专题2.7 数轴与动点的四大经典题型-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对数轴与动点的四大经典题型的理解！
【题型1 最值问题】
1．（2023秋·陕西延安·七年级统考期末）已知数轴上有A，B，C三点，其中A点表示的数为−2，B点表示的数为4，C点表示的数是7，数轴上有另一动点D，当AD+BD的值最小时，CD的最小值为 ．
【答案】3
【分析】设点D表示的数为x，则AD+BD=x+2+x−4，利用绝对值的几何意义求出当−2≤x≤4时，AD+BD有最小值，进而得到当点D表示的数为4时，CD的最小值为3．
【详解】解：设点D表示的数为x，
∴AD=x−−2=x+2，BD=x−4，
∴AD+BD=x+2+x−4，
如图1所示，当点D在点A左侧时，AD+BD>AB；
如图2所示，当点D在点A和点B之间时，AD+BD=AB；
如图3所示，当点D在点B右侧时，AD+BD>AB，
∴由绝对值的几何意义可知，当−2≤x≤4时，AD+BD有最小值，
∵C点表示的数是7，
∴当点D表示的数为4时，CD的最小值为7−4=3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点距离公式，正确根据绝对值的几何意义推出当−2≤x≤4时，AD+BD有最小值是解题的关键．
2．（2023秋·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，在数轴上，A、B两点同时从原点O出发，分别以每秒2个单位和4个单位的速度向右运动，运动的时间为t，若线段AB上（含线段端点）恰好有4个整数点，则时间t的最小值是 ．
【答案】2
【分析】根据题意，分别表示出A,B两点，t秒后对应的数，进而求得AB的长度，结合题意即可求解．
【详解】解：依题意，t秒后A,B对应的数分别为2t,4t，
∴AB=4t−2t=2t，
∵线段AB上（含线段端点）恰好有4个整数点，
∴2t=4，
解得：t=2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据题意表示出AB的长是解题的关键．
3．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）如图，A，B，C为数轴上的点，AC=4，点B为AC的中点，点P为数轴上的任意一点，则PA+PB+2PC的最小值为 ．
【答案】6
【分析】根据题意得出AB=BC=2，然后分情况讨论，作出相应图形求解即可．
【详解】解：∵AC=4，点B为AC的中点，
∴AB=BC=2，
当点P位于点A左侧时，如图所示，
PA+PB+2PC=PA+PA+AB+2PA+AC=4PA+10；
当点P与点A重合时，如图所示，
PA+PB+2PC=0+2+8=10；
当点P位于点A与点B之间时，如图所示：
PA+PB+2PC=2+2PB+BC=2PB+6；
当点P与点B重合时，如图所示，
PA+PB+2PC=2+0+2×2=6；
当点P位于点B与点C之间时，如图所示：
PA+PB+2PC=AB+PB+PB+2PC=2+4=6；
当点P与点C重合时，如图所示，
PA+PB+2PC=4+2=6；
当点P位于点C右侧时，如图所示，
PA+PB+2PC=AC+PC+BC+PC+2PC=6+4PC；
综上可得：PA+PB+2PC的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离及分类讨论思想，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
4．（2023秋·广东深圳·七年级深圳市光明区公明中学校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)探究：
①数轴上表示7和3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示−4和−9的两点之间的距离是 ；
③数轴上表示−3和5的两点之间的距离是 ．
(2)归纳：一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 ．
(3)应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是6，则可记为：|a−3|=6，那么a＝ ．

②若数轴上表示数a的点位于−5与2之间，求a+5+a−2的值．
③当a何值时，a+5+a−1+a−2的值最小，最小值是多少？请说明理由．

【答案】(1)①4；②5；③8
(2)m−n
(3)①9或−3；②7；③当a=1时，a+5+a−1+a−2的值最小，最小值是7
【分析】（1）根据两点之间的距离=较大的数−较小的数可得结论；
（2）因为不确定m和n的大小关系，所以数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m−n|；
（3）①根据绝对值的意义可得：a−3=±6，解方程即可；②根据a的范围，化简绝对值，再合并即可；③分析得出a+5+a−1+a−2表示一点到−5，1，2三点的距离的和，据此可解．
【详解】（1）解：①数轴上表示7和3的两点之间的距离是7−3=4；
②数轴上表示−4和−9的两点之间的距离是−4−−9=−4+9=5；
③数轴上表示−3和5的两点之间的距离是5−−3=8；
（2）一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n；
（3）①|a−3|=6，
∴a−3=6或a−3=−6，
解得：a=9或a=−3；
②∵数轴上表示数a的点位于−5与2之间，
∴−5∴a+5+a−2=a+5−a+2=7；
③a+5+a−1+a−2表示一点到−5，1，2三点的距离的和，
∴当a=1时，该式的值最小，最小值为1+5+1−1+1−2=7．
∴当a=1时，a+5+a−1+a−2的值最小，最小值是7．
【点睛】本题考查了数轴在两点间的距离及绝对值化简中的应用，明确数轴上两点间的距离及绝对值之间的关系，是解题的关键．
5．（2023秋·江苏南通·七年级统考期末）对于数轴上的线段AB与不在线段AB上的点P，给出如下定义：若点P与线段AB上的一点的距离等于aa>0，则称点P为线段AB的“a距点”．已知：数轴上点A，B两点表示的数分别是m，m+1
(1)当m=1时，在−2，−1，2.5三个数中，______是线段AB的“2距点”所表示的数；
(2)若数轴上的点P为线段AB的“a距点”，则a的最大值与最小值的差为______；
(3)若数轴上−2所对应的点是线段AB的“a距点”，且a的最大值与最小值的比为2:1，求m的值．
【答案】(1)−1
(2)1
(3)m=−1或m=−4
【分析】（1）根据题意可得，线段AB的“2距点”所表示的数在点A的左边或点B的右边，根据题意，分别求出与−2，−1，2.5三个数距离两个单位长度的点，再判断是否在线段AB上即可；
（2）根据“a距点”的定义，可得点P到线段AB上的点距离最大值和最小值分别为PA和PB之间的距离，即可求解；
（3）根据题意，进行分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：当m=1时，点A表示1，点B表示2，
与−2距离为2的点表示的数为：−2−2=−4或−2+2=0，都不在线段AB上，不符合题意；
与−1距离为2的点表示的数为：−1−2=−3或−1+2=1，1在线段AB上，符合题意，故−1是线段AB的“2距点”所表示的数；
与2.5距离为2的点表示的数为：2.5−2=0.5或2.5+2=4.5，都不在线段AB上，不符合题意；
故答案为：−1．
（2）∵点P到点A的距离为PA，点P到点B的距离为PB，
∴a=PA−PB=AB=m+1−m=1．
故答案为：1．
（3）设−2为点Q所表示的数，
当点Q在点A左侧时：
a=QB−QA=1，
∵a的最大值与最小值的比为2:1
∴QBQA=QA+1QA=21，解得：QA=1，
∴m=−2+1=−1；
当点Q在点B右侧时：
a=QA−QB=1，
∵a的最大值与最小值的比为2:1
∴QAQB=QB+1QB=21，解得：QB=1，
∴m+1=−2−1=−3，解得：m=−4，
综上：m=−1或m=−4．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上点与线段的距离，解题的关键是正确理解题意，根据题意和图形进行解答．
6．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，A，B是数轴上的两点，点A表示的数是a，点B表示的数是b，点O表示的数是0，且a+8+b−122=0．
(1)直接写出：a=___________，b=___________，线段AB中点对应的数为__________；
(2)点P、Q分别从O、B出发同时向左匀速运动，P的速度为1个单位长度每秒，Q的速度为3个单位长度每秒，设运动时间为t秒，当PQ=12AB时，求t的值；
(3)在（2）的条件下，M为线段AP的中点，N为线段BQ的中点，P、Q在运动的过程中，当t为何值时12PQ+MN有最小值，最小值是多少？
【答案】(1)−8，12，2
(2)t的值为1或者11
(3)当6≤t≤16时，12PQ+MN有最小值，最小值是10
【分析】（1）根据绝对值和平方的值非负可求出a=−8，b=12，则问题随之得解；
（2）先求出AB=12−−8=20，OB=12，根据题意有：OP=t，BQ=3t，即有BP=BO+OP=12+t，分当点P在点Q的左侧时和当点Q在点P的左侧时两种情况讨论，即可作答；
（3）根据题意可知点A表示的数是−8，点B表示的数是12，点P表示的数是−t，点Q表示的数是12−3t，再根据M为线段AP的中点，N为线段BQ的中点，可得点M表示的数是−8−t2，点N表示的数是12+12−3t2=24−3t2，即有MN=24−3t2−−8−t2=16−t，PQ=12−3t−−t=12−2t，则有12PQ+MN=6−t+16−t，再分类讨论去绝对值即可作答．
【详解】（1）∵a+8+b−122=0，a+8≥0，b−122≥0，
