新高考数学二轮复习专题培优练习专题24 排列组合与二项式定理（2份打包，原卷版+解析版）

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1．（2024届贵州省贵阳市六校高三上学期联合考试）贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛总决赛在黔东南苗族侗族自治州台江县台盘村开赛.该联赛由台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展演变而来，被网友称为“村BA”.村BA给全国人民展现的不仅是贵州人热爱生活的精神，更展现了如今欣欣向荣的贵州山水人文，同时给贵州的旅游带来巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大区赛总决赛落下帷幕，为庆祝比赛顺利结束，主办方设置一场扣篮表演，分别由重庆、贵州、四川、云南代表队每队各选出2名球员参加扣篮表演，贵州队作为东道主，扣篮表演必须在第一位及最后一位，那么一共有（ ）种表演顺序.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意易知，一共有8个人需要排列.先确定贵州两名球员的顺序为 SKIPIF 1 < 0 ，在确定其余6人顺序为 SKIPIF 1 < 0 ，由分步乘法原理可得一共有 SKIPIF 1 < 0 种顺序.故选C.
2．（2024届皖豫名校联盟高中毕业班高三上学期10月大联考）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故选A
3．（2024届广西桂林市等3地高三上学期联合检测） SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．60C． SKIPIF 1 < 0 D．120
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的展开式通项为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ．故选D
4．（2024届贵州省高三适应性联考）为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种分配方式
A．540B．660C．980D．1200
【答案】B
【解析】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，
① SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
共有 SKIPIF 1 < 0 （种）.故选B.
5．（2024届浙江省名校协作体高三上学期联考）某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师．由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是（ ）
A．124B．246C．114D．108
【答案】C
【解析】设学校为 SKIPIF 1 < 0 ，先把甲乙两人安排到不同学校，有 SKIPIF 1 < 0 种，不妨设甲在A，乙在B，只需剩余3人至少有1人去C即可，利用间接法计算，有 SKIPIF 1 < 0 种不同安排方法，根据分步乘法计数原理可知，共有 SKIPIF 1 < 0 种不同安排方法.故选C
6．（2024届浙江省A9协作体高三上学期联考）如图，一只青蛙开始时位于数轴上原点的位置，每次向数轴的左侧或右侧随机跳跃一个单位，记 SKIPIF 1 < 0 为第 SKIPIF 1 < 0 次跳跃后对应数轴上的数字（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ），则满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的跳跃方法有多少种（ ）

A．336B．448C．315D．420
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，前 SKIPIF 1 < 0 次向左跳跃 SKIPIF 1 < 0 次，向右跳跃 SKIPIF 1 < 0 次，后 SKIPIF 1 < 0 次向右跳跃 SKIPIF 1 < 0 次，所以有 SKIPIF 1 < 0 种；当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，前 SKIPIF 1 < 0 次向右跳跃 SKIPIF 1 < 0 次，向左跳跃 SKIPIF 1 < 0 次，后 SKIPIF 1 < 0 次向左跳跃 SKIPIF 1 < 0 次，向右跳跃 SKIPIF 1 < 0 次，所以有 SKIPIF 1 < 0 种.综上所述：满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的跳跃方法有 SKIPIF 1 < 0 种.故选B
7．（2023届北京市第二中学高三校模）“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根 SKIPIF 1 < 0 长的尺子，要能够量出长度为 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根 SKIPIF 1 < 0 的尺子，要能够一次量出长度为 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（ ）个刻度
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解析】若有一根 SKIPIF 1 < 0 的尺子，量出长度为 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 且为整数的物体，
则当尺子有3个刻度时满足条件
设 SKIPIF 1 < 0 为长度， SKIPIF 1 < 0 为每段长度， SKIPIF 1 < 0 为刻度对应的数量，则有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
下证，当尺子有2个刻度时不能量出 SKIPIF 1 < 0 的物体长度
设 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 中有1个0，x的取值至多有3个
当 SKIPIF 1 < 0 中有2个0时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，x的取值至多有2个
当 SKIPIF 1 < 0 中没有0时，x的取值有1个
所以x取值至多有6个，即当尺子有2个刻度时不能量出 SKIPIF 1 < 0 的物体长度．故选A
8．（2024届陕西省西安市高三上学期10月模拟）五岳是中国汉文化中五大名山的总称，分别为东岳泰山、西岳华山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主为领略五岳之美，决定用两个月的时间游览完五岳，且每个月只游览五岳中的两大名山或三大名山（五岳只游览一次），则恰好在同一个月游览华山和恒山的概率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意，确定一个月的游览方案，则另一个月游览其余名山即可.
该旅游博主游览五岳可分两类方法：
第一类，第一个月游览两大名山，从五大名山中任选两大名山，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
第二类，第一个月游览三大名山，从五大名山中任选三大名山，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
由分类计数原理可得，共有 SKIPIF 1 < 0 种方法.
