2024年福建省中考数学试卷

这是一份2024年福建省中考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣3B．0C．D．
2．（4分）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A．6961×10B．696.1×102
C．6.961×104D．0.6961×105
3．（4分）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．a4÷a2＝a2C．（a3）2＝a5D．2a2﹣a2＝2
6．（4分）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．（4分）如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
8．（4分）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（ ）
A．（1+4.7%）x＝120327B．（1﹣4.7%）x＝120327
C．D．
9．（4分）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（ ）
A．OB⊥ODB．∠BOC＝∠AOB
C．OE＝OFD．∠BOC+∠AOD＝180°
10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数a，使得y1＞a
B．无论实数a取什么值，都有y1＞a
C．可以找到一个实数a，使得y2＜0
D．无论实数a取什么值，都有y2＜0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）因式分解：x2+x＝ ．
12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是 ．
13．（4分）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 ．（单位：分）
14．（4分）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 ．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 ．
16．（4分）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝ ．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF．
19．（8分）解方程：．
20．（8分）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
（1）求A地考生的数学平均分；
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明．
21．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
22．（10分）如图，已知直线l1∥l2．
（1）在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．
23．（10分）已知实数a，b，c，m，n满足，．
（1）求证：b2﹣12ac为非负数；
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．
24．（12分）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 ．
（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示：
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒．如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
25．（14分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F．
（1）求的值；
（2）求证：△AEB∽△BEC；
（3）求证：AD与EF互相平分．
2024年福建省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（4分）下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣3B．0C．D．
【解答】解：﹣3，0是整数，是分数，它们不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
2．（4分）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球PCT（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A．6961×10B．696.1×102
C．6.961×104D．0.6961×105
【解答】解：69610＝6.961×104．
故选：C．
3．（4分）如图是由长方体和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：这个立体图形的俯视图是一个圆，圆内部中间有一个矩形．
故选：C．
4．（4分）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD⊥DE）按如图方式摆放，若AB∥CD，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABF＝60°，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠1＝180°﹣60°﹣90°＝30°．
故选：A．
5．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a3＝a9B．a4÷a2＝a2C．（a3）2＝a5D．2a2﹣a2＝2
【解答】解：a3•a3＝a6，则A不符合题意；
a4÷a2＝a2，则B符合题意；
（a3）2＝a6，则C不符合题意；
2a2﹣a2＝a2，则D不符合题意；
故选：B．
6．（4分）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有：（3，5），（5，3），共2种，
∴和是偶数的概率为．
故选：B．
7．（4分）如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于（ ）
A．18°B．30°C．36°D．72°
【解答】解：∵C为的中点，∠AOB＝72°，
∴∠AOC＝∠BOC＝36°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠OAC＝72°，
∵直线MN与⊙O相切，切点为C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠ACM＝∠OCM﹣∠ACO＝90°﹣72°＝18°，
故选：A．
8．（4分）今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长4.7%，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为x亿元，则符合题意的方程是（ ）
A．（1+4.7%）x＝120327B．（1﹣4.7%）x＝120327
C．D．
【解答】解：根据题意得：（1+4.7%）x＝120327．
故选：A．
9．（4分）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图．其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（ ）
A．OB⊥ODB．∠BOC＝∠AOB
C．OE＝OFD．∠BOC+∠AOD＝180°
【解答】解：∵△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，
∴△OAB≌△ODC，
∴∠AOB＝∠COD，
∵点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴∠AOE＝∠BOE∠AOB，∠COF＝∠DOF∠COD，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠COF＝∠DOF，
∵OE⊥OF，
∴∠BOE+∠BOF＝90°，
∵∠BOE＝∠DOF，
∴∠DOF+∠BOF＝90°，
∴OB⊥OD，故A正确；
∵∠AOB与∠BOC的度数不能确定，
∴无法证明∠BOC与∠AOB的关系，故B错误；
∵△OAB≌△ODC，点E，F分别是底边AB，CD的中点，
∴OE＝OF，故C正确；
∵OB⊥OD，
∴∠BOC+∠COD＝90°①，
∵OE⊥OF，
∴∠COF+∠EOC＝90°，
∵∠COF＝∠AOE，
∴∠AOE+∠EOC＝90°，
∴OC⊥OA，
∴∠AOB+∠BOC＝90°②，
①+②得，∠BOC+∠COD+∠AOB+∠BOC＝180°，
即∠BOC+∠AOD＝180°，故D正确．
故选：B．
10．（4分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数a，使得y1＞a
B．无论实数a取什么值，都有y1＞a
C．可以找到一个实数a，使得y2＜0
D．无论实数a取什么值，都有y2＜0
【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，且对称轴为xa，顶点坐标为（a，a﹣a2），
当a＞0时，0a，
∴a﹣a2＜y1＜a，
当a＜0时，a0，
∴a﹣a2＜y1＜a，
故A、B错误，不符合题意；
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，所以当x＝3a时，y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，由二次函数对称性可知可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以当x＝3a时y2＞a，不一定大于0，
故C正确，符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）因式分解：x2+x＝ x（x+1） ．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）．
12．（4分）不等式3x﹣2＜1的解集是 x＜1 ．
【解答】解：3x﹣2＜1，
3x＜1+2，
3x＜3，
x＜1，
∴不等式3x﹣2＜1的解集是：x＜1，
故答案为：x＜1．
13．（4分）学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是 90 ．（单位：分）
【解答】解：这12名学生测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是90，因此中位数是90．
故答案为：90．
14．（4分）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 2 ．
【解答】解：连接HF、EG，
∵正方形ABCD的面积为4，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∵H、F分别为边BC、DA的中点，
∴四边形BFHA是平行四边形，
∴AB＝HF，AB∥HF，
同理BC＝EG，BC∥EG，
∵AB⊥BC，
∴HF⊥EG，
∴四边形EFGH的面积是EG×HF2×2＝2．
故答案为：2．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限．若A（1，2），则点B的坐标为 （2，1） ．
【解答】解：根据圆和反比例函数都是中心对称图形，点A与B关于直线y＝x对称，
设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，将点A（1，2）坐标代入得，
2＝﹣1+b，解得b＝3，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3，
∵点A（1，2）在反比例函数图象上，
∴反比例函数解析式为y，
联立方程组，解得，．
∴B（2，1）．
故答案为：（2，1）．
16．（4分）无动力帆船是借助风力前行的．如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝ 128 ．（单位：N）（参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77）
【解答】解：如图，
∵∠PDA＝70°，∠PDQ＝30°，
∴∠ADQ＝∠PDA﹣∠PDQ＝70°﹣30°＝40°，∠1＝∠PDQ＝30°，
∵AB//QD，
∴∠BAD＝∠ADQ＝40°，
在Rt△ABD中，F＝AD＝400，∠ABD＝90°，
∴F2＝BD＝AD•sin∠BAD＝400•sin 40°＝400×0.64＝256，
由题意可知，BD⊥DQ，
∴∠BDC+∠1＝90°，
∴∠BDC＝90°﹣∠1＝60°，
在Rt△BCD中，BD＝256，∠BCD＝90°，
∴f2＝CD＝BD•cs∠BDC＝256×cs60°＝256128，
故答案为：128．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）计算：．
【解答】解：原式＝1+5﹣2
＝6﹣2
＝4．
18．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
在△ABE和△ADF 中，

∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF．
19．（8分）解方程：．
【解答】解：原方程两边都乘（x+2）（x﹣2），去分母得：3（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝x（x+2），
整理得：3x﹣10＝2x，
解得：x＝10，
检验：当x＝10时，（x+2）（x﹣2）≠0，
故原方程的解为x＝10．
20．（8分）已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
（1）求A地考生的数学平均分；
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明．
【解答】解：（1）由题意，得A地考生的数学平均分为86（分）．
（2）不能．
举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为（分），
因为85＜86，所以不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高（答案不唯一，只要学生能作出正确判断，并且所举的例子能说明其判断即可）．
21．（8分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣2，0），C（0，﹣2）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意，将A（﹣2，0），C（0，﹣2）代入 y＝x2+bx+c得
∴
∴二次函数的表达式为y＝x2+x﹣2．
（2）由题意，设P（m，n）（m＜0，n＞0），
又△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，
∴，．
∴．
又CO＝2，
∴n＝2CO＝4．
由m2+m﹣2＝4，
∴m1＝﹣3，m2＝2 （舍去）．
∴点P坐标为 （﹣3，4）．
22．（10分）如图，已知直线l1∥l2．
（1）在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求作的直线；
（2）①当∠BAC＝90°，AB＝AC时，如图2，
∵l∥l1∥l2，直线l1 与 l2 间的距离为2，且l与 l1 间的距离等于l与 l2 间的距离，
根据图形的对称性可知：BC＝2，
∴，
∴，
②当∠ABC＝90°，BA＝BC 时，
如图3，分别过点A，C作直线 l1 的垂线，垂足为M，N，
∴∠AMB＝∠BNC＝90°，
∵l∥l1∥l2，直线l1 与 l2 间的距离为2，且l与 l1 间的距离等于l与 l2 间的距离，
∴CN＝2，AM＝1，
∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠NBC+∠ABM＝90°，
∴∠MAB＝∠NBC，
∴△AMB≌△BNC（AAS），
∴BM＝CN＝2，
在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM2+BM2＝12+22＝5，
∴，
∴，
③当∠ACB＝90°，CA＝CB时，同理②可得，
，
综上所述，△ABC的面积为1或．
23．（10分）已知实数a，b，c，m，n满足，．
（1）求证：b2﹣12ac为非负数；
（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．
【解答】解：（1）证明：∵，
∴b＝a（3m+n），c＝amn，
则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn
＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn
＝a2（9m2﹣6mn+n2）
＝a2（3m﹣n）2，
∵a，m，n是实数，
∴a2（3m﹣n）2≥0，
∴b2﹣12ac 为非负数．
（2）m，n不可能都为整数．
理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，
①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，
又∵，
∴b＝a（3m+n），
∵a为奇数，
∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾；
②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，
又∵，
∴c＝amn，
∵a为奇数，
∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，m，n不可能都为整数．
24．（12分）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸ABCD，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中AE＝FB），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是 C ．
（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如表所示：
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整AE，EF的比例，制作棱长为10cm的正方体礼品盒．如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【解答】解：（1）如图2：