∴a+8=0，b−122=0，
∴a+8=0，b−12=0，
∴a=−8，b=12，
∴线段AB中点对应的数−8+122=2，
故答案为：−8，12，2；
（2）∵点A表示的数是a，点B表示的数是b，点O表示的数是0，且a=−8，b=12，
∴AB=12−−8=20，OB=12，
根据题意有：OP=t，BQ=3t，
∴BP=BO+OP=12+t，
分情况讨论：
当点P在点Q的左侧时，PQ=BP−BQ=12+t−3t=12−2t，
∵PQ=12AB，
∴12−2t=20×12，
解得：t=1；
当点Q在点P的左侧时，PQ=BQ−BP=3t−12+t=2t−12，
∵PQ=12AB，
∴2t−12=20×12，
解得：t=11，
综上：t的值为1或者11；
（3）根据题意可知点A表示的数是−8，点B表示的数是12，点P表示的数是−t，点Q表示的数是12−3t，
∵M为线段AP的中点，N为线段BQ的中点，
∴点M表示的数是−8−t2，点N表示的数是12+12−3t2=24−3t2，
∴MN=24−3t2−−8−t2=16−t，PQ=12−3t−−t=12−2t，
∴12PQ+MN=1212−2t+16−t=6−t+16−t，
当0≤t＜6时，12PQ+MN=6−t+16−t=22−2t，
∴10＜22−2t≤22，
∴10＜12PQ+MN≤22；
当6≤t≤16时，12PQ+MN=t−6+16−t=10，
∴12PQ+MN为定值10；
当t＞16时，12PQ+MN=t−6+t−16=2t−22，
∴2t−22＞32−22=10，
∴12PQ+MN＞10；
综上：12PQ+MN的最小值为10．
即：当6≤t≤16时，12PQ+MN有最小值，最小值是10．
【点睛】本题主要考查了数轴的相关知识，涉及绝对值的定义、根据数轴上的点求解距离以及数轴上中点的求解方法等知识，根据数轴上的点表示出点与点之间的距离是解答本题的关键．解答本题时，要注意分类讨论的思想．
7．（2023秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
(1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为6−2＝ ；表示−1和2两点之间的距离为−1−+2=−1−2＝ ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于m−n，如果表示数a和−1的两点之间的距离是3，那么a＝ ．
(2)若数轴上表示数a的点位于−5与3之间(包括−5与3两点)，求a+5+a−3
的值；
(3)当x= 时，x+1+x+5+x−3的值最小，最小值为 ．
(4)当x，y满足x+1+x−2+y+3+y−4=10时，x−3y的最大值为 ．
【答案】(1)4，3，2或−4
(2)8
(3)−1，8
(4)11
【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可；
（2）a+5+a−3表示数a到−5和3两点的距离之和，然后根据表示数a的点的位置求解即可；
（3）x+1+x+5+x−3表示x到−1，−5，3三个点的距离之和，结合数轴可知，
当x=−1时，x+1+x+5+x−3有最小值，由此可求解；
（4）先根据已知式子可得x+1+x﹣2=3,y+3+y−4=7，求出x、y的范围，再求出x−3y的最大值即可．
【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为6−2=4；
表示−1和2两点之间的距离为−1−+2=−1−2=3；
∵表示数a和−1的两点之间的距离是3，
∴a−−1=a+1=3，
∴a+1=3或a+1=−3，
∴a=2或a=−4，
故答案为：4；3；2或−4；
（2）a+5+a−3表示数a到−5和3两点的距离之和，
∵表示数a的点位于−5与3之间，
∴a+5+a−3=5+3=8；
（3）x+1+x+5+x−3表示x到−1，−5，3三个点的距离之和，
∵当−5≤x≤3时，x+5+x−3有最小值，且当x=−1时，x+1有最小值，
∴当x=−1时，x+1+x+5+x−3有最小值，
最小值为0+−1+5+−1−3=8，
故答案为：−1，8；
（4）∵x+1+x−2≥1+2=3,y+3+y−4≥3+4=7，
∴x+1+x−2+y+3+y−4≥10，
∵x+1+x−2+y+3+y−4=10，
∴x+1+x−2=3,y+3+y−4=7，
∴−1≤x≤2,−3≤y≤4，
∴当x=2,y=−3时x−3y有最大值，
最大值为2−3×−3=11，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了绝对值与数轴的综合运用，解题的关键是理解绝对值的几何意义．
8．（2023秋·广东汕头·七年级统考期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为−10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
(1)点A到点C的距离为 ；
(2)数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
(3)设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
【答案】(1)25
(2)存在，x=−15或10
(3)最大值为40，最小值为25
【分析】（1）利用两点间距离公式即可求解；
（2）当P点在A点的左侧（含A点）时：得方程−10−x+5−x=25；当P点在A点和B点的之间（含B点）时：x−(−10)+5−x=25；当P点在B点的右侧时：x−(−10)+x−5=25，解方程即可；
（3）设点P表示的数为x，则点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，得PA+PB+PC=AC+PB=25+PB，分析出PB的最值即可．
【详解】（1）解：AC=15−−10=25，
∴点A到点C的距离为25；
（2）设点P表示的数为x，
当P点在A点的左侧（含A点）时：
−10−x+5−x=25，
解得：x=−15，
当P点在A点和B点的之间（含B点）时：
x−(−10)+5−x=25，
解得：无解；
当P点在B点的右侧时：
x−(−10)+x−5=25，
解得：x=10，
∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x=−15或10，使得点P到点A、点B的距离之和为25单位长度；
（3）设点P表示的数为x，
则点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，
∵点P在点A、C之间，
∴PA+PB+PC=AC+PB=25+PB，
当点P与点A重合时，PB最大，此时PB=5−−10=15，
∴PA+PB+PC的最大值为25+15=40，
当点P与点B重合时，PB最小，此时PB=0，
∴PA+PB+PC的最小值为25，
∴S的最大值为40，最小值为25．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．
【题型2 线段的和差倍分问题】
1．（2023秋·陕西西安·七年级校考期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x 时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为 ；
（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）125秒或367秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；
（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．
【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，
∴a＝﹣3，b＝9，
故答案为：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，
∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，
当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，
∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，
故答案为：≥9，12．
（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，
∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，
当点Q与点C重合时，则2t＝8，
解得t＝4，
当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，
根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，
解得t＝125；
当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，
∴点Q表示的数是2t﹣7，
根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），
解得t＝367，
综上所述，第125秒或第367秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图1，A、B两点在数轴上对应的数分别为−16和6．
(1)直接写出A、B两点之间的距离___；
(2)若在数轴上存在一点P，使得AP=13PB，求点P表示的数；