设 SKIPIF 1 < 0 “该旅游博主恰好在同一个月游览华山和恒山”，可分两步完成这件事：
第一步，从两个月中选一个月游览华山和恒山，有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
第二步，确定游览华山和恒山的这个月的游览方案，分为两类：
若该月只游览两大名山，则只有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
若该月浏览三大名山，则再从其余三大山中任取一大山游览，有 SKIPIF 1 < 0 种方法，
则第二步共有 SKIPIF 1 < 0 种方法；
由分步计数原理，则完成事件 SKIPIF 1 < 0 共有 SKIPIF 1 < 0 种方法.
由古典概型概率公式得 SKIPIF 1 < 0 .故选C.
9．（2024届广东省东莞外国语学校高三上学期月考） SKIPIF 1 < 0 的展开式中， SKIPIF 1 < 0 的系数为（ ）
A．80B．60C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，则其展开式通项 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的系数为 SKIPIF 1 < 0 ，故选D．
10．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中不同数字的种类，如 SKIPIF 1 < 0 ，记“ SKIPIF 1 < 0 ”为事件 SKIPIF 1 < 0 ，则事件 SKIPIF 1 < 0 发生的概率 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意知， SKIPIF 1 < 0 的排列共有 SKIPIF 1 < 0 种.当 SKIPIF 1 < 0 时，即排列中有2个不同的数字：若有3个数字相同，有 SKIPIF 1 < 0 种情况；若有2个数字相同，有 SKIPIF 1 < 0 种情况，此时共有 SKIPIF 1 < 0 种情况，所以事件A的概率为： SKIPIF 1 < 0 .故选B.
11．（2023届安徽省定远中学高三下学期6月高考预测）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160B．20220C．20280D．20340
【答案】A
【解析】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可能：
（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.
若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；
若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有 SKIPIF 1 < 0 种可能；
若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有 SKIPIF 1 < 0 种可能；
小计：1+12+12=25；
（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型
若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；
若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个互异，故有 SKIPIF 1 < 0 种可能；
若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）（H※※）（H※）（※）（H），故有 SKIPIF 1 < 0 种可能；
若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+ SKIPIF 1 < 0 种可能；
若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；
小计： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型
若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；
若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；
若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）（※※）（※※）（※），故有 SKIPIF 1 < 0 种可能；
若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）（H）都成立，有2种可能；
若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可能.
小计 SKIPIF 1 < 0 ；
诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型
若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；
若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；
若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），其中Z※※有 SKIPIF 1 < 0 种可能，故此小类有3种可能；
若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；
小计 SKIPIF 1 < 0 ；
（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”
只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；
综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 种.故选A
12．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 展开式中 SKIPIF 1 < 0 项系数， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法不正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 是最大值
【答案】B
【解析】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 的中间项，故 SKIPIF 1 < 0 最大，所以A，D正确；令 SKIPIF 1 < 0 可知： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B不正确；
令 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 .故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确.故选B.
二、多选题
13．（2024届河北省新乐市第一中学高三上学期月考）若 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，对于A中，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；对于B中，由二项式 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；对于C中，由展开式的通项 SKIPIF 1 < 0 知：当 SKIPIF 1 < 0 时，可得展开式的系数为正值，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得展开式的系数为负值；所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
对于D中，由 SKIPIF 1 < 0 ，
两边求导数，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D错误.故选AC.
14．（2024届重庆市巴蜀中学高三上学期适应性月考）在二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．第6项的二项式系数最大B．第6项的系数最大
C．所有项的二项式系数之和为 SKIPIF 1 < 0 D．所有项的系数之和为1
【答案】ACD
【解析】通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其二项式系数为 SKIPIF 1 < 0 ，二项式 SKIPIF 1 < 0 的展开式共 SKIPIF 1 < 0 项，中间项的二项式系数最大，
故第6项的二项式系数 SKIPIF 1 < 0 是最大的，故A正确；二项式系数和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C正确；
令 SKIPIF 1 < 0 得所有项的系数和为1，故D正确；因为展开式中第六项的系数为负数，所以第六项的系数不可能为最大，故B选项错误，故选ACD.
15．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（ ）
A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种
B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种
C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种
D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种
【答案】AC
【解析】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有 SKIPIF 1 < 0 （种），故A正确；
对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有 SKIPIF 1 < 0 （种），故B错误；
对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有 SKIPIF 1 < 0 （种），故C正确；
对于D，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有 SKIPIF 1 < 0 （种），故D错误.故选AC.
