[数学][二模]2024年江苏无锡江阴市江阴市祝塘中学高三二模数学试卷(适应性)(原题版+解析版)

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2024年江苏无锡江阴市江阴市祝塘中学高三二模数学试卷（适应性）
1. 已知全集
，则图中阴影部分代表的集合为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
通过题意
，而阴影部分为
.
因此正确答案为：C
2. 若向量
A. 2
满足：
则
B.
C. 1
D.
答案
解析
B
试题分析：通过题意易知：
即
，
，即
.
因此正确答案为B.
考点：向量的数量积的应用.
3. 某校文艺部有 名学生，其中高一、高二年级各 名．从这 名学生中随机选 名组织校文艺汇演，则这 名学生来自不同年级的概率为
A.
B.
C.
D.
答案
解析
D
依题意，从这 名学生中随机选 名组织校文艺汇演，总的基本事件有
件，其中这 名学生来自不同年级的基本事件有
，所以这 名学生来自不同年级的概率为
所以答案为：
.
4. 已知函数
A. 向左平移
，
，将函数
的图象经过下列哪种可以与
的图象重合（
）
个单位
B. 向左平移 个单位
C. 向右平移
个单位
D. 向右平移 个单位
答案
解析
C
，
；
将函数
的图象向右平移 个单位：
因此正确答案为：C
5. 已知点 是抛物线
A. 1
上的一点，
B. 2
，
是抛物线的焦点，且
C.
，则 的值为（
）
D.
答案
解析
D
【分析】
根据抛物线标准方程可得
，设出点 的坐标利用向量的坐标运算即可计算出 的值.
【详解】

易知
又
，由点 在抛物线
可得
上，可设
；
，由
即
，计算可得
；
又
，可得
.
故选：D
6. 设
是各项均为正数的等比数列， 为其前 项和.已知
，
，若存在 使得
的乘积最大，则 的一个可能
值是（
A. 4
）
B. 5
C. 6
D. 7
答案
解析
A
等比数列
若
中，公比
时，可得
；由
，所以
的值为
，又
，所以
解得
或
；
，可得
，
，可知数列
单调递增，且各项均大于 ，所以不会存在 使得
的乘积最大(舍去)；
时，可得 ，可得
若
的值为
，…，
可知数列
所以存在
单调递减，从第 项起各项小于 且为正数，前 项均为正数且大于等于 ，
，使得 的乘积最大，综上所述可得 的一个可能值是 .
因此正确答案为：A.
7. 在
A.
中，
，点D是边
B.
的中点，
的面积为 ，则线段
C.
长度的取值范围是（
）
D.
答案
解析
C
【分析】
首先设
，再根据三角形面积，余弦定理，列式，变形，换元后转化为
上有解，即可求得 的取值范围.
【详解】
在
设
，所以
，即
①，由余弦定理得
，即
②，由①②得：
，即
，令
，设
，则方程
在
上有解，所以
，解得
，即
．
故选：C．
8. 设函数
A.
是奇函数
的导函数，
．当
时，
，则使得
成立的 的取值范围是（
D.
）
B.
C.
答案
解析
B
【分析】
令
，由已知条件可得
，所以
在
上单调递增，由
和
为奇函数，可得
为奇函数，且
，从而由
的单调性可得答案
【详解】
因为当
故令
时，
，所以
，
，则
，所以
为奇函数，所以
，故
在
上单调递增.
因为
，
又因为
为奇函数，