(3)如图2，现有动点P、Q，若点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点Q到达原点O后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当OP=4OQ时的运动时间t的值．
【答案】(1)22
(2)−212或−27
(3)当OP=4OQ时的运动时间t的值为2或134秒
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之间的距离；
（2）设点P表示的数为x．分两种情况：①点P在线段AB上；②点P在线段BA的延长线上．根据AP=13PB列出关于x的方程，求解即可；
（3）根据点Q的运动方向分两种情况：①当t≤3时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当t>3时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据OP=4OQ列出关于t的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：A、B两点之间的距离是：6−−16=22；
（2）解：设点P表示的数为x．分两种情况：
①当点P在线段AB上时，
∵AP=13PB，
∴x+16=136−x，
解得x=−212；
②当点P在线段BA的延长线上时，
∵AP=13PB，
∴−16−x=136−x，
解得x=−27．
综上所述，点P表示的数为−212或−27；
（3）解：分两种情况：
①当t≤3时，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，
此时Q点表示的数为6−2t，P点表示的数为−16+4t，
∵OP=4OQ，
∴16−4t=46−2t，
解得t=2，符合题意；
②当t>3时，点Q从原点O开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，
此时Q点表示的数为3t−3，P点表示的数为−16+4t，
∵OP=4OQ，
∴−16+4t=4×3t−3，
∴当3解得t=134；
当t>4时，4t−16=12t−36，
解得t=52，不符合题意，舍去；
综上所述，当OP=4OQ时的运动时间t的值为2或134秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键．
3．（2023秋·江苏·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：P为线段AB上任意一点，如果M，P两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为点M，线段AB的“近距”，记作d1（点M，线段AB）；如果M，P两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点M，线段AB的“远距”，记作d2（点M，线段AB），特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间距离为0，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为3．如图，若点C表示的数为5，则d1（点C，线段AB）＝2，d2（点C，线段AB）＝7．
(1)若点D表示的数为﹣3，则d1（点D，线段AB）＝ ，d2（点D，线段AB）＝ ；
(2)若点E表示数为x，点F表示数为x+1．d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【答案】(1)1，6
(2)﹣4或6
【分析】（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况，点E在点A的左侧，点E在点B的右侧．
【详解】（1）解：∵点D表示的数为﹣3，
∴d1（点D，线段AB）＝DA＝﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1，
d2（点D，线段AB）＝DB＝3﹣（﹣3）＝3+3＝6，
故答案为：1，6；
（2）分两种情况：
当点E在点A的左侧，
d2（点F，线段AB）＝BF＝3﹣（x+1）＝2﹣x，
d1（点E，线段AB）＝AE＝﹣2﹣x，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴2﹣x＝3（﹣2﹣x），
∴x＝﹣4，
当点E在点B的右侧，
d2（点F，线段AB）＝AF＝x+1﹣（﹣2）＝x+3，
d1（点E，线段AB）＝EB＝x﹣3，
∵d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍，
∴3+x＝3（x﹣3），
∴x＝6，
综上所述：x的值为﹣4或6．
【点睛】本题考查了数轴，理解题目已知给出的定义是解题的关键．
4．（2023秋·重庆·七年级重庆市人和中学校考期末）如图，点 A 在数轴上对应的数为a，点B 对应的数为b，点O 为数轴原点，已知|a+5|+（a+b+1）2=0．
(1)求 a、b 的值；
(2)若数轴上有一点 C，且 AC+BC=15，求点 C 在数轴上对应的数；
(3)若点 P 从点 A 出发沿数轴的正方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，同时点 Q 从点 B 出发沿数轴的负方向以每秒 4 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒，则数轴上点 P 表示的数为______，点 Q 表示的数为________．（用含 t 的代数式表示）；当 OP=2OQ 时，t的值为_____________．（在横线上直接填写答案）
【答案】(1)a＝﹣5，b＝4
(2)﹣8或7
(3)﹣5+2t，4﹣4t，12或1310
【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性即可求出a、b值；
（2）根据AB＝9可知点C在点A的左侧或点B的右侧，分点C在点A左侧和点C在点B右侧两种情况考虑，找出AC、BC的长度结合AC+BC＝15即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（3）根据点P、Q的运动找出OP、OQ的长度，结合OP＝2OQ即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）∵|a+5|+（a+b+1）2＝0，
∴a+5＝0，a+b+1＝0，
∴a＝﹣5，b＝4．
（2）设点C在数轴上对应的数为x，
∵AB＝4﹣（﹣5）＝9，
∴点C在点A的左侧或点B的右侧，如图1所示．
若点C在点A左侧，则AC＝﹣5﹣x，BC＝4﹣x，
∴AC+BC＝﹣5﹣x+4﹣x＝﹣1﹣2x＝15，
解得：x＝﹣8；
若点C在点B右侧，则AC＝x﹣（﹣5）＝x+5，BC＝x﹣4，
∴AC+BC＝x+5+x﹣4＝15，
解得：x＝7．
∴点C在数轴上对应的数为﹣8或7．
（3）由题意可得： P 表示的数为﹣5+2t，点 Q 表示的数为4﹣4t，
OP＝|5﹣2t|，OQ＝|4﹣4t|，如图2所示．
∵OP＝2OQ，
∴|5﹣2t|＝2|4﹣4t|，
解得：t1=12，t2=1310．
∴当OP＝2OQ时，t的值为12或1310．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、两点间的距离、数轴、绝对值以及偶次方的非负性，根据两点间的距离结合线段间的关系列出一元一次方程是解题的关键．
5．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数−2，4，6．
(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；
(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．
①当t=1时，PA的长为__________个单位长度，PB的长为__________个单位长度，PC的长为____________个单位长度；
②在点P的运动过程中，若PA+PB+PC=9个单位长度，则请直接写出t的值为___________
【答案】(1)见解析；
(2)①4 ，2 ，4；②14或34或92或112
【分析】（1）根据题意画出数轴即可；
（2）①先求出当t=1时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：①当t=1时，P点表示的数为6-4=2，
∴PA=2−−2=4，PB=4−2=2，PC=6−2=4，
故答案为：4、2、4；
②当P从C向A运动，0PA=6−4t+2，PB=6−4t−4，PC=4t，
∵PA+PB+PC=9，
∴6−4t+2+6−4t−4+4t=9，
解得t=14；
当P从C向A运动，0.5PA=6−4t+2，PB=4−6+4t，PC=4t，
∵PA+PB+PC=9，
∴6−4t+2+4−6+4t+4t=9，
解得t=34；
当P从A向C运动时，当2PA=−2+2t−2+2=2t−4，PB=4−−2+2t−2=10−2t，PC=6−−2+2t−2=12−2t，
∵PA+PB+PC=9，
∴2t−4+10−2t+12−2t=9，
解得t=92；
当P从A向C运动时，当5PA=2t−4，PB=2t−10，PC=12−2t，
∵PA+PB+PC=9，
∴2t−4+2t−10+12−2t=9，
解得t=112；
综上所述，t的值为14或34或92或112．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．
6．（2023秋·陕西西安·七年级西安市第三中学校考期中）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒．
（1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）；
