[数学][期末]辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)

这是一份[数学][期末]辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高一下学期期末考试试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.
1. 已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. 1B. -1C. D.
【答案】B
【解析】由题得，所以，所以复数的虚部是.
故选：B.
2. 已知向量 ，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
则，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A.
3. 已知是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题中，不正确的有（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以，
因为，所以，所以A正确；
对于B，过作平面，因为，所以，
因为，，所以，
因为，，所以，所以，所以B正确；
对于C，当时，或，所以C错误；
对于D，因为，所以，
因，所以，所以D正确.
故选：C.
4. 机械学家莱洛发现的莱洛三角形给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为1，则莱洛三角形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由已知，，得，
则莱洛三角形的周长是.
故选：A．
5. 已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由已知得圆锥母线是球半径，设球半径为，圆锥底面圆半径为，
由圆锥高为，得，
由圆锥的侧面展开图是一个半圆得：，
联立方程组，解得，所以球表面积为.
故选：C.
6. 已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，，
在定义域内存在唯一，使得，
所以在上有唯一解，令，
所以在上有唯一解，
则由正弦函数图像性质可知.
故选：D.
7. 如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，
建立平面直角坐标系，则，
设，则．因为，所以，
由题意知，圆O的半径，因为点P在弧（包括端点）上，
所以，所以的取值范围是．
方法二：如图2，连接，易知，
设，则，
由已知可得，
所以，
所以
，
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围是.
故选：C．
8. 已知单调函数，若实数满足，且，则（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数，
所以，
所以关于点中心对称，
因为，，且为单调函数，
所以，，则.
故选：.
二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部份分，有选错的得0分.
9. 已知函数的部分图象如图所示下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象的对称轴方程为直线
C. 函数的单调递减区间为
D. 若对于任意，都有成立，实数的取值范围为
【答案】ABD
【解析】对于A，函数周期，，解得，
A正确；
对于B，由，得，
而，则，即，
由，解得，
函数的图象的对称轴方程为直线，B正确；
对于C，由，得，
因此函数的单调递减区间为，C错误；
对于D，当时，，，即，
由，显然，，
因此，D正确.
故选：ABD.
10. 已知复数均为虚数，且，则（ ）
A.
B.
C. 为纯虚数
D. 存在某个实系数二次方程，它的两个根为
【答案】BC
【解析】设，
，
，
对于A ，，故A 错误；
对于B，，
，
所以，故B正确；
对于C，，
，
为纯虚数，故C正确；
对于D，因为为虚数，
为实数，所以实系数二次方程，要么，要么，
不可能既有实数根，又有虚数根，故D错误.
故选：BC.
11. 在棱长为2的正方体中，M为中点，N为四边形内一点（含边界），若平面，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 三棱锥的体积为
C. 点N的轨迹长度为D. 的取值范围为
【答案】BD
【解析】在棱长为2的正方体中，为中点，
为四边形内一点（含边界），
平面，
取、中点分别为、，连接、、、，，如图：
为正方体，为中点，为中点，
，，，，
、平面，、平面，且，，
平面平面，
为四边形内一点（含边界），且平面，
点在线段上（含端点），
对于A：当在时，则与夹角为，此时，
则与不垂直，故A不正确；
对于B为四边形内一点（含边界），
到平面的距离为2，
三棱锥的体积为，故B正确；
对于C：由于点在线段上（含端点），
而，
点的轨迹长度为，故C不正确；
对于D为正方体，平面，
平面，，
△为直角三角形，且直角为，
，
点在线段上（含端点），
则当最大时，即点为点时，此时，此时最小，为，
当最小时，即，此时，
此时最大，最大为，
则的取值范围，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分.
12. 已知锐角，且满足.则__________.
【答案】
【解析】，且为锐角，得，
由为锐角，得，而，
得，
则
.
故答案为：.
13. 已知PC是三棱锥外接球的直径，且，，三棱锥体积的最大值为8，则其外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】如图，因为是三棱锥外接球的直径，所以，
又，故平面，
因平面，则，又，所以面，
因平面，故．
于是，三棱锥的体积为．
因（当且仅当时等号成立），
所以体积的最大值为，依题意，解得，
因，故，
所以三棱锥的外接球的表面积为：．
故答案为：.
14. 已知是锐角三角形，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，若，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由正弦定理得：
，
又，即，可得，
又是锐角三角形，
可得，即，解得，
令，则，
则，开口向上，对称轴，
即在上单调递增，
所以，即
即的取值范围是
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字、证明过程和步骤.
15. 在中，角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边的中点，求的长.
解：（1）因为，
根据正弦定理，
得，
化简得，因为，所以，
因为，所以.
（2）在中，由余弦定理得，
所以，解得，
因为为的中线，所以，
所以，
因为，所以，解得.
16. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
解：（1）连接交于点，连接，由底面是正方形，故为中点，
又点为线段的中点，故，
又平面，平面，故平面.
（2）由点为线段的中点，，易知，
由平面，平面，故，
又底面是正方形，故，
而､平面，，故平面，
又平面，故，
又､平面，，故平面.
（3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等，
故.
17. 已知，对任意都有，
（1）求的值：
（2）若当时方程有唯一实根，求的范围.
（3）已知，若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）对任意都有，则函数的图象关于直线对称，
所以，而，则，所以.
（2），当时，设，
在为增函数，在为减函数，
所以方程有唯一实根，等价于与的图象有一个交点，
由图象可知或，
所以或，
所以的范围是.
（3）由（1）知，，则，
，，
当时，，，令，
显然，
不等式，
依题意，，不等式恒成立，
显然，
，当且仅当，即时取等号，
则，所以实数的取值范围是.
18. 如图，正三棱柱中，，点为的中点.
（1）证明：平面平面
（2）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（3）求二面角平面角的正切值.
解：（1）在正三棱柱中，因为点为的中点，
则，
又平面，平面，
则有，
而，平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）在平面内过点作交于点，
因为平面平面，平面，
所以平面，则点即为所要找的点，
如下图所示，因为，，
所以与相似，
因此，
即有，于是，，所以.
（3）在平面上，过点作垂直垂足为，
因为点为的中点，
所以为的四等分点，即，
过点作的垂线垂足为，连接，
平面平面，平面平面，
因此平面，
所以有，
由二面角定义可得为二面角的平面角，
为直角三角形，
边上的高为，则有，
所以.
19. 在中，，点为的外心.
（1）若，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）求证：.
解：（1）由，
由余弦定理得
，
取的中点，连接，则，
所以，
同理可得，
所以的值为22.
（2）不妨设，
因，同理可得，
则由可得
，即得：①，
又由可得
，即得：②，
联立①，②，解得：
则，
因，当且仅当时等号成立，
即当时，取得最大值.
（3）由，则，
由图知，则，
设的外接圆半径为，
则，
即，
又，
而，
则，而，
故，
不妨设与的夹角为，
则，
因，故，即，
故，得证.