函数过点，
解得：
一次函数表达式为：；
【小问2详解】
如图，连结，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点
，
轴，
点，，
点，，
在中，
又
即
∴，即点C到线段AB的距离为．
【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
23. 我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）秋千绳索的长度为尺
（2）能，
【解析】
【分析】该题主要考查了勾股定理的应用以及解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）如图，过点作，垂足为点B．设秋千绳索的长度为x尺．由题可知，，，，得出．在中，由勾股定理解得，即可求解；
（2）由题可知，，．在中，得出
，同理，．再根据，列等式即可求出．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
【小问2详解】
能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
24. 如图，是的外接圆，为直径，过点C作的切线交延长线于点D，点E为上一点，且．
（1）求证：；
（2）若垂直平分，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）如图1，连结．则，即．由为直径，可得，即．则．由，可得．由，可得．则．进而可证．
（2）如图2，连结．由垂直平分，可得．则为等边三角形．，．由，可得．由，可得．．证明为等边三角形．则，．．则．．．．，根据，计算求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连结．
图1
∵为的切线，
∴，即．
又∵为直径，
∴，即．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：如图2，连结．
图2
∵垂直平分，
∴．
又∵，
∴为等边三角形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等，平行线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，正弦，扇形面积是解题的关键．
25. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A．
（1）若，求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围；
（3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完
美点”，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键．
（1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标；
（2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围；
（3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围．
【小问1详解】
解：当时，抛物线．
∴顶点坐标．
【小问2详解】
令，则，
∴，
∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个，
∴“完美点”的个数为4个或5个．
∵，
∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，；
当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，．
∴．
∴a的取值范围是．
小问3详解】
根据，
得抛物线的顶点坐标为，过点，，．
∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，
显然，“完美点”，，符合题意．
下面讨论抛物线经过，的两种情况：
①当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个．
②当抛物线经过时，解得此时，，，．
如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个．
∴a的取值范围是．
26. 在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，，点D、E在边上，且，，，求的长．
解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结．
由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，，，
∴___①___．
∴．
又∵，
∴中，___②___．
∵，，
∴___③___．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．
【拓展应用】
如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究
的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．
【问题再探】
如图5，在中，，，，点D、E在边上，且．设，，求y与x的函数关系式．
【答案】【问题解决】①；②；③5；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】
【解析】
【分析】（1）【问题解决】根据题中思路解答即可；
（2）【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连结．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解；
（3）【拓展应用】如图所示，延长交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为
矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明；
（4）【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连结．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解；
【详解】解：（1）【问题解决】解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结．
由旋转的特征得，，，．
∵，，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，，，，
∴①．
∴．
又∵，
∴在中，②．
∵，，
∴③．
（2）【知识迁移】．
证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到．
过点作交边于点，连结．
由旋转的特征得．
由题意得，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
又∵为正方形的对角线，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴．
在和中，，
∴．
∴．
在中，，
∴．
（3）【拓展应用】．
证明：如图所示，延长交延长线于点，交延长线于点，
将绕着点顺时针旋转，得到，连接．
则．
则，，
，
，
在和中
，
，
∴，
过点H作交于点O，过点H作交于点M，则四边形为矩形．
∴，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在中，，，
∴，
即，
又∴，
∴，
即，
（4）【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连结．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．
由旋转的特征得．
，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，
同理可得．
，
，
，
又∵，
∴四边形为矩形．
，
，
在中，．
，
解得．
【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是旋转变换的性质、矩形的性质和判定、正方形的性质和判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用旋转变换作图，掌握以上知识点是解题的关键．