专题2.2 有理数的乘除【十大题型】-最新七年级数学上册重点题型和专项训练系列（浙教版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22068" 【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】 PAGEREF _Tc22068 \h 1
\l "_Tc26035" 【题型2 巧用分配律简化运算】 PAGEREF _Tc26035 \h 2
\l "_Tc1746" 【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】 PAGEREF _Tc1746 \h 2
\l "_Tc6032" 【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】 PAGEREF _Tc6032 \h 3
\l "_Tc8242" 【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】 PAGEREF _Tc8242 \h 4
\l "_Tc20520" 【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】 PAGEREF _Tc20520 \h 5
\l "_Tc13153" 【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】 PAGEREF _Tc13153 \h 6
\l "_Tc32344" 【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】 PAGEREF _Tc32344 \h 7
\l "_Tc5571" 【题型9 运用有理数的除法化简分数】 PAGEREF _Tc5571 \h 8
\l "_Tc9216" 【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】 PAGEREF _Tc9216 \h 8
【知识点1 有理数乘法的法则】
①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
②任何数同零相乘，都得0．
③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个
时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
乘积是1的两个数互为倒数，0没有倒数；若a≠0，则a的倒数是1a.
【题型1 根据有理数的乘法法则判断不等关系】
【例1】（2023春·广东广州·七年级统考期末）如果a+b=a−b>0，ab<0，那么（ ）.
A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0
【变式1-1】（2023春·重庆江津·七年级校考阶段练习）已知a>b>c，且a+b+c=0，那么乘积ac的值一定是（ ）
A．正数B．负数C．0D．不能确定
【变式1-2】（2023春·江苏苏州·七年级校考阶段练习）若a+b<0，且ab>0，那么a、b应满足的条件是（ ）
A．a>0、b>0B．a<0， b<0
C．a、b同号D．a、b异号，且负数的绝对值较大
【变式1-3】（2023春·河北邢台·七年级校考阶段练习）如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是a，b，下列式子成立的是（ ）
A．ab>0B．a+b>0
C．a−1b+1<0D．a+1b−1>0
【题型2 巧用分配律简化运算】
【例2】（2023春·河南焦作·七年级焦作市实验中学校考期中）用简便方法计算：
(1)4×−198×−0.25×199
(2)−76+34−112×24
(3)−5×−713+7×−713−−12×−713
(4)997172×−36
【变式2-1】（2023春·山西晋中·七年级统考期末）计算−0.125×20×−8×−0.8=−0.125×−8×20×−0.8=−16，运算中运用的运算律为（ ）．
A．乘法交换律B．乘法分配律
C．乘法结合律D．乘法交换律和乘法结合律
【变式2-2】（2023春·七年级单元测试）用简便方法计算：
(1)91315×−30；
(2)−5×(−3611)+−7×(−3611)+12×(−3611)．
【变式2-3】（2023春·湖南张家界·七年级统考期中）简便计算：
(1)−24×(−12+34−13)
(2)(−65)×(−−23)+(+173)×(−65)−65
【题型3 有理数的乘法与相反数、倒数、绝对值等知识的综合】
【例3】（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求|a+b|+4m−3cd的值．
【变式3-1】（2023春·重庆万州·七年级校联考阶段练习）若a，b互为相反数，c，d互为倒数，|x−4|=3，求cd2x+a+bx−2x的值．
【变式3-2】（2023春·吉林白城·七年级统考期中）已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，m的绝对值是最小的正整数，求m2−ab+2021a+b2022−cd的值．
【变式3-3】（2023春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2.