（2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t；
（3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t．
【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为−t，10−3t；（2）t=4；（3）t=1或18
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得AM=−t−−6=6−t，AN=10−3t−−6=16−3t，再由AN=2AM，得到16−3t=12−2t，由此即可得到答案；
（3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为−t，10−3t；
（2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为−t，10−3t，
∴AM=−t−−6=6−t，AN=10−3t−−6=16−3t，
∵AN=2AM，
∴16−3t=12−2t，
∴t=4；
（3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时，
由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为−t，10−3t，AM=−t−−6=6−t
∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，
∴点P和点Q表示的数分别为−6−t2，10−3t+102=20−3t2，
∴PQ=20−3t2−−6−t2=26−2t2
∵PQ+AM=17，
∴26−2t2+6−t=17，
∴t=1；
如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时，
同图1可知点P和点Q表示的数分别为−6−t2，20−3t2，
∴PQ=20−3t2−−6−t2=26−2t2
∵PQ+AM=17，
∴26−2t2+6−t=17，
∴t=1，不符合题意；
如图3所示，当M、N都在A点左侧时，
同图1可得点P和点Q表示的数分别为−6−t2，20−3t2，
∴AM=t−6，PQ=20−3t2−−6−t2=26−2t2，
∵PQ+AM=17，
∴26−2t2+t−6=17，此时方程无解；
如图4所示，当M、N都在A点左侧时，
同理可得点P和点Q表示的数分别为−6−t2，20−3t2，
∴AM=t−6，PQ=−6−t2−20−3t2=2t−262，
∵PQ+AM=17，
∴2t−262+t−6=17，
解得t=18，
∴综上所述，当PQ+AM=17，t=1或18．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键．
7．（2023秋·吉林四平·七年级统考期中）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，再向右移动3cm到达B点，然后再向右移动83cm到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上表示出A，B，C三点的位置；
（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA=_______cm．
（3）若点A沿数轴以每秒3cm匀速向右运动，经过多少秒后点A到点C的距离为3cm？
（4）若点A以每秒1cm的速度匀速向左移动，同时点B、点C分别以每秒4cm、9cm的速度匀速向右移动。设移动时间为t秒，试探索：BA−CB的值是否会随着t的变化而改变？若变化，请说明理由，若无变化，请直接写出BA−CB的值．
【答案】（1）见解析；（2）173；（3）89秒或269秒；（4）不变化，值为13．
【分析】（1）根据题意，在数轴上表示点A、B、C的位置即可；
（2）利用数轴上两点间的距离公式解题；
（3）分两种情况讨论：点A在点C的左侧或点A在点C的右侧；
（4）表示出BA、CB，再相减即可解题．
【详解】解：（1）如图，
（2）CA=1+83−(−2)=173
故答案为：173；
（3）①当点A在点C的左侧时：173−3÷3=89
②点A在点C的右侧时：173+3÷3=269
所以，经过89或269秒后点A到点C的距离为3cm，
（4）BA=1+4t−(−2−t)=3+5t，CB=(1+83)+9t−(1+4t)=5t+83
BA−CB=3+5t−(5t+83)=13
∴BA−CB的值不会随着t的变化而变化，BA-CB =13．
【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
8．（2023秋·四川阿坝·七年级统考期末）如图：在数轴上A点表示数a,B点示数b,C点表示数c,b是最大的负整数，A在B左边两个单位长度处，C在B右边5个单位处
1 a= ；b= _；c= _；
2若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数_ __表示的点重合；
3点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点A与点B之间的距离表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC，则AB=_ _，AC=_ _，BC=__ _；（用含t的代数式表示）
4请问:5BC−2AB的值是否随着时间t的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．
【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据A在B左边两个单位长度处，C在B右边5个单位处即可得出a、c的值；
（2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；
（3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用数轴上两点间的距离即可求出AB、AC、BC的值；
（4））将（3）的结论代入5BC−2AB中，可得出5BC−2AB的值不会随着时间的变化而变化，即为定值，此题得解．
【详解】（1）∵b是最大的负整数，∴ b=−1
∵ A在B左边两个单位长度处，C在B右边5个单位处
∴ a=−3，c=4
（2）∵将数轴折叠，使得A点与C点重合
∴ a+c−b=−3+4−−1=2
（3）∵点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和5个单位长度的速度向右运动
∴t秒钟过后，根据s=vt得：sA=2t，sB=3t，sC=5t
又∵ a=−3，b=−1，c=4
∴点A表示的数为−2t−3，点B表示的数为3t−1，点C表示的数为5t+4，
∴ AB=2+5t，AC=7+7t，BC=2t+5；
（4）由（3）可知：
AB=2+5t，BC=2t+5
∴ 5BC−2AB=5×2t+5−22+5t=10t+25−4−10t=21
∴ 5BC−2AB的值为定值21．
故答案为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．
【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键．
【题型3 数轴与行程相遇问题】
1．（2023秋·山东烟台·六年级校考期末）如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左侧，a=10，a+b=70，ab>0．
(1)直接写出a= ___________，b= ___________；
(2)现有一只蚂蚁P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动．
①两只蚂蚁经过多长时间相遇？
②设两只蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C对应的数；
③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度？
【答案】(1)10,60
(2)①两只蚂蚁经过25秒相遇；
②点C对应的数是135，
③经过15秒或35秒，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度
【分析】（1）根据两个数乘积大于0说明两数同号即可求解；
（2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解；
②根据路程、速度、时间关系，列出算式计算即可求解；
③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距20个单位长度列一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵a+b=70，ab>0
a>0，b>0
∵a=10
∴a=±10
∴a=10,b=60
故答案为：10,60；
（2）①设蚂蚁运动时间为x秒，依题意得，
AB=60−10=50
5x−3x=50
解得x=25
故两只蚂蚁经过25秒相遇；
②5×25=125，
125+10=135，
故：点C对应的数是135，
③当P在Q左侧（相遇前）时：
50+3x−5x=20
解得x=15
当P在Q右侧（相遇后）时：
5x−50+3x=20
解得x=35
故经过15秒或35秒，两只蚂蚁在数轴上相距20个单位长度
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性；解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a，b的值；（2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程．