上述图形折叠后变成如图3：
由折叠和题意可知，GH＝AE+FB，AH＝DH，
∵四边形EFNM是正方形，
∴EM＝EF，即 AG＝EF，
∴GH+AG＝AE+FB+EF，即AH＝AB，
∵AH＝DH，
∴，
∴的值为2；
（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故答案为：C；
（3）需要卡纸如表所示；理由如下：
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，如图4，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：
∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图5：

型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图6：

型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图7：
∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1＝27（个），
∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1＝58（元）．
25．（14分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E，BE的延长线交于点F．
（1）求的值；
（2）求证：△AEB∽△BEC；
（3）求证：AD与EF互相平分．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AB是⊙O的直径，
∴AC＝2AO，
∵∠BAC＝90°，
在Rt△AOC 中，，
∵AE⊥OC，
在Rt△AOE 中，，
∴，
∴；
（2）证明：过点B作 BM∥AE，交EO延长线于点M，如图1，
∴∠BAE＝∠ABM，∠AEO＝∠BMO＝90°．
∵AO＝BO，
∴△AOE≌△BOM（AAS），
∴AE＝BM，OE＝OM，
∵，
∴BM＝2OE＝EM，
∴∠MEB＝∠MBE＝45°，
∠AEB＝∠AEO+∠MEB＝135°，
∠BEC＝180°﹣∠MEB＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABM＝∠CBE，
∴∠BAE＝∠CBE，
∴△AEB∽△BEC；
（3）连接DE，DF．如图2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AFB＝90°，AB＝2AO．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴BC＝2BD，∠DAB＝45°，
由（2）知，△AEB∽△BEC，
，∠EAO＝∠EBD，
∴△AOE∽△BDE，
∴∠BED＝∠AEO＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴AF∥DE，
由（2）知，∠AEB＝135°，
∴∠AEF＝180°﹣∠AEB＝45°．
∵∠DFB＝∠DAB＝45°，
∴∠DFB＝∠AEF，
∴AE∥FD，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AD与EF互相平分．
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型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
30×40
20×80
80×80
单价（单位：元）
3
5
20
2
3
5
2
（2，3）
（2，5）
3
（3，2）
（3，5）
5
（5，2）
（5，3）
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
30×40
20×80
80×80
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张）
1
3
2
所用卡纸总费用（单位：元）
58