所以
，且在区间
，即
上，
单调递增.
所以使得
故选：B
成立的 的取值范围是
.
9. 新能源汽车的核心部件是动力电池，碳酸锂是动力电池的主要成分．从2021年底开始，碳酸锂的价格一直升高，下表是2022年我国某企业前5个月
购买碳酸锂价格与月份的统计数据．
月份代码x
1
2
3
1
4
5
碳酸锂价格y
0.5
0.8
1.2
1.5
若y关于x的经验回归方程为
A. y与x的样本相关系数
C. 经验回归方程
，则下列说法中正确的有（
）
B.
经过点
D. 由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为1.84
答案
解析
BCD
通过题意可得，
，
，
，
，
，
则 与 的样本相关系数
.故A有误；
由 关于 的经验回归方程为
恒过样本中心点
，则有
，故D无误；
，解得
，故B无误，C无误；
由经验回归方程可预测6月份的碳酸锂价格约为
因此正确答案为：BCD
10. 已知圆
A. 对于
，下列说法正确有（
）
，直线
与圆 都有两个公共点
有四条公切线的充要条件是
B. 圆 与动圆
C. 过直线
上任意一点 作圆 的两条切线
距离均为1
（
为切点），则四边形
的面积的最小值为4
D. 圆 上存在三点到直线
答案
解析
BC
对于选项A，因为
所以
，即：
，
，所以直线恒过定点
，
又因为
，所以定点
在圆O外，
与圆O可能相交、相切、相离，即交点个数可能为0个、1个、2个.因此正确答案为项A有误；
所以直线
对于选项B，因为圆O与动圆C有4条公切线，所以圆O与圆C相离，
又因为圆O的圆心
所以
，半径
，即：
，圆C的圆心
，解得：
，半径
，
.因此正确答案为项B无误；
对于选项C，
，
又因为O到P的距离的最小值为O到直线
所以四边形PAOB的面积的最小值为
的距离，即：
，
.因此正确答案为项C无误；
，则圆心O到直线 的距离为
对于选项D，因为圆O的圆心
，半径
，
所以
，所以圆O上存在两点到直线
的距离为1.因此正确答案为项D有误.
因此正确答案为：BC.
11. 下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（
A.
）
B.
设
，则 的个位数字是6
C.
D.
已知
，则等式
对任意正整数
，
都成立

等式
对任意正整数
都成立
答案
解析
ACD
对A：
，A无误；
对B：∵
，
则
故
，
，
∵
其个位数字是0，
的个位数字是9，B有误；
，则
故
对C：若
，C无误；
对D：∵
∴
的展开式为
，
，
故
展开式的 的系数为
，则
，
又∵
，
同理可知：
即
的展开式为
，
展开式的 的系数为
，故
，
由于
，D无误；
因此正确答案为：ACD.
12. 从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成
个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
答案
解析
1260.
分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数.
详解：若不取零，则排列数为
因此一共有
若取零，则排列数为
个没有重复数字的四位数.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；
(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
13. 已知函数
满足对任意的
，都有
成立，则实数 的取值范围为
.
答案
解析
【分析】
运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.
【详解】
由题意，
为定义在 上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，
所以
，解得 ，则
.
故答案为：
.
14. 若正四面体的棱长为4，则该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为
．
答案
解析
如下图所示，设O为正四面体
，垂足为G，
的内切球球心，也是外接球球心，D为
，
的外心，
过
作