(1)求a＋b，cd，m的值；
(2)求m+2cd−a+b的值．
【题型4 关于有理数乘法的新定义问题】
【例4】（2023春·江苏宿迁·七年级泗阳致远中学校考阶段练习）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a，b，a※b=−3ab．
(1)若m与−2互为倒数，n与5互为相反数，求m※n的值；
(2)求(−3)※[6※(−4)]的值．
【变式4-1】（2023春·重庆石柱·七年级重庆市石柱中学校校考阶段练习）a，b为有理数，若规定一种新的运算“⊕”：定义a⊕b＝a×b﹣2×（b﹣a）﹣5，
例如：2⊕3＝2×3﹣2（3﹣2）﹣5＝6﹣2﹣5＝﹣1．
请根据“⊕”的定义计算：
(1)﹣2⊕4；
(2)（﹣1⊕1）⊕（﹣7）．
【变式4-2】（2023春·全国·七年级期末）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．对有理数a、b、c，在乘法运算中满足①交换律：ab=ba；②对加法的分配律：ca+b=ca+cb．借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=a×b+2×a．
(1)求2⊕−1的值；
(2)求−3⊕−4⊕12的值；
(3)试用学习有理数的经验和方法来探究这种新运算“⊕”是否具有交换律？请写出你的探究过程．
【变式4-3】（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝a×b+|a|﹣b．
(1)计算（﹣5）⊗4的值；
(2)求[2⊗（﹣3）]⊗4的值；
(3)填空：3⊗（﹣2）______（﹣2）⊗3（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【题型5 利用有理数的乘法解决实际问题】
【例5】（2023春·广东深圳·七年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中）某出租车沿人民路东西方向行驶，如果把人民公园站台记为0，向东行驶记为正，向西行驶记为负，这辆车从人民公园站台出发以后行驶的路程如下表（单位：km）
(1)这辆车离开出发点最远是 千米；
(2)这辆车在上述过程中一共行驶了多少路程？
(3)若汽车耗油量为4升/千米，共耗油多少升？
【变式5-1】（2023·全国·七年级假期作业）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：
(1)根据记录可知前四天共生产 辆；
(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；
(3)该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）某食堂购进30袋大米，每袋以50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称重记录如下表：
(1)这30袋大米最重的一袋与最轻的一袋重量相差多少千克？
(2)这30袋大米的总重量比标准总重量多或少了多少千克？
(3)大米的单价是每千克5.5元，食堂购进大米总共花了多少钱？
【变式5-3】（2023·浙江·七年级假期作业）某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况：
(1)第一周超市售出的百香果单价最高的是星期___________，最高单价是___________元；
(2)这一周超市出售此种百香果的收益如何？（盈利或亏损的钱数）？
(3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式：
方式一：购买不超过5斤百香果，每斤12元，超出5斤的部分，每斤打八折；
方式二：每斤售价10元；
为了给小明酿百香果蜜，张阿姨决定买35斤百香果，通过计算说明哪种方式购买更省钱．
【知识点 有理数除法的法则】
①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
【题型6 巧用分配律进行有理数的四则混合运算】
【例6】（2013秋·七年级单元测试）用简便方法计算：99989÷(−119)；
【变式6-1】（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）简便运算：−16+34−112÷148．
【变式6-2】（2023春·七年级课时练习）用简便方法计算：
(1)(-81)÷214-94 ÷（-16）;
(2)1÷{(-1111)×(-156)-(-3.9)÷［1-34+(-0.7)］}.
【变式6-3】（2023春·全国·七年级专题练习）小刚在课外书中看到这样一道有理数的混合运算题：
计算：136÷14+112−718−136+14+112−718−136÷136
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，他顺利地解答了这道题．
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪步分比较简便？并请计算比较简便的那部分．
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．
（4）根据以上分析，求出原式的结果．
【题型7 利用有理数的四则混合运算解决实际问题】
【例7】（2023·浙江·七年级假期作业）有一个水库某天8:00的水位为−0.1米（以警戒线为基准，记高于警戒线的水位为正），在以后的6个时刻测得的水位升降情况如下（记上升为正，单位：米）：0.5，−0.8，0，−0.2，−0.3，0.4．
(1)经这6次水位升降后，水库的水位超过警戒线了吗？
(2)现在由于下暴雨，水库水位以0.1米/小时速度上升，指挥部要求水位降至警戒线1米以下（含1米），现在水库匀速泄水，可使静态水位按0.2米/小时速度下降，为达到指挥部最低要求，求水库需放水的时间．
【变式7-1】（2023·浙江·七年级假期作业）明屹加油站周年庆，开展了加油每满10L立返现金5元（不足10L不返现金）的活动，出租车司机李师傅只在东西走向的路上开车接送乘客，他7:00从甲地出发（向东行驶的里程数记作正数），到8:00为止，他所行驶的里程记录如下（单位：公里）