2．（2023秋·全国·七年级期中）数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A、B两点之间的距离表示为AB=a−b．如：点A表示的数为2，点B表示的数为3，则AB=2−3=1．
问题提出：
(1)填空：如图，数轴上点A表示的数为−2，点B表示的数为13，A、B两点之间的距离AB=______，线段AB的中点表示的数为______．
(2)拓展探究：若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发．以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，点Р表示的数为______；点Q表示的数为______；
②求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数．
(3)类比延伸：在（2）的条件下，如果P、Q两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自到达线段AB的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段AB上做往复运动，那么再经过多长时间P、Q两点第二次相遇．请直接写出所需要的时间和此时相遇点所表示的数．
【答案】(1)15；112
(2)①−2+3t；13−2t；②当t为3时，P、Q两点相遇；相遇点所表示的数是7
(3)所需要的时间为9秒；相遇点所表示的数是1
【分析】（1）由A表示的数为−2，点B表示的数为13，即得AB＝15，线段AB的中点表示的数为112；
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为 13−2t；
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，即可解得t＝3，相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−152），即得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−152），可解得t＝9，第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1．
【详解】（1）∵A表示的数为−2，点B表示的数为13，
∴AB＝|13−（−2）|＝15，线段AB的中点表示的数为13−22=112；
故答案为：15；112．
（2）①t秒后，点P表示的数为−2＋3t，点Q表示的数为13−2t；
故答案为：−2＋3t；13−2t．
②根据题意得：−2＋3t＝13−2t，
解得t＝3，
相遇点所表示的数为−2＋3×3＝7；
答：当t为3时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数是7．
（3）由已知得：P运动5秒到B，Q运动152秒到A，
返回途中，P表示的数是13−3（t−5），Q表示的数是−2＋2（t−152），
根据题意得：13−3（t−5）＝−2＋2（t−152），
解得t＝9，
第二次相遇点所表示的数为：13−3×（9−5）＝1，
答：所需要的时间为9秒，相遇点所表示的数是1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示运动后的点所表示的数．
3．（2023秋·四川成都·七年级校考期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．
（1）求a、b的值；
（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为： ，点F在数轴上对应的数为： ．
（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）．
【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）154秒或133秒272秒或292秒
【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b；
（2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解；
（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可．
【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，
∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）
＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3）
＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15，
∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，
解得b＝﹣20，a＝12；
（2）设运动时间为t秒．
由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t，
故答案为：12﹣6t，﹣20+2t；
（3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，
相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝154；
相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），
相遇点为﹣20+2×4＝﹣12，
点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝133；
由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t．
当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝272；
当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝292．
答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为154秒或133秒272秒或292秒
【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键．
4．（2023秋·河北唐山·七年级统考期末）如图1，已知在数轴上有A、B两点，点A表示的数是−6，点B表示的数是9．点P在数轴上从点A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，同时，点Q在数轴上从点B出发，以每秒3个单位的速度在沿数轴负方向运动，当点Q到达点A时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）AB=_______；t=1时，点Q表示的数是_______；当t=_______时，P、Q两点相遇；
（2）如图2，若点M为线段AP的中点，点N为线段BP中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长；
（3）如图3，若点M为线段AP的中点．点T为线段BQ中点，则直接写出用含t的代数式表示的线段MT的长．
【答案】（1）15；6；3；（2）不变化，MN=12AB=7.5；（3）MT=15−2.5t．
【分析】（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可；
（2）根据线段的中点定义，可得MN=MP+NP= 12（AP+BP）= 12AB；
（3）由题意根据线段的中点定义，线段和差定义计算即可.
【详解】解：（1）AB=9-（-6）=15，
t=1时，BQ=3，OQ=6，
设t秒后相遇，由题意（2+3）t=15，t=3，
故答案为：15，6，3.
（2）答：MN长度不变，理由如下：
∵M为AP中点，N为BP中点
∴MP=12AP，NP=12BP，
∴MN=MP+NP=12（AP+BP）=12AB=7.5．
（3）根据题意分别得到点M表示的数为t-6；点T表示的数为9-1.5t；
根据两点间距离的定义可得MT= 9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.
故答案为：MT=15−2.5t.
【点睛】本题考查实数与数轴，线段中点定义，线段的和差定义等知识，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
5．（2023秋·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考期中）已知数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度…，
（1）求出3秒钟时，动点Q所在的位置；
（2）若5秒时，动点Q激活所在位置P点，P点立即以0.1个单位长度/秒的速度沿数轴运动，试求点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置；
（3）如图，在数轴上的A1、A2、A3、A4，这4个点所表示的数分别为a1、a2、a3、a4，若A1A2＝A2A3＝A3A4，且a1＝20，|a1﹣a4|＝12，|a1﹣x|＝a2+a4
①求x值；
②在（2）的条件下，若P点激活后仍以0.1个单位长度/秒向右运动，当Q点到达数x的点处，则P点所对应的数是 ．
【答案】（1）3秒动点Q所在的位置为2；（2）﹣4919或﹣2221；（3）① x＝﹣36或76，②128.9或571.3
【分析】（1）先找到0.5秒时的位置，根据每秒2个单位和移动方向，即可得到3秒时的位置.
