新高考数学一轮复习讲义第6章　§6.6　数列中的综合问题（2份打包，原卷版+含解析）

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题型一 等差数列、等比数列的综合运算
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝eq \f(3,2)n2＋eq \f(1,2)n，递增的等比数列{bn}满足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和Tn.
思维升华 数列的综合问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．
跟踪训练1 )记Sn为数列{an}的前n项和．已知eq \f(2Sn,n)＋n＝2an＋1.
(1)证明：{an}是等差数列；
(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
题型二 数列与其他知识的交汇问题
命题点1 数列与不等式的交汇
例2 (1)已知数列{an}满足a1＋eq \f(1,2)a2＋eq \f(1,3)a3＋…＋eq \f(1,n)an＝n2＋n(n∈N*)，设数列{bn}满足：bn＝eq \f(2n＋1,anan＋1)，数列{bn}的前n项和为Tn，若TnA.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，＋∞)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，＋∞))
(2)已知数列{an}满足a1＝eq \f(3,7)，3an,2an＋1，anan＋1成等差数列．
①证明：数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－1))是等比数列，并求{an}的通项公式；
②记{an}的前n项和为Sn，求证：eq \f(12,7)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n))≤Sn命题点2 数列与函数的交汇
例3 (1)已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋4x，记等差数列{an}的前n项和为Sn，若f(a1＋2)＝100，f(a2 022＋2)＝－100，则S2 022等于( )
A．－4 044 B．－2 022
C．2 022 D．4 044
(2)数列{an}是等差数列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，则实数λ的最大值为________．
思维升华
(1)数列与不等式的综合问题及求解策略
①判断数列问题的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小或借助数列对应的函数的单调性比较大小．
②以数列为载体，考查不等式恒成立的问题，此类问题可转化为函数的最值．
③考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题一般采用放缩法进行证明，有时也可通过构造函数进行证明．
(2)数列与函数交汇问题的主要类型及求解策略
①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．
②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要利用数列的通项公式、前n项和公式、求和方法等对式子化简变形．
跟踪训练2 (1)设{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2 023的两个零点是a2，a3，则a1a4等于( )
A．2 023 B．1 C．－1 D．－2 023
(2)数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn为其前n项和．数列{bn}为等差数列，且满足b1＝a1，b4＝S3.
①求数列{an}，{bn}的通项公式；
②设cn＝eq \f(1,bn·lg2a2n＋2)，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：eq \f(1,3)≤Tn课时精练
1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,4a1,2a3，a5成等差数列，则a1等于( )
A．5eq \r(2)－5 B．5eq \r(2)＋5 C．5eq \r(2) D．5
2．直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前受到了广大消费者的追捧，针对这种现状，某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过____年其投入资金开始超过7 000万元( )
(参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
A．14 B．13 C．12 D．11
3．在正项等比数列{an}中，eq \r(3)为a6与a14的等比中项，则a3＋3a17的最小值为( )
A．2eq \r(3) B．89 C．6 D．3
4．在等比数列{an}中，a2＝－2a5,1A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,16)，\f(11,8))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(33,16)，\f(33,8)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,8)，－\f(11,16))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(33,8)，－\f(33,16)))
5．(多选)已知函数f(x)＝lg x，则下列四个命题中，是真命题的为( )
A．f(2)，f(eq \r(10))，f(5)成等差数列
B．f(2)，f(4)，f(8)成等差数列
C．f(2)，f(12)，f(72)成等比数列
D．f(2)，f(4)，f(16)成等比数列
6．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了Fn＝22n＋1(n＝0,1,2，…) 是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出F5＝641×6 700 417，不是质数．现设an＝lg4(Fn－1)(n＝1,2，…)，Sn表示数列{an}的前n项和．若32Sn＝63an，则n等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
7.宋元时期我国数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中“落—形”就是每层为“三角形数”的三角锥垛，三角锥垛从上到下最上面是1个球，第二层是3个球，第三层是6个球，第四层是10个球，…，则这个三角锥垛的第十五层球的个数为________．
8．已知数列{an}的通项公式为an＝ln n，若存在p∈R，使得an≤pn对任意的n∈N*都成立，则p的取值范围为________．
9．记关于x的不等式x2－4nx＋3n2≤0(n∈N*)的整数解的个数为an，数列{bn}的前n项和为Tn，满足4Tn＝3n＋1－an－2.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设cn＝2bn－λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))n，若对任意n∈N*，都有cn10．设n∈N*，有三个条件：①an是2与Sn的等差中项；②a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)；③Sn＝2n＋1－2.在这三个条件中任选一个，补充在下列问题的横线上，再作答．
若数列{an}的前n项和为Sn，且________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若{an·bn}是以2为首项，4为公差的等差数列，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
11．设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，则( )
A．a1a3，a2C．a1a4 D．a1>a3，a2>a4
13．函数y＝f(x)，x∈[1，＋∞)，数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，
①函数f(x)是增函数；
②数列{an}是递增数列．
写出一个满足①的函数f(x)的解析式________．
写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式________．
14．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4，x≤－3，,－x2＋2，x>－3，))数列{an}满足an＋1＝f(an)(n∈N*)，若{an}是等差数列．则a1的取值范围是__________．
15．若数列{an}对于任意的正整数n满足：an>0且anan＋1＝n＋1，则称数列{an}为“积增数列”．已知“积增数列”{an}中，a1＝1，数列{aeq \\al(2,n)＋aeq \\al(2,n＋1)}的前n项和为Sn，则对于任意的正整数n，有( )
A．Sn≤2n2＋3 B．Sn≥n2＋4n
C．Sn≤n2＋4n D．Sn≥n2＋3n
16．设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对于所有的正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令bn＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an＋1,an)＋\f(an,an＋1)))(n∈N*)，求证：b1＋b2＋b3＋…＋bn<1＋n.