2024年山西省中考数学试卷

这是一份2024年山西省中考数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下100℃．若零上150℃记作+150℃，则零下100℃记作（ ）
A．+100℃B．﹣100℃C．+50℃D．﹣50℃
2．（3分）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．山西煤炭化学研究所
B．东北地理与农业生态研究所
C．西安光学精密机械研究所
D．生态环境研究中心
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n＝2mnB．m6÷m2＝m3
C．（﹣mn）2＝﹣m2n2D．m2•m3＝m5
4．（3分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（ ）
A．155°B．125°C．115°D．65°
6．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2
7．（3分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
8．（3分）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝7.5x+0.5B．y＝7.5x﹣0.5
C．y＝15xD．y＝15x+45.5
10．（3分）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等D．互相垂直平分且相等
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
12．（3分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 cm（结果保留根号）．
13．（3分）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝ m/s．
14．（3分）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF＝∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G．若AB，AD＝4，tan∠ABC＝2，则BG的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]；
（2）化简（）．
17．（7分）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
18．（10分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
19．（7分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
20．（7分）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cs18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
21．（9分）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ．
（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
22．（12分）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
23．（13分）综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F．
猜想证明：
（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H．
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q．若AB＝5，BE＝4，直接写出四边形AMNQ的面积．
2024年山西省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）中国空间站位于距离地面约400km的太空环境中．由于没有大气层保护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下100℃．若零上150℃记作+150℃，则零下100℃记作（ ）
A．+100℃B．﹣100℃C．+50℃D．﹣50℃
【答案】B
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，若零上150℃记作+150℃，则零下100℃记作﹣100℃．
故选：B．
2．（3分）1949年，伴随着新中国的诞生，中国科学院（简称“中科院”）成立．下列是中科院部分研究所的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．山西煤炭化学研究所
B．东北地理与农业生态研究所
C．西安光学精密机械研究所
D．生态环境研究中心
【答案】A
【解答】解：A中的图形是中心对称图形，符合题意；
B、C、D中的图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2m+n＝2mnB．m6÷m2＝m3
C．（﹣mn）2＝﹣m2n2D．m2•m3＝m5
【答案】D
【解答】解：A、2m与n不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、m6÷m2＝m4，原计算错误，不符合题意；
C、（﹣mn）2＝m2n2，原计算错误，不符合题意；
D、m2•m3＝m5，正确，符合题意．
故选：D．
4．（3分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
故选：C．
5．（3分）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（ ）
A．155°B．125°C．115°D．65°
【答案】C
【解答】解：如图，∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠3＝90°，
∵重力G的方向竖直向下，
∴∠α+∠1＝90°，
∴∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°，
∵摩擦力F2的方向与斜面平行，
∴∠β+∠2＝180°，
∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
6．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．y1≥y2
【答案】B
【解答】解：因为正比例函数y＝3x的比例系数是3＞0，
所以y随x的增大而增大．
又因为x1＜x2，
所以y1＜y2．
故选：B．
7．（3分）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．50°
【答案】D
【解答】解：∵，
∴∠B．
∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，
∴∠BAC＝90°，
∴∠C＝90°﹣40°＝50°．
故选：D．
8．（3分）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有：（红，白），（红，绿），（白，红），（绿，红），共4种，
∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为．
故选：B．
9．（3分）生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y（cm）是尾长x（cm）的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为（ ）
A．y＝7.5x+0.5B．y＝7.5x﹣0.5
C．y＝15xD．y＝15x+45.5
【答案】A
【解答】解：蛇的长度y（cm）是其尾长x（cm）的一次函数，
设y＝kx+b，