16．（2023届辽宁省朝阳市高三上学期期末）将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则这样的数列共有360个
B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个
C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则这样的数列共有71个
【答案】AD
【解析】对于A：由于 SKIPIF 1 < 0 为奇数，根据对称性可知这样的数列有 SKIPIF 1 < 0 个，故A正确；对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，
则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有 SKIPIF 1 < 0 个，故B错误；
对于C：从1，2，3，4，5，6中选出 SKIPIF 1 < 0 个数排在 SKIPIF 1 < 0 的右侧，其余排在 SKIPIF 1 < 0 的左侧，
得到先减后增的数列有 SKIPIF 1 < 0 个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在 SKIPIF 1 < 0 的右侧，其余排在 SKIPIF 1 < 0 的左侧，得到先减后增的数列有 SKIPIF 1 < 0 个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在 SKIPIF 1 < 0 的右侧，其余排在 SKIPIF 1 < 0 的左侧，得到先减后增的数列有 SKIPIF 1 < 0 个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在 SKIPIF 1 < 0 的右侧，其余排在 SKIPIF 1 < 0 的左侧，得到先减后增的数列有 SKIPIF 1 < 0 个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在 SKIPIF 1 < 0 的右侧，其余排在 SKIPIF 1 < 0 的左侧，得到先减后增的数列有 SKIPIF 1 < 0 个；故满足条件的总个数为： SKIPIF 1 < 0 个，故C错误．对于D：若 SKIPIF 1 < 0 则这样的数列有 SKIPIF 1 < 0 个，若 SKIPIF 1 < 0 则这样的数列有 SKIPIF 1 < 0 个，若 SKIPIF 1 < 0 则这样的数列有 SKIPIF 1 < 0 个，所以满足条件的这样的数列共有 SKIPIF 1 < 0 个，故D正确；故选AD
17．若 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】A选项： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，A对．B选项： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ①
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ，B对．
C选项： SKIPIF 1 < 0 ，
求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，C错．D选项： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
比较两边 SKIPIF 1 < 0 的系数
SKIPIF 1 < 0 ，D正确．故选ABD.
三、填空题
18．（2024届陕西省西安市高三上学期10月模拟）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的展开式中存在常数项，则展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为 .
【答案】6
【解析】 SKIPIF 1 < 0 展开式的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因为存在常数项，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故只有当 SKIPIF 1 < 0 时满足题意，
即求 SKIPIF 1 < 0 展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项的系数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中含 SKIPIF 1 < 0 的项为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以展开式中 SKIPIF 1 < 0 的系数为6.
19．（2024届山东省齐鲁名校高三上学期学业质量联合检测）已知 SKIPIF 1 < 0 的展开式中第4项与第6项的二项式系数相等，写出展开式中的一个有理项 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （写出其中一个即可）
【解析】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 的展开式的通项为：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 为有理项，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，4，8，
故展开式中所有的有理项为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
20．（2024届江浙两省县域高中发展共同体高三上学期10月联考）第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，则排法种数共有 .（用数字作答）
【答案】336
【解析】由题意可分两种情形：
①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，
其中一种取两个，另一种选一个，有 SKIPIF 1 < 0 种排法；
其次，后排有 SKIPIF 1 < 0 种排法，故共有 SKIPIF 1 < 0 种不同的排法；
②前排含有三种不同名称的吉祥物，有 SKIPIF 1 < 0 种排法；
后排有 SKIPIF 1 < 0 种排法，此时共有 SKIPIF 1 < 0 种排法；
因此，共有 SKIPIF 1 < 0 种排法
21．设整数数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则这样的数列的个数为 .
【答案】80
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 …①，
SKIPIF 1 < 0 …②，
用t表示 SKIPIF 1 < 0 中值为2的项数，
由②知，t也是 SKIPIF 1 < 0 中值为2的项数，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取法数为 SKIPIF 1 < 0 ，
取定 SKIPIF 1 < 0 后，任意指定 SKIPIF 1 < 0 的值，有 SKIPIF 1 < 0 种方式.
由①知，应取 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 为偶数，
而这样的 SKIPIF 1 < 0 的取法是唯一的，并且确定了整数 SKIPIF 1 < 0 的值，
进而数列 SKIPIF 1 < 0 唯一对应一个满足条件的数列 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.
22．某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数为 ．
【答案】236
【解析】（1）秋老师教9班，曲老师可在4,5,7,10班中选两班，再分两小类：
①曲老师不教5班，则曲老师可选 SKIPIF 1 < 0 （种）；王老师可选 SKIPIF 1 < 0 （种）；剩余的3个班3个老师全排列安排有 SKIPIF 1 < 0 （种）；按分步相乘计数原理有： SKIPIF 1 < 0 （种）；
②曲老师教5班，则曲老师可选 SKIPIF 1 < 0 （种）；剩余的4个班4个老师全排列安排有 SKIPIF 1 < 0 （种）；按分步相乘计数原理有： SKIPIF 1 < 0 （种）.
按分类相加计数原理，秋老师教9班有： SKIPIF 1 < 0 （种）；
（2）秋老师教10班，同理也有126（种）；
（3）秋老师同时教9班和10班，曲老师可在4,5,7班中选两班，再分两小类：
①曲老师不教5班，则曲老师教4班和7班，王老师再从2,6班选一个，可选 SKIPIF 1 < 0 （种）；剩余的2个班2个老师全排列安排有 SKIPIF 1 < 0 （种）；按分步相乘计数原理有： SKIPIF 1 < 0 （种）；
②曲老师教5班，则曲老师可选 SKIPIF 1 < 0 （种）；剩余的3个班3个老师全排列安排有 SKIPIF 1 < 0 （种）；按分步相乘计数原理有： SKIPIF 1 < 0 （种）.
按分类相加计数原理，秋老师同时教9班和10班有： SKIPIF 1 < 0 （种）；
但秋老师同时教9班和10班在（1）和（2）两种分类里都涉及到，所以重复需减去，
故不同的排课方法种数有： SKIPIF 1 < 0 （种）.

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