（2）先找到5秒时Q点所在的位置，然后分为①P点向左运动，②P点向右运动进行讨论得出答案；
（3）①由数轴可得，a4与a1相距3格，则每格长度为4，然后即可得a1、a2、a3、a4表示的数，最后解绝对值方程即可；②计算出Q点到达数x处走过的路程，除以速度得到运动时间，再求P点的运动路程即可得到P点对应的数.
【详解】解：（1）∵数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度…，
∴0.5秒动点Q所在的位置为1，
1.5秒动点Q所在的位置为﹣1，
3秒动点Q所在的位置为2；
（2）∵3秒动点Q所在的位置为2，
∴5秒时，动点Q所在位置为﹣2，
①若P点向左运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，
Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5+52×0.1＝214，
设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t，则（2﹣0.1）t＝214，
解得：t＝10538，
∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：
﹣（2+52×0.1+10538×0.1）＝﹣4919；
②若P点向右运动，动点Q先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度，
Q在数轴3位置向左运动时，PQ＝5﹣52×0.1＝194，
设点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时用的时间为t，则（2+0.1）t＝194，
解得：t＝9542，
∴点P激活后第一次与继续运动的点Q相遇时所在的位置为：
﹣（2﹣52×0.1﹣9542×0.1）＝﹣2221；
（3）①∵|a1﹣a4|＝12，
∴a4﹣a1＝12，
∴a4＝12+a1＝12+20＝32，
∵A1A2＝A2A3＝A3A4，
∴a2＝24，a3＝28，
∵|a1﹣x|＝a2+a4，
∴|a1﹣x|＝24+32＝56，
∴x＝﹣36或76
②若5秒时，动点Q激活所在位置P点，当Q点到达数﹣36的点处时所走的路程为：5+6+7+…+71+72＝(1+72)×722﹣(1+4)×42＝2628﹣10＝2618（单位长度），
∴用的时间为：26182＝1309（s），
此时P点所对应的数是：1309×0.1﹣2＝128.9；
当Q点到达数76的点处时所走的路程为：5+6+7+…+150+151＝(1+151)×1512﹣(1+4)×42＝11476﹣10＝11466（单位长度），
∴用的时间为：114662＝5733（s），
此时P点所对应的数是：5733×0.1﹣2＝571.3；
故答案为128.9或571.3
【点睛】本题考查数轴上的动点问题，关键是正确理解Q点的运动方式，找到Q点运动路程是解决本题的关键.
6．（2023秋·广东湛江·七年级统考期中）如图，射线OM上有三点A,B,C，满足OA=40cm，AB=30cm，BC=20cm.点P从点O出发，沿OM方向以2cm/秒的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点O时，点P,Q停止运动.
(1)若点Q运动速度为3cm/秒，经过多长时间P,Q两点相遇?
(2)当PB=2PA时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点Q的运动速度;
(3)自点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E,F，求OB−APEF的值.
【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者115cm/s；(3)2.
【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；
（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据PB=2PA只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；
（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.
【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，
∵OA=40cm，AB=30cm，BC=20cm，
∴OC=OA+AB+BC=90cm，
∴2t+3t=90，
t=18，
∴经过18秒P,Q两点相遇；
（2）∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，OB=40+30=70，
∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，
由PB=2PA，可分两种情况：
①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10，
点P运动的时间为102=5s，
∴点Q的运动速度=555=11cm/s；
②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50，
点P的运动时间是502=25s，
∴点Q的运动速度=5525=115cm/s，
综上，点Q的运动速度是11cm/s或者115cm/s；
（3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40，
∵点E是OP的中点，
∴OE=a，
∵点F是AB的中点，AB=30，
∴BF=15，
∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，
∴OB−APEF=70−(2a−40)55−a=2.
【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法.
7．（2023秋·重庆九龙坡·七年级统考期末）已知数轴上的点A，B，C，D所表示的数分别是a，b，c，d，且a+142+b+122=−c−6−d−8．
（1）求a，b，c，d的值；
（2）点A，C沿数轴同时出发相向匀速运动，103秒后两点相遇，点A的速度为每秒4个单位长度，求点C的运动速度；
（3）A，C两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，D点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在t秒时有BD=2AC，求t的值；
（4）A，C两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点A运动到点C起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点C起始位置方向运动；当点C运动到点A起始位置时马上停止运动．当点C停止运动时，点A也停止运动．在此运动过程中，A，C两点相遇，求点A，C相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）．
【答案】（1）a=−14，b=−12，c=6，d=8；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）t=4或20；（4）−23，−223，−10．
【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：103x+103×4=AC=20，即可得解；
（3）根据题意分别表示出AC，BD，在进行分类讨论计算即可；
（4）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可；
【详解】（1）∵a+142+b+122=−c−6−d−8，
∴a+142+b+122+c−6+d−8=0，
∴a=−14，b=−12，c=6，d=8；
（2）设点C运动速度为x，由题意得：
103x+103×4=AC=20，
解得：x=2，
∴点C的运动速度为每秒2个单位；
（3）t秒时，点A数为−14+4t，点B数为-12，点C数为6+2t，点D数为8+t，
∴AC=6+2t−−14+4t=20−2t，BD=8+t−−12=20+t，
∵BD=2AC，
∴①20−2t≥0时，20+2t=220−2t，解得：t=4；
②20-2t＜0时，即t＞10，20+t=22t−20，解得：t=20；
∴t=4或20．
（4）C点运动到A点所需时间为6−−142=10s，所以A，C相遇时间t≤10，由（2）得t=103时，A，C相遇点为−14+4×103=-23，A到C再从C返回到A，用时6−−144+6−−148=7.5s；
①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得8×t−5=2t，t=203＜10，此时相遇数为6−2×203=−223；②第二次与C点相遇，得8×t−7.5+2t=6−−14，解得t=8＜10，此时相遇点为6−8×2=−10；
∴A，C相遇时对应的数为：−23，−223，−10．
【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键．
【题型4 数轴上上新定义问题】
1．（2023秋·江苏·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点．
例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点．
如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2
(1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 ．
(2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？
【答案】(1)G；－4或－16
(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5
【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．
（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值．
【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，
故答案是：G．
结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．
故答案为：－4或－16；
（2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，
第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1，
当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒；
第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2，
当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒；
第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3，
当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒；
第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4，
当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒；
第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5，
当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒；
第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6，
当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒；
第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧，
当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒，
第八种情况，
N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，
当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒，
综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5．
【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．（2023秋·广东广州·七年级广州市第十六中学校考期中）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1：2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．如图1，点C在线段AB上，且AC：CB＝1：2，则点C是线段AB的一个三等分点，显然，一条线段的三等分点有两个．
（1）已知：如图2，DE＝15cm，点P是DE的三等分点，求DP的长．
（2）已知，线段AB＝15cm，如图3，点P从点A出发以每秒1cm的速度在射线AB上向点B方向运动；点Q从点B出发，先向点A方向运动，当与点P重合后立马改变方向与点P同向而行且速度始终为每秒2cm，设运动时间为t秒．
①若点P点Q同时出发，且当点P与点Q重合时，求t的值．
②若点P点Q同时出发，且当点P是线段AQ的三等分点时，求t的值．
【答案】（1）DP的长为5cm或10cm；（2）①5秒；②3秒、307秒或10秒.