+4；−3；−6；+13；−10；−4；+5．
(1)计算到8:00时，李师傅在甲地的哪个方向，距甲地多远？
(2)求从7:00开始到8:00为止，李师傅距甲地的最远距离．
(3)若李师傅当日工作至17:00为止，每小时行驶的里程相同，该车每百公里耗油8L，每升油7元，若李师傅今天出车时油箱是满的，中间没有加油，收工时想加满油箱，则李师傅当日在该加油站加油共花费多少元？
【变式7-2】（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）2022年国庆节期间，若顺德长鹿农庄在9月30日的游客人数为3万人，下表为7天假期中每天接待游客的人数与前一天相比的变化情况(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)：
(1)请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？
(2)与9月30日相比，10月7日客流量是上升了还是下降了？变化了多少？
(3)求这7天每天平均人数是多少万人？
【变式7-3】（2023·浙江·七年级假期作业）为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取，超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量）
(1)填空：小高家1月份的用水量_______吨，1~6月平均每月用水量为_______吨．
(2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？
(3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？
【题型8 巧用倒数解有关有理数除法的问题】
【例8】（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算50÷(13−14+112)．
解法一：原式＝50÷13−50÷14+50÷112=50×3−50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷(412−312+112)＝50÷212＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为(13−14+112)÷50
＝(13−14+112)×150=13×150−14×150+112×150=1300．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：(−142)÷(16−314+23−27)．
【变式8-1】（2023·江苏·七年级假期作业）阅读下题的计算方法：
计算：−124÷23−34+78
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：23−34+78÷−124=23−34+78×(−24)=−16+18−21=−19
所以原式=−119
根据材料提供的方法，尝试完成下面的计算：−120÷−14−25+910−32
【变式8-2】（2023春·辽宁鞍山·七年级阶段练习）阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如ab和ba，即若设a:b=x，则b÷a=1x；
材料二：分配律：(a+b)c=ac+bc；
利用上述材料，请用简便方法计算：(−160)÷(13−14+112).
【变式8-3】（2023春·福建泉州·七年级校联考期中）利用倒数的意义完成计算：
−124÷−12+23−34
【题型9 运用有理数的除法化简分数】
【例9】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：
（1）−217； （2）3−36； （3）−54−8； （4）−6−0.3．
【变式9-1】（2023春·全国·七年级专题练习）化简下列分数：（1）−72−8；（2）−130.2；（3）0.2−13．
【变式9-2】（2023春·河北唐山·七年级校考阶段练习）化简下列分数：（1）−26= ；（2）−6−24= ；（3）0−5= ；
【变式9-3】（2023春·七年级课时练习）化简下列分数：
(1) −2−6 ; (2) −3−9 ;
(3) 0−3 ; (4)- −a−b .
【题型10 与有理数的混合运算有关的分类讨论问题】
【例10】（2023春·全国·七年级专题练习）a、b为任何非零有理数，则aa+bb+abab的可能取值是（ ）
A．−3或1B．3或1或−1C．1或3D．−1或3
【变式10-1】（2023春·湖北恩施·七年级校考期中）已知a、b、c均为非零有理数，且x＝a|a|+|b|b+|c|c−abc|abc|，根据a、b、c的不同取值，x的不同结果有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式10-2】（2023春·山东聊城·七年级校考期中）若ab≠0，则aa−bb的取值不可能是（ ）．
A．0B．1C．2D．−2
【变式10-3】（2023春·福建泉州·七年级校考阶段练习）已知x1,x2,x3,⋅⋅⋅x20都是不等于0的有理数，若y1=x1x1，则y1等于1或−1；若y2=x1x1+x2x2，则y2等于2或−2或0；若y20=x1x1+x2x2+x3x3+⋅⋅⋅+x20x20，则y20所有可能等于的值的绝对值之和等于 ．序号
1
2
3
4
5
6
7
路程
+5
−3
+10
−8
−6
+12
−10
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
+5
−2
−4
+13
−10
+16
−9
与标准重量偏差（单位：千克）
−2
−1
0
1
2
3
袋数
5
10
3
1
5
6
星期
一
二
三
四
五
六
日
每斤价格相对于标准价格（元）
+1
−2
+3
−1
+2
+5
−4
售出斤数
20
35
10
30
15
5
50
日期
1日
2日
3日
4日
5日
6日
7日
人数变化/万人
+1.7
+0.6
+0.3
−0.3
−0.6
+0.2
−1.1
1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
水表读数（吨）
433
450
468
485
500
514
535