[数学]2022_2023学年安徽马鞍山雨山区马鞍山中加双语学校高二下学期月考数学试卷(第二次)(原题版+解析版)

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2022~2023学年安徽马鞍山雨山区马鞍山中加双语学校高二下学期月考数学试卷（第二次）
1.
的展开式中 项的系数为（
B.
）
A.
C.
D.
答案
解析
A
解：
令
展开式的通项公式
，解得 ，
，
所以展开式中 项的系数为
因此正确答案为：A.
，
2. 已知随机变量 服从二项分布
A. 3
，则
（
）
B. 4
C. 9
D. 10
答案
解析
C
【分析】
首先求得
【详解】
，再根据方差的性质
，即可求解
.
随机变量 服从二项分布
，
则
.
故选：C.
3. 已知随机变量 服从正态分布
A.
，若
，则
（
）
B.
C.
D.
答案
解析
B
因为随机变量 服从正态分布
所以
，
因此正确答案为：B
4. 中国代表团在2022年北京冬奥会获得九枚金牌，其中雪上项目金牌为5枚，冰上项目金牌为4枚.现有6名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项
目和冰上项目都至少有2人参加，则不同的报名方案有（
A. 35 B. 50
）
C. 70
D. 100
答案
解析
B
【分析】
根据要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，可将6名同学分为
少种，再由分类加法计数原理可得答案.
和
两类，通过分步乘法计数原理，分别求出每一类组合有多
【详解】
由题干可知，要求雪上项目和冰上项目都至少有2人参加，则组合为：
和
两类，
（1）若为“
”组合，将6名同学分为两组，一组2人，另一组4人，有
种；
种分组方式；将分好的2组在雪上项目和冰上项目进行全
排列有 种，由分步乘法计数原理，则该组合有
（2）若为“
”组合将6名同学分为两组，一组3人，另一组也为3人，有
种；
种分组方式，将分好的2组在雪上项目和冰上项目进
行全排列有 种，由分步乘法计数原理，则该组合有

由分类加法计数原理，则不同的报名方式有
故选：B.
种；
5. 若将整个样本空间想象成一个
的面积表示（
的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积，则如图所示的涂色部分
）
A. 事件 发生的概率
C. 事件 不发生条件下事件 发生的概率
B. 事件 发生的概率
D. 事件 同时发生的概率
答案
解析
A
【分析】
理解条件概率
和
的含义，表示出阴影部分面积，即可得阴影部分面积表示的含义.
【详解】
由题意可得，题图所示的涂色部分的面积为：
．
.
故选：A.
6. 考察下列两个问题：①已知随机变量
游，每人只去一个景点，设A表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”， 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记
A. B. C. D.
，且
，
，记
；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅
，则（
）
答案
解析
C
解：由
则
，解得
，
，
又
，所以
.
因此正确答案为：C.
7. 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x
为（
A. (0，2019)
－f(x)<0，其中
是函数f(x)的导函数.若2f(m－2019)>(m－2019)f（2），则实数m的取值范围
）
B. (2019，＋∞)
C. (2021，＋∞)
D. (2019，2021)
答案
解析
D
令h(x)＝
，x∈(0，＋∞)，
则h′(x)＝
∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，
∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵2f(m－2019)>(m－2019)f（2），m－2019>0，
∴
，
即h(m－2019)>h（2）
∴m－2019<2且m－2019>0，
解得2019∴实数m的取值范围为(2019，2021).
因此正确答案为：D

8. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为
．记该棋手连胜两盘的概率为 ，则（
A. 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
C. 该棋手在第二盘与乙比赛， 最大
，且
）
B. 该棋手在第二盘与甲比赛， 最大
D. 该棋手在第二盘与丙比赛， 最大
答案
解析
D
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为
则
甲
，
，
，
甲
乙
丙
，
，
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为
则
乙
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
丙
，
则
甲
乙
，
乙
丙
，
即
，
，
丙
甲
乙
乙
则该棋手在第二盘与丙比赛， 最大．
综上，选项 判断正确；选项 判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关，选项 判断错误．
故选：
．
9. 带有编号1、2、3、4、5的五个球，则（
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有 种放法
）
B. 放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有 种放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入)，共有
放法
种 D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有
种不同的放法
答案
解析
ACD
对于A：每个球都可以放入4个不同的盒子，则共有
对于B：放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，则有：
若把其中4个球投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，共有
种放法，A无误；
种放法；
全部投入4个不同的盒子里，每盒至少一个，相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有
故共有 种放法，但 ，B有误；
对于C：先选择4个球，有 种，再选择一个盒子，有 种，故共有
种放法；
种放法，C无误；
对于D：全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，则相当于把其中的2个球捆绑成一个球，再进行排列，共有
种放法，D无
误；
因此正确答案为：ACD.
10. (多选)下列说法正确的是（
A. 曲线的切线和曲线可能有两个交点
C. 若 不存在，则曲线
）
B. 过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点
D. 在点 处有切线， 不一定存在
在点
处无切线
答案
解析
AD
【分析】
举例说明，即可判断选项A，B是否正确；可根据导数的几何意义和斜率的关系即可判断选项C，D是否正确．
【详解】
曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，如曲线
A正确，B不正确；
在
处的切线与曲线有另外一个交点
,故

不存在，曲线
故答案为：AD.
在点
处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为
，故C不正确；D选项正确．
11. 医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚
丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，
根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率
，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
C.
D. 假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于等于
的数量，则
．
答案
解析
ABC
【分析】
结合正态分布的对称性、 原则、独立重复试验概率计算公式，对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】
由题意可知，
对于A，因为
对于B，因为
，
.
，所以，
，故A正确；
，故B正确；
，
，
所以根据正态密度曲线的特点可知
对于C，因为
所以
，且
，
，故C正确；
对于D，一只医用口罩过滤率小于
的概率约为
，
所以
，故D错误.
故选：ABC
12. 2022年世界田联半程马拉松锦标赛，是扬州首次承办高规格、大规模的国际体育赛事.运动会组织委员会欲从4名男志愿者、3名女志愿者中随机抽
取3人聘为志愿者队的队长，下列说法正确的有（
A. 设“抽取的3人中恰有1名女志愿者”为事件A，则
）
B. 设“抽取的3人中至少有1名男志愿者”为事件B，则
D. 用Y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则
C. 用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则
答案
解析
BD
对于A：从7名志愿者中抽取3人，所有可能的情况有
，故A有误；
（种），其中恰有1名女志愿者的情况有
（种），故
对于B：
，故B无误；
对于C：通过题意知X的可能取值为0，1，2，3，则
，
，
，
，
所以
，故C有误.
对于D：通过题意分析可以得Y的可能取值为0，1，2，3，则
，
，
，
，
则
，
，
则
，故D无误.
因此正确答案为：BD.
13.
的展开式中
的系数为
.（用数字作答）
答案
-162

解析
4属开式的通项公式为
.当
时，x
4的展开式中
的系数为
；当
时
的展开式中
的系数为
，故
（ —
）
的展开式中 的系数为-162.
因此正确答案为：-162
14. 已知函数
,
,若对任意
都存在
使
成立,则实数 的取值范围是
.
答案
解析
对任意
都存在
使
成立，
所以得到
而
，
，所以
，使
，
即存在
，
此时
所以
，
，
，
因此将问题转化为
存在
设
，使
，则
，
成立，
，
当
，
，
单调递增，
所以
，
即
，所以
，
所以实数 的取值范围是
因此正确答案为：
.
.
15. 某学校在2022年1月高三期末考试中有980人参加了数学考试，若数学成绩
以上的人数为总人数的 ，则此次高三期末考试中数学成绩在70分到120分之间的学生有
（满分为150分），统计结果显示数学考试成绩在70分
人．
答案
解析
560
因为数学成绩
，所以其正态分布曲线关于直线
对称，
又因为成绩在70分以上的人数为总人数的
，
由对称性知成绩在70分到120分之间的人数为总人数的
，
所以此次数学考试成绩在70分到120分之间的学生有
因此正确答案为：560
（人），
16. 对于三次函数
数解 ，则称点
，给出定义：
是函数
的导函数，
是
的导函数，若方程
有实
为函数
的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且
拐点就是对称中心.若
（2）
，请你根据这一发现，求：（1）函数
.
的对称中心为
；
答案
/
，
2013
解析
【分析】
（1）根据“拐点”的定义，求
的
即可；
（2）根据（1）得出的对称中心为
，根据对称性求解即可
【详解】
，
，令
，∴
，∴
∴对称中心为
，
∴
，∴
.
故答案为：
；2013