把x＝6时，y＝45.5；x＝8时，y＝60.5代入得，
解得，
∴y与x之间的关系式为y＝7.5x+0.5．
故选：A．
10．（3分）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等D．互相垂直平分且相等
【答案】A
【解答】解：如图所示，
连接BD，AC，
∵点H和点E分别是AD和AB的中点，
∴HE是△ABD的中位线，
∴HE．
同理可得，GF，
∴HE＝GF，HE∥GF，
∴四边形HEFG是平行四边形．
∵HE，HG，且AC＝BD，
∴HE＝HG，
∴平行四边形HEFG是菱形，
∴EG与HF互相垂直平分．
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： ＞ 2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＞．
【解答】解：∵，
∴2，
故答案为：＞．
12．（3分）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若NP＝2cm，则BC的长为 （） cm（结果保留根号）．
【答案】（）．
【解答】解：∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠N＝∠P＝90°，
又∵AB∥NP，
∴∠BAN+∠N＝180°，
∴∠BAN＝90°，
∴四边形ABPN是矩形，
∴AB＝NP＝2cm．
又∵，
∴BC＝（）cm．
故答案为：（）．
13．（3分）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝ 4 m/s．
【答案】4．
【解答】解：设反比例函数解析式为v，
∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；
∴k＝60×6＝360，
∴反比例函数解析式为v，
当m＝90kg时，v4（m/s），
答：当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝4m/s．
故答案为：4．
14．（3分）如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形AOB的圆心角为90°，OA＝1m，点C，D分别为OA，OB的中点，则花窗的面积为 m2．
【答案】．
【解答】解：由题知，
（m2），
∵点C，D分别是OA，OB的中点，
∴OC＝OD（m），
∴（m2），
∴花窗的面积为（）m2
故答案为：（）．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AE⊥BC于点E，点F是AE延长线上一点，且∠ACF＝∠CAF，线段AB，CF的延长线交于点G．若AB，AD＝4，tan∠ABC＝2，则BG的长为 ．
【答案】．
【解答】解法一：过点F作FH⊥AC于H，延长AD与GC的延长线交于K，如下图所示：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD，
又∵AE⊥BC
在Rt△ABE中，tan∠ABC2，
∴AE＝2BE，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝（）2，
∴BE＝1，
∴AE＝2BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AC，
∵∠ACF＝∠CAF，
∴FA＝FC，
∵FH⊥AC，
∴AH＝CHAC，
∵S△FACAC•FHAF•CE，
∴FH，
在Rt△AFH中，由勾股定理得：AF2﹣FH2＝AH2，
即，
∴AF，
∴EF＝AF﹣AE，
∵BC∥AD，
∴△FCE∽△FKA，
∴EF：AF＝CE：AK，
即，
∴AK，
∴DK＝AK﹣AD，
∵AB∥CD，
∴△KDC∽△KAG，
∴DK：AK＝CD：AG，
即，
∴AG，
∴BG＝AG﹣AB．
故答案为：．
解法二：过点G作GH⊥BC，交CB的延长线于H，如下图所示：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD＝4，AB∥CD，BC∥AD，
又∵AE⊥BC
在Rt△ABE中，tan∠ABC，
∴AE＝2BE，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即（2BE）2+BE2＝（）2，
∴BE＝1，
∴AE＝2BE＝2，
∴CE＝BC﹣BE＝3，
设EF＝a，则AF＝AE+EF＝2+a，
∵∠ACF＝∠CAF，
∴AF＝CF＝2+a，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：CF2＝CE2+EF2，
即（2+a）2＝32+a2，
解得：a，
∵∠GBH＝∠ABC，
∴在Rt△GBH中，tan∠GBH，
∴GH＝2HB，
设HB＝b，则GH＝2b，CH＝BC+HB＝4+b，
在Rt△GBH中，由勾股定理得：GB，
∵GH⊥BC，AF⊥BC，
∴EF∥GH，
∴△CEF∽△CHG，
∴CE：CH＝EF：GH，
即3：（4+b）：2b，
解得：b，
∴GH，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]；
（2）化简（）．
【答案】（1）﹣10；
（2）．
【解答】解：（1）（﹣6）（）﹣2+[（﹣3）+（﹣1）]
＝（﹣6）（）﹣2+（﹣3﹣1）
＝（﹣6）（）﹣2﹣4
＝﹣2﹣4﹣4
＝﹣10；
（2）（）

•
．
17．（7分）为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个．其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个．若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
【答案】最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
【解答】解：设可购买这种型号的水基灭火器x个，则购买干粉灭火器（50﹣x）个，
根据题意得：540x+380（50﹣x）≤21000，
解得：x≤12.5，
∵x为整数，
∴x取最大值为12，
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个．
18．（10分）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
（1）填空：a＝ 7.5 ，b＝ 7 ，c＝ 25% ；
（2）小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
【答案】（1）7.5；7；25%．
（2）小祺的观点比较片面，理由见解析．
【解答】解：（1）a7.5（分），
b＝7（分），
c100%＝25%，
故答案为：7.5；7；25%．
（2）小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：①甲组成绩的优秀率为37.5%，高于乙组成绩的优秀率25%，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
19．（7分）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克．已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克．
【答案】从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
【解答】解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克，
根据题意得：，
解得：，
即从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克．
20．（7分）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；……