【分析】（1）直接由题目讨论DP为哪一个三等分点即可.
(2) ①由题意列出t+2t=15，解得即可.
②分别讨论P，Q重合之前与之后的三等分点即可.
【详解】（1）当DP为短的部分时，DP：PE=1：2，可得DP=5
当DP为长的部分时，DP：PE=2：1，可得DP=10
（2）①当点P与点Q重合时，t+2t=15，即t=5.
②当点P是线段AQ的三等分点时,AQ=15-2t
AP1=13（15-2t）AP1=t或AP2=23（15-2t）AP2=t或AP3=23（5+2t-10）AP3=t或AP3=13（5+2t-10）AP3=t
解得t=3或t=307或t=10.
【点睛】本题考查的知识点是线段的计算，解题的关键是熟练的掌握线段的计算.
3．（2023秋·北京·七年级北京四中校考期中）我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的中点．解答以下问题：
（1）若点A表示的数为-5，点A与点B的中点表示的数为1，则点B表示的数为 ；
（2）点A表示的数为-5，点C，D表示的数分别是-3，-1，点O为数轴原点，点B为线段CO上一点．
①设点M表示的数为m，若点M为点A与点B的中点，则m的取值范围是 ；
②当点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点Q从点C出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动；若经过t（t≥0）秒，点P与点D的中点在线段OQ上，则t的取值范围是 ．
【答案】（1）7；（2）①−4≤m≤−52；②t≥6或t=0
【分析】（1）根据中点的定义进行解答即可；
（2）①得出点B的范围，再得出m的取值范围即可；
②由题意得：点P表示的数为−5+t，点Q表示的数为−3+3t，则点P与点D的中点表示的数为：−5+t+−12=t2−3，再分Q点超过O点和没有超过O点两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）设点B表示的数为x，
由题意得−5+x2=1，
解得x=7，
∴点B表示的数为7；
故答案为：7；
（2）①设点B表示的数为b，则−3≤b≤0，
∵点A表示的数为－5，点M可以为点A与点B的中点，
∴m=−5+b2，
∵−8≤−5+b≤−5，
∴−4≤m=−5+b2≤−52
∴m的取值范围为：−4≤m≤−52，
故答案为：−4≤m≤−52；
②由题意得：点P表示的数为−5+t，点Q表示的数为−3+3t，
∴点P与点D的中点表示的数为：−5+t+−12=t2−3，
∵点P与点D的中点在线段OQ上，
当点Q没有运动超过O点时，
∴ −3+3t≤t2−3≤0，
解得t≤0，
∴此时t=0；
当点Q运动超过O点时，
0≤t2−3≤−3+3t，
解得t≥6
综上所述，当t≥6或t=0时，点P与点D的中点在线段OQ上．
故答案为：t≥6或t=0．
【点睛】本题考查了有理数与数轴，掌握数轴上点的表示方法，数轴上的动点问题，以及两点的中点表示方法是解题的关键．
4．（2023秋·福建福州·七年级校考期末）已知数轴上A，B，C三点，若点C在点A，B之间且CA=3CB，则称点C是A，B的突点．例如，图1中，点A，B，C，D表示的数分别为−3，1,0，−2，此时CA=3CB，DB=3DA，则点C是A，B的突点，点D是B，A的突点．
(1)如图2，数轴上点M，N表示的数分别为−3，，若点P是M,N的突点，则点P表示的数是______；若点Q是{N,M)的突点，则点Q表示的数是______；
(2)如图3，A，B为数轴上两点，它们表示的数分别为−50，10，若点A向数轴的负方向以每秒1个单位长度运动,，同时点B向数轴的正方向以每秒2个单位长度运动，假设运动时间为t秒，求使得原点O是A,B的突点的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3，−1
(2)使得原点O是{A，B}的突点的t值为4
【分析】（1）根据题意设出未知数，利用突点的定义，可写出PM=3PN和QN=3QM，则可列出方程，分别解出方程即可求出；
（2）先根据题中点A、点B的运动方向和运动速度分别写出运动后点A、点B所表示的数，即可用含有t的式子表示出OA、OB的长，根据原点O是A,B的突点，可得OA=3OB，列出方程，解出即可求出t的值．
【详解】（1）解：设点P表示的数为x，
∵点P是M,N的突点，
∴点P在点M、N之间且PM=3PN，
∴x−−3=35−x，
解得：x=3；
设点Q表示的数为y，
∵点Q是M,N的突点，
∴点P在点N、M之间且QN=3QM，
∴5−y=3y+3，
解得：y=−1；
综上所述：点P表示的数是3，点Q表示的数是−1；
故答案为：3，−1；
（2）解：∵点A向数轴的负方向以每秒1个单位长度运动，同时点B向数轴的正方向以每秒2个单位长度运动，
∴此时点A表示的数为−50−t，点B表示的数为10+2t，
∴OA=50+t，OB=10+2t，
∵原点O是A，B的突点，
∴OA=3OB，
∴50+t=310+2t，
解得：t=4，
综上所述：使得原点O是A，B的突点的t值为4．
【点睛】本题考查了数轴新定义题型，解题关键是：一是理解题中什么叫做突点，二是根据题中给出的突点情况列出方程．
5．（2023秋·广东湛江·七年级统考期中）在数轴上，点A表示的数为1，点B表示的数为3，对于数轴上的图形M，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为线段AB上任意一点，如果线段PQ的长度有最小值，那么称这个最小值为图形M关于线段AB的极小距离，记作d1(M，线段AB)；如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为图形M关于线段AB的极大距离，记作d2(M，线段AB)．
例如：点K表示的数为4，则d1(点K，线段AB)=1，d2(点K，线段AB)=3．
已知点O为数轴原点，点C，D为数轴上的动点．
(1)d1（点O，线段AB)=_________，d2（点O，线段AB）_________；
(2)若点C表示的数m，点D表示数m+2，d1(线段CD，线段AB=2，求m的值；
(3)点C从原点出发，以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，点D从表示数−2的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿x轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿x轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿x轴负方向匀速运动，……，按此规律运动，C，D两点同时出发，设运动的时间为t秒，若d2(线段CD，线段AB)小于或等于6，直接写出t的取值范围（t可以等于0）．
【答案】(1)1，3
(2)m=−3或m=5
(3)0≤t≤74或136≤t≤72
【分析】（1）根据目中所给定义进行计算即可；
（2）分为线段CD在线段AB左侧或线段CD在线段AB右侧两种情况进行讨论即可；
（3）分别分析出每一秒的情况，再进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵点O到线段AB的最小距离为：1−0=1，