17. 一个盒子里装有 张卡片，其中有红色卡片 张，白色卡片 张，从盒子中任取 张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
(1)求取出的 张卡片中，至少有 张红色卡片的概率；
(2)在取出的 张卡片中，白色卡片数设为 ，求随机变量 的分布列和数学期望．
答案
解析
(1)
；
(2)分布列见解析， .
【分析】
（1）应用古典概型及对立事件的概率求法，求取出的 张卡片中，至少有 张红色卡片的概率；
（2）由题设知 的所有可能取值为 ， ， ，再分别求出对应的概率值，进而写出分布列，最后根据分布列求期望即可.
【详解】
（1）设“取出的 张卡片中，至少有 张红色卡片”为事件 ，则
（2）随机变量 的所有可能取值为 ， ， .
.
，
，
.
所以 的分布列为
P
0
1
.
2
随机变量 的数学期望：
18. 在二项式
的展开式中，______．给出下列条件：
①若展开式前三项的二项式系数的和等于37；
②若展开式中第3项与第2项的二项式系数之比为7：2；
③所有偶数项的二项式系数的和为128．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并且完成下列问题：
(1)求
展开式中x的系数；
(2)写出
展开式中二项式系数最大的项（不需要说明理由）．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）根据所选条件求出 的值，即可得到二项式展开式的通项，即可求出展开式中 的系数；
（2）根据展开式的二项式系数的特征，得到第5项的二项式系数取得最大，再根据通项计算可得；
【详解】
（1）解：因为
若选①，则
展开式中第
，即
项的二项式系数为 ，
，即
，即
．解得
，令
或
（舍去）
，所以
若选②：则
若选③：则
，解得
，解得
；
；
综上可得
即为
则展开式的通项为
解得
，故展开式中 的系数为
；
（2）解：因为
的项为
展开式中一共含有 项，故第5项二项式系数最大，
，即展开式中二项式系数最大
；
19. 已知函数
（1）当
.
时，讨论
时，
的导函数
的单调性；
（2）当
，求 的取值范围.

答案
解析
（1）当
（2）
时，
，
的单调递减区间为
；当
时，
，
的单调递增区间为
；
，
，
，
，
.
【分析】
(1)
的单调性只要再对
求导，并确定其符号区间即可；
(2) 对参数 讨论，把“当
【详解】
时，
”可转化为“当
时，
”.
（1）当
时，
，
，
当
当
时，
，
的单调递减区间为
；
，
，
，
时，
，
的单调递增区间为
.
（2）
，
（i）当
时，
.
，所以
在
上单调递增，
（ii）当
由
时，
，
，得
时，
，
①当
，所以
时，
，
在
上单调递增，
，
又由
，所以
，即
在
上单调递增，
，
所以有
,
②当
又由
时，
，当
时，
，
在
，
上单调递减，
，所以
，所以
在
上单调递减，
所以有
综上:
，故此时不满足，
.
【点睛】
函数单调性确定方法:①定义法；②利用导函数符号.当变量分离求参数范围不方便时，可以讨论参数范围确定导函数符号，探讨原函
数单调性，进而确定函数最值；本题为中档题，是高考热点.
20. 已知甲箱产品中有5个正品和3个次品，乙箱产品中有4个正品和3个次品
(1)如果依次不放回地从乙箱中抽取2个产品，求第2次取到次品的概率
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品
（i）求从乙箱中取出的这个产品是正品的概率
（ii）已知从乙箱中取出的这个产品是正品，求从甲箱中取出的是2个正品的概率
答案
解析
(1) ；
(2)（i） ；（ii）
.
【分析】
（1）记事件 =“第i次从乙箱中取到次品”，i=1,2，再借助全概率公式计算作答.
（2）记事件 =“从乙箱取一个正品”，从甲箱中取出两个正品、一个正品一个次品、两个次品的事件分别记为
，再利用全
概率、条件概率公式求解作答.
（1）
令事件 =“第i次从乙箱中取到次品”，i=1,2，
则
，
因此
，
所以第2次取到次品的概率是 .
（2）
（i）令事件 =“从乙箱取一个正品”，事件 =“从甲箱中取出两个正品”，事件 =“从甲箱中取出一个正品一个次品”，
事件 =“从甲箱中取出两个次品”， 互斥，且 ，
，
，
则
，

