新高考数学一轮复习导学案第10讲 函数的奇偶性与周期性、对称性（2份打包，原卷版+解析版）

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1、函数的奇偶性
2、周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝eq \f(1,fx)，则T＝2a(a>0)．
3．函数对称性常用结论
(1)f(a－x)＝f(a＋x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．
f(a＋x)＝－f(b－x)⇔f(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，0))对称．
1、【2022年全国乙卷】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
2、【2022年新高考2卷】已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．
故选：A．
3、【2021年甲卷文科】设 SKIPIF 1 < 0 是定义域为R的奇函数，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
4、【2021年甲卷理科】设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R， SKIPIF 1 < 0 为奇函数， SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ①；
因为 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ②．
令 SKIPIF 1 < 0 ，由①得： SKIPIF 1 < 0 ，由②得： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由①得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
思路一：从定义入手．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
5、【2021年乙卷文科】设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 不是奇函数；
对于B， SKIPIF 1 < 0 是奇函数；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
6、【2021年新高考2卷】已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为偶函数， SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出函数 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为周期的周期函数，由已知条件得出 SKIPIF 1 < 0 ，结合已知条件可得出结论.
【详解】
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为周期的周期函数，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，其它三个选项未知.
故选：B.
7、【2020年新课标2卷理科】设函数 SKIPIF 1 < 0 ，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增B．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
C．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递增D．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性的定义可判断出 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，排除AC；当 SKIPIF 1 < 0 时，利用函数单调性的性质可判断出 SKIPIF 1 < 0 单调递增，排除B；当 SKIPIF 1 < 0 时，利用复合函数单调性可判断出 SKIPIF 1 < 0 单调递减，从而得到结果.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于坐标原点对称，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，排除B；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，D正确.
故选：D.
8、【2020年新课标2卷文科】设函数 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，其关于原点对称，而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
而 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增．
故选：A．
9、【2020年新高考1卷（山东卷）】若定义在 SKIPIF 1 < 0 的奇函数f(x)在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且f(2)=0，则满足 SKIPIF 1 < 0 的x的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上也是单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以由 SKIPIF 1 < 0 可得：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
1、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为
A B SKIPIF 1 < 0 C D
【答案】D
【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D．
2、已知是奇函数，且当时，．若，则__________．
【答案】
【解析】：，得，．
3、（2022·广东省普通高中10月阶段性质量检测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 恒成立，解得 SKIPIF 1 < 0 ，经检验当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
4、（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】依题意函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
考向一 奇偶性的定义与判断
例1、判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
(2)f(x)＝eq \r(3－2x)＋eq \r(2x－3)；
(3)f(x)＝3x－3－x；
(4)f(x)＝eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)；
(5)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x>0，,x2－x，x0时，f(x)＝x2＋x，则当x0，
故f(－x)＝x2－x＝f(x)；
当x0时，－x0恒成立，
所以函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．
因为f(x)－f(－x)＝x[lg (x＋ eq \r(x2＋1))＋lg (－x＋ eq \r(x2＋1))]＝0，
所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数．
(2) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,1－x)≥0，,1－x≠0，))解得－1≤x0.
因为f(x)＋f(－x)＝－x2＋2x＋1＋x2－2x－1＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
(4) 由题意，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3，))解得－2≤x≤2，且x≠0，所以定义域关于原点对称．
因为f(x)＝ eq \f(\r(4－x2),|x＋3|－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x＋3－3)＝ eq \f(\r(4－x2),x)，
所以f(x)＋f(－x)＝ eq \f(\r(4－x2),x)－ eq \f(\r(4－x2),x)＝0，
所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．
方法总结：1. 判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称．若函数定义域关于原点不对称，则此函数一定是非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系结合定义作出判断．
2. 在函数的定义域关于原点对称的条件下，要说明一个函数是奇(偶)函数，必须证明f(－x)＝－f(x)(f(－x)＝f(x))对定义域中的任意x都成立；而要说明一个函数是非奇非偶函数，则只须举出一个反例就可以了．
3. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
考向二 函数的周期性及应用
例2、已知定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 图像关于 SKIPIF 1 < 0 对称，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ________.
【答案】-2
【解析】
因为 SKIPIF 1 < 0 图像关于 SKIPIF 1 < 0 对称，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 是以8为周期的周期函数，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
变式1、函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且在区间 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期是4．因为在区间 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
变式2、已知函数f(x)的定义域为R．当x0，))则f(2 023)＝________.
【答案】 －1
【解析】 当x>0时，
f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①
∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②
①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，
∴f(x)的周期为6，
∴f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)
＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.
方法总结：(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期为T．
(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．
(3)在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．
(4)除f(x＋T)＝f(x)(T≠0)之外，其它一些隐含周期的条件： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等
考向三 函数奇偶性与单调性、周期性的应用
例3、（1）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则
A．（lg3）＞（）＞（）
B．（lg3）＞（）＞（）
C．（）＞（）＞（lg3）
D．（）＞（）＞（lg3）
【答案】C
【解析】 是定义域为的偶函数，所以，因为，，所以，又在上单调递减，所以． 故选C．
（2）(2022·沭阳如东中学期初考试)已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，有下列四个命题：
甲：f(x)是奇函数； 乙：f(x)的图象关于直线x＝1对称；
丙：f(x)在区间[－1，1]上单调递减； 丁：函数f(x)的周期为2．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】由函数f(x)的特征可知：函数在区间[－1，1]上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数f(x)在区间[－1，1]上单调递减，与函数f(x)的周期为2互相矛盾，即：丙和丁中有一个为假命题，若甲乙成立，故f(－x)＝－f(x)，则f(x＋1)＝f(1－x)，故f(x＋2)＝f[1－(1＋x)]＝f(－x)＝－f(x)，故f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故答案选D．
变式1、函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1) 求f(1)的值；
(2) 判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
(3) 当x>0时，f(x)>0恒成立，且f(4)＝1，求不等式f(x－1)＜2的解集．
【解析】 (1) 由题意，得f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0.
(2) 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)＝f(1)＝0，
所以f(－1)＝0，
所以f(－1·x)＝f(x)＋f(－1)，
即f(x)＝f(－x)，
所以f(x)为偶函数．
(3) 由题意，得f(4)＋f(4)＝f(16)＝2，
f(x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝f(1)＝0，
所以f(x)＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))).
不妨设x1>x2>0，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1,x2)))＝f(x1)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x2)))＝f(x1)－f(x2)>0，
所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
又f(x)为偶函数．
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减．
因为f(x－1)