．
因为
因为
，所以
，解得
，解得
．
，所以
，
即该四面体内切球的球心到其一条侧棱的距离为
．
因此正确答案为：
.
15. 设函数
，
．
(1)若
(2)若
，且
且
在区间
上单调递增，求实数 的取值范围；
，求证：
在区间
上有且仅有一个零点．
答案
解析
(1)
；
(2)证明见解析.
（1）∵
，∴
上单调递增，
，
若
，且
在区间
则 \displaystyle{f^'\left(x\right)=x-\frac1x-a\geq0} 对任意的
恒成立，即
对任意的
恒成立，
而
∴
在
上单调递增，故
，
，即实数 的取值范围为
.
（2）当
时，
，得
在区间
时，
，∴
，
由
；由
上单调递减，在区间
在区间 上单调递减，且
上有且仅有一个零点，
，∴ 在区间
，得
.
∴
当
上单调递增，
，
∴
当
又
在区间
时，
上单调递减，
，
，
∴
在区间
上有且仅有一个零点.
综上所述若
且
，则
在区间
上有且仅有一个零点.
16. 如图所示，四棱锥
中，底面
为矩形，
与
交于点O，点E在线段
上，且
平面
，二面角
，二
面角
均为直二面角．
(1)求证：
(2)若
；
，且平面
与平面
夹角的余弦值为
，求
的长度．
答案
解析
(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）运用线面平行推出线线平行，结合矩形证明相等即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量翻译二面角求解参数即可.
【详解】
（1）证明：因为
又因为四边形
平面
，
平面
，则
，平面
平面
，所以
．
为矩形，所以
．
（2）
解：因为四边形
又因为平面
为矩形，所以
，平面
．
平面
，所以
，以 为坐标原点，
平面
，
平面
，所以
平面
．
因为
设
平面
．同理，
．
所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
设
为平面
的法向量，
因为
所以
令
，则
令
，所以
；
设
为平面
所以
的法向量，
因为
，则
，所以
，
所以
解得
，
．故
．
17. 已知正项数列
的前 项和为 ，满足
.
(1)求数列
(2)设
的通项公式；
为数列
的前 项和.若
对任意的
恒成立，求k的取值范围.
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）运用公式，已知 求 即可；
（2）求出 ，后运用错位相减求出 ，后结合函数单调性可解．
【详解】
（1）
当
①，且
；
，
时，代入①得
时，
当
.②
①-②得
因为
（2）
，整理得
，
，所以
，
，所以数列
为等差数列，公差为1，所以
，③
.
，④
，
③-④得
所以
令
，所以
，且
，所以
，化简得
，
，
所以 的最大值为
所以 的取值范围为
，所以
.
.
18. 设椭圆
的左、右顶点分别为
，右焦点为 ，已知
．

（ 1 ）19. 求椭圆方程及其离心率；
（ 2 ）20. 已知点 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线
方程．
交 轴于点 ，若三角形
的面积是三角形
面积的二倍，求直线
的
答案 （ 1 ）
椭圆的方程为
，离心率为 .
（ 2 ）
.
解析 （ 1 ）
根据题意得
，解得
，
，
椭圆的方程为
，离心率为
.
（ 2 ）如图所示，
根据题意得，直线
由椭圆的方程为
的斜率存在，
可得
，
设直线
的方程为
，
联立方程
，
消去 整理得：
由韦达定理得
，
，
，
，
.
,
,
，
，
，即
，
解得
直线
，
的方程为
.
21. 已知函数
(1)若
．
，
，求
的对称中心；
(2)已知
，函数
）上恰好有10个零点，求
(3)已知函数
实数 的取值范围．
图象向右平移 个单位，得到函数
的图象，
是
的一个零点，若函数
，存在
在
（
且
的最小值；
，在第（2）问条件下，若对任意
，使得
成立，求
答案
(1)
(2)
(3)
或
;
;
.
解析
【分析】
（1）由
，
可求得函数
的解析式，再由零点的定义确定参数 的值，结合图像分析可得
的值域的包含关系，即可求得参数 的取值范围．
的最小正周期，进而确定参数 的值，再由整体代换即可求得对称中
心；（2）由三角函数的平移变换求得
的最小值；（3）将所
给条件转化为
和
(1)
∵
的最小正周期为
，

又∵
故
，
，∴
的最小正周期是 ，
，解得
，
当
当
时，
时，
，由
，由
，
的对称中心为
的对称中心为
，
；
，
，
；
综上所述，
的对称中心为
或
.
(2)
∵函数
图象向右平移 个单位，得到函数
的图象，
∴
.
又∵
是
的一个零点，
，即
，
∴
或
，
，
解得
由
或
，
可得
，则
在
∴
令
即
，最小正周期
.
或
，解得
或
，
；
，
若函数
要使
（
且
）上恰好有10个零点，故
的零点，故
最小，须
、
恰好为
.
(3)
由（2）知
，对任意
，存在
，使得
，
成立，则
，
当
当
时，
时，
，
由
可得
.
，解得
，
故实数 的取值范围为
【点睛】
本题第（3）小问为不等式的恒成立问题，解决方法如下：
一般地，已知函数
（1）若
，
，总有
，有
，
，
，
，
成立，故
成立，故
成立，故
；
（2）若
；
；
（3）若
，有
（4）若
，有
，则
的值域是
值域的子集．