所以从乙箱中取出的这个产品是正品的概率是
.
（ii）通过题意，从甲箱中取出的是2个正品的概率即是在事件 发生的条件下事件 发生的概率，
则
，
所以从甲箱中取出的是2个正品的概率是
.
21. 已知函数
的图象在
，求函数 的单调区间；
图象上存在一点
处的切线为
.
(1)若函数
(2)设函数
一.
处的切线为直线 ，若直线 也是曲线
的切线，证明：实数 存在，且唯
答案
解析
(1)
的单调递增区间为
和
；
(2)证明见解析.
【分析】
(1)根据给定条件结合导数的几何意义求出函数
(2)利用导数的几何意义求出直线 ，设出 与曲线
，再借助导数求出函数
的单调区间.
相切的切点，
写出由该切点所得的切线 ，再借助函数
(1)
性质，结合函数的零点即可推理作答.
函数
因
定义域为
的图象在
，求导得：
处的切线为
，
，则有
，解得
，即
，
因此，
，
且
.
，
，
所以函数
(2)
的单调递增区间为
和
由函数
得，
，
，则切线 的方程为
，由
，即
，
设直线 与曲线
相切于点
求导得：
，
，
则直线 的方程也为
因此有：
，即
，即
在区间
，整理得：
，
由(1)知，
上递增，又
，
，
于是得方程
必在区间
上有唯一的根，即方程
在
上有唯一的根，
因
，
，因此，方程
在
上唯一的根就是 ，而
，
所以 存在，且唯一.
【点睛】
结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点
处的切线方程为：
.
22. 浙江省东魁杨梅是现在世界上最大果形的杨梅，有“乒乓杨梅”、“杨梅之皇”的美誉.东魁杨梅始于浙江黄岩区江口街道东岙村一棵树龄约120
多年的野杨梅树，经过东岙村和白龙岙村村民不断改良，形成了今天东魁杨梅的品种.栽培东魁杨梅一举多得，对开发山区资源，绿化荒山，保持水
土，增加山区经济收入具有积极意义.根据多年的经验，可以认为东魁杨梅果实的果径
（单位：mm），但因气候、施肥和技术的不同，
每年的 和 都有些变化.现某农场为了了解今年的果实情况，从摘下的杨梅果实中随机取出1000颗，并测量这1000颗果实的果径，得到如下频率分
布直方图.
(1)用频率分布直方图估计样本的平均数 近似代替 ，标准差s近似代替 ，已知
.根据以往经验，把果径与 的差的绝对值在 内的果实称为

“标准果”.现从农场中摘取20颗果，请问这20颗果恰好有一颗不是“标准果”的概率；（结果精确到0.01）
(2)随着直播带货的发展，该农场也及时跟进.网络销售在大大提升销量的同时，也增加了坏果赔付的成本.现该农场有一款“
”的主打产品，该产
品按盒销售，每盒20颗，售价80元，客户在收到货时如果有坏果，每一个坏果该农场要赔付4元.根据收集到的数据，知若采用 款包装盒，成本
元，且每盒出现坏果个数 满足
，若采用 款包装盒，成本
元，且每盒出现坏果个数 满足
，（ 为常数），请运用概率统计的相关知识分析，选择哪款包装盒可以获得更大利润?
参考数据：
；
；
；
；
；
.
答案
解析
(1)0.38
(2)当
时，采用两种包装利润一样，当
时，采用B款包装盒，当
，则
时，采用A款包装盒.
（1）通过题意得：
（2）由
，所以
，
，
，所以
，设从农场中摘取20颗果，这20颗果恰好有一颗不是“标准果”为事件A，则
，解得：
，所以
，采用A款包装盒获得利润的数学期望
，
采用B款包装盒获得利润的数学期望
，
令
，解得：a=
，
由于
，令
，解得：
，
令
，解得：
，
故当
时，采用两种包装利润一样，当
时，采用B款包装盒，当
时，采用A款包装盒.