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cs18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
【答案】点A到地面的距离AB的长约为27米．
【解答】解：延长CD交AB于点H，
由题意得，四边形CMBH为矩形，
∴CM＝HB＝20，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°，
∴，
∴，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°，
∴，
∴，
设AH＝x．
∵AE＝9，
∴EH＝x+9，
∴，
解得x≈7.1，
∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米）
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
21．（9分）阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
任务：
（1）直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： 240 ．
（2）如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】（1）240；（2）∠BAD＝∠FAD，理由见解析；（3）见解析．
【解答】解：（2）∠BAD＝∠FAD．
理由如下：连接BD，FD．
∵六边形ABCDEF是等边半正六边形．
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠C＝∠E．
∴△BCD≌△FED．
∴BD＝FD．
在△ABD与△AFD 中，

∴△BAD≌△FAD．
∴∠BAD＝∠FAD．
（3）答案不唯一，
作法一：作法二：
如图，六边形ABCDEF即为所求．
22．（12分）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】（1）y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）；
（2）DE的长为4米，CF的长为2米；
（3）米．
【解答】解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝6，
∴．
∴点B的坐标为（3，0），
∵OP＝9，
∴点P的坐标为（0，9），
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+9，
∵点B（3，0）在抛物线y＝ax2+9 上，
∴9a+9＝0，
解得：a＝﹣1．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+9（﹣3≤x≤3）；
（2）点D，E在抛物线y＝﹣x2+9 上，
∴设点E的坐标为（m，﹣m2+9），
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DF＝EF＝m，OF＝﹣m2+9，
∴DE＝2m．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴．
∴CF＝OF﹣OC＝﹣m2+9﹣3＝﹣m2+6，
根据题息，得DE+CF＝6，
∴﹣m2+6+2m＝6，
解得：m1＝2，m＝0（不符合题意，舍去），
∴m＝2．
∴DE＝2m＝4，CF＝﹣m2+6＝2
答：DE的长为4米，CF的长为2米；
（3）如图矩形灯带为GHML，
由点A、B、C的坐标得，直线AC和BC的表达式分别为：y＝x+3，y＝﹣x+3，
设点G（m，﹣m2+9）、H（﹣m，﹣m2+9）、L（m，m+3）、M（﹣m，﹣m+3），
则矩形周长＝2（GH+GL）＝2（﹣2m﹣m2+9﹣m﹣3）＝﹣（m+1.5）2，
故矩形周长的最大值为米．
23．（13分）综合与探究
问题情境：如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AD于点F．
猜想证明：
（1）判断四边形AECF的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将图1中的△ABE绕点A逆时针旋转，得到△AHG，点E，B的对应点分别为点G，H．
①如图2，当线段AH经过点C时，GH所在直线分别与线段AD，CD交于点M，N．猜想线段CH与MD的数量关系，并说明理由；
②当直线GH与直线CD垂直时，直线GH分别与直线AD，CD交于点M，N，直线AH与线段CD交于点Q．若AB＝5，BE＝4，直接写出四边形AMNQ的面积．
【答案】（1）四边形AECF为矩形，理由详见解析；（2）①CH＝MD，理由详见解析．② 或 ．
【解答】解：（1）四边形AECF为矩形．理由如下：
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEC＝90°，∠AFC＝90°，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠AFC+∠ECF＝180°，∠ECF＝180°﹣∠AFC＝90°
∴四边形AECF为矩形．
（2）①CH＝MD．理由如下：
证法一：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D．
∵△ABE 旋转得到△AHG，
∴AB＝AH，∠B＝∠H．
∴AH＝AD，∠H＝∠D．
∵∠HAM＝∠DAC，
∴△HAM≌△DAC，
∴AM＝AC，
∴AH﹣AC＝AD﹣AM，
∴CH＝MD．
证法二：
如图，连接HD．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADC，
∵△ABE 旋转得到△AHG，
∴AB＝AH，∠B＝∠AHM，
∴AH＝AD，∠AHM＝∠ADC，
∴∠AHD＝∠ADH，
∴∠AHD﹣∠AHM＝∠ADH﹣∠ADC，
∴∠MHD＝∠CDH，
∵DH＝HD，
∴△CDH≌△MHD，
∴CH＝MD．
②情况一：如图，当点G旋转至BA的延长线上时，GH⊥CD，此时S四边形AMNQ．
∵AB＝5，BE＝4，
∴由勾股定理可得AE＝3，
∵△ABE旋转到△AHG，
∴AG＝AE＝3，GH＝BE＝4，∠H＝∠B，
∵GN⊥CD，
∴GN＝AE＝3，
∴NH＝1，
∵AD∥BC，
∴∠GAM＝∠B，
∴tan∠GAM＝tan∠B，即，
解得GM，则MH，
∵tan∠H＝tan∠B，
∴在Rt△QNH中，QN，
∴S四边形AMNQ＝S△AMH﹣S△QNHMH•AGNH•QN．
情况二：如图，当点G旋转至BA上时，GH⊥CD，此时S四边形AMNQ．
同第一种情况的计算思路可得：NH＝7，QN，AG＝3，MH，
∴S四边形AMNQ＝S△QNH﹣S△AMHNH•QNMH•AG．
综上，四边形AMNQ的面积为 或 ．
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6
8
10
体长y（cm）
45.5
60.5
75.5
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
优秀率
甲组
7.625
a
7
4.48
37.5%
乙组
7.625
7
b
0.73
c
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
红
白
绿
红
（红，白）
（红，绿）
白
（白，红）
（白，绿）
绿
（绿，红）
（绿，白）
尾长（cm）
6
8
10
体长y（cm）
45.5
60.5
75.5
平均数（分）
中位数（分）
众数（分）
方差
优秀率
甲组
7.625
a
7
4.48
37.5%
乙组
7.625
7
b
0.73
c
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组
研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．
研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠A＝∠C＝∠E，∠B＝∠D＝∠F，且∠A≠∠B．
性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…