∴d1（点O，线段AB)=1，
∵点O到线段AB的最小距离为：3−0=3，
∴d2（点O，线段AB)=3，
故答案为：1，3．
（2）当线段CD在线段AB左侧时：
d1（线段CD，线段AB）=1−m+2=2，
解得：m=−3，
当线段CD在线段AB右侧时：
d1（线段CD，线段AB）=m−3=2，
解得：m=5，
综上：m=−3或m=5．
（3）当t=0时，点C表示的数为0，点D表示的数为-2，则d2=5，
当0当t=1时，点C表示：2，点D表示：−2+2=0，
此时：d2（线段CD，线段AB）=BD=3−0=3，符合题意；
当t=2时，点C表示：4，点D表示：0−4=−4，
此时：d2（线段CD，线段AB）=BD=3−−4=7>6，不符合题意；
当1≤t<2时，点C表示：2t，点D表示：0−4t−1=−4t+4，
∴此时：d2（线段CD，线段AB）=BD=3−−4t+4≤6，
解得：t≤74，
∴1≤t≤74，
∵t=3时，点C表示：6，点D表示：−4+2×3=2，
∴d2（线段CD，线段AB）=AC=6−1=5，符合题意；
当2∴此时：d2（线段CD，线段AB）=BD=3−6t−16≤6，
解得：t≥136，
∵当t=4时，点C表示：8，点D表示：2−8=−6，
∴d2（线段CD，线段AB）=BD=3−−6=9>6，不符合题意；
当3≤t<4时，点C表示：2t，在6和8之间；点D表示：2−8t−3=−8t+26，在2和6之间，
∴此时：d2（线段CD，线段AB）=AD=3−−8t+26≤6，
或d2（线段CD，线段AB）=AC=2t−1≤6，
解得：t≤72，
∴136≤t≤72，
当t=5时，点C表示：10，点D表示：−6+2×5=4，
此时：d2（线段CD，线段AB）=AC=10−1=9>6，不符合题意；
当t>4时，点C表示：2t，在8和10之间；点D表示：−6+10t−4=10t−46，在−6和4之间，
∴此时0≤BD≤9，7≤AC≤9，则当t>4时，d2（线段CD，线段AB）>7，
综上：0≤t≤74或136≤t≤72．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离，熟练掌握计算数轴上两点间的距离的方法，正确理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
6．（2023秋·福建泉州·七年级泉州七中校考期中）阅读理解：已知Q、K、R为数轴上三点，若点K到点Q的距离是点K到点R的距离的2倍，我们就称点K是有序点对[Q，R]的好点．
根据下列题意解答问题：
（1）如图1，数轴上点Q表示的数为−1，点P表示的数为0，点K表示的数为1，点R
表示的数为2．因为点K到点Q的距离是2，点K到点R的距离是1，所以点K是
有序点对Q,R的好点，但点K不是有序点对R,Q的好点．同理可以判断：
点P__________有序点对Q,R的好点，点R______________有序点对P,K的好点（填“是”或“不是”）；
（2）如图2，数轴上点M表示的数为-1，点N表示的数为5，若点X是有序点对M,N的好点，求点X所表示的数，并说明理由？
（3）如图3，数轴上点A表示的数为−20，点B表示的数为10．现有一只电子蚂蚁C从
点B出发，以每秒2个单位的速度向左运动t秒．当点A、B、C中恰有一个点为其余两有序点对的好点，求t的所有可能的值．
【答案】（1）不是；是；（2）3；（3）5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒；
【分析】可以根据好点的定义判断好点，这种新定义问题通常的解法是照猫画虎.
【详解】（1）PQ =12PR，RP=2RK
所以答案为：不是；是
（2） 当点X在点M、N之间，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN,
所以XM=4，XN=2，即点X距离点M为4个单位，距离点N为2个单位，
即点X所表示的数为3，
当点X在点N的右边，由MN=5-(-1)=6，XM=2XN，所以XM=12，XN=6，
即点X距离点M为12个单位，距离点N为6个单位，
即点X所表示的数为11；
（3）AB=10-（-20）=30，
当点C在点A、B之间，
若点C为有序点对A,B的好点，则CA=2CB，CB=10，t=5(秒)
②若点C为有序点对B,A的好点，即CB=2CA，CB=20, t=10(秒)
③若点B为有序点对A,C的好点或点A为有序点对B,C的好点，
即BA=2BC或AB=2AC，CB=15, t=7.5(秒)
当点A在点C、B之间，
④点A为有序点对B,C的好点，即AB=2AC，CB=45，t=22.5(秒)
②点C为有序点对B,A的好点或点B为有序点对C,A的好点，
即CB=2CA或BC=2BA，CB=60，t=30(秒)；
③点A为有序点对C,B的好点，即AC=2AB，CB=90, t=45
∴当经过5秒或7.5或10秒或22.5秒或30秒或45秒时，A、B、C中
恰有一个点为其余两有序点对的好点.
7．（2023秋·北京西城·七年级校考期中）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是A,B的奇点．
例如，点A表示的数为−3，点B表示的数为1．表示0的C点到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是A,B的奇点；又如，表示−2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是A,B的奇点，但点D是B,A的奇点．
（1）P、Q为数轴上两点，点P所表示的数为−5，点Q所表示的数为7．则数_______所表示的点是P,Q的奇点；数_______所表示的点是Q,P的奇点；
（2）M、N为数轴上两点，点M所表示的数为m，点N所表示的数为n，m【答案】（1）4，−2；（2）34m+14n，14m+34n，43n−13m，4n−3m
【分析】（1）由题意直接根据奇点的定义可得P,Q的奇点则有PW=3WQ和Q,P的奇点则有WQ=3PW，进而分析计算即可；
（2）根据题意分H是M,N的奇点、H是N,M的奇点、N是M,H的奇点、N是H,M的奇点四种情况进行讨论求解即可.
【详解】解：（1）设奇点为W，奇点所表示的数为x，
P,Q的奇点则有PW=3WQ，即x−(−5)=3(7−x)，解得：x=4，
Q,P的奇点则有WQ=3PW，即7−x=3x−(−5)，解得：x=−2，
故答案为：4，−2；
（2）设H所表示的数为y，
当H是M,N的奇点，得MH=3HN，即y−m=3(n−y)，解得：y= 14m+34n，
当H是N,M的奇点，得HN=3MH，即n−y=3(y−m)，解得：y= 34m+14n，
当N是M,H的奇点，得MN=3NH，即n−m=3(y−n)，解得：y= 43n−13m,
当N是H,M的奇点，得NH=3MN，即y−n=3(n−m)，解得：y= 4n−3m.
综上可得当H点为34m+14n，14m+34n，43n−13m，4n−3m，H、M、N中恰有一个点为其余两点的奇点.
【点睛】本题考查数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．