2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）重难点专题2-1函数与方程10类常考压轴小题含解析答案

这是一份2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）重难点专题2-1函数与方程10类常考压轴小题含解析答案，共59页。

【题型1】分段函数零点个数问题
【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）
【题型3】嵌套（复合）函数求值问题
【题型4】反函数对称性的应用
【题型5】不等式恒成立与能成立问题
【题型6】存在，任意双变量问题
【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题
【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题
【题型9】2个函数存在对称点问题
【题型10】隐零点问题初步
【题型1】分段函数零点个数问题
先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，首先要准确绘制分段函数的图像，确保每个分段的图像都正确无误.在绘制过程中，特别注意分段连接点处的图像变化
1．已知函数，若实数，则函数的零点个数为（ ）
A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3
（2024·高三·北京通州·期末）
2．已知函数
（1）若，则的零点是 .
（2）若无零点，则实数的取值范围是 .
【巩固练习1】
（2024·北京西城·一模）
3．设，函数 若恰有一个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
4．已知函数若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
（23-24高三上·陕西西安·期末）
5．已知函数若，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】
（2024·山西·模拟预测）
6．已知函数若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习5】
7．已知函数， 令，则下列说法正确的（ ）
A．函数的单调递增区间为
B．当时，有3个零点
C．当时，的所有零点之和为
D．当时，有1个零点
【题型2】分段函数等高线（方程根之间的数量关系）
解决分段函数等高线（方程根之间的数量关系）问题，首先要明确分段函数的定义和各分段上的表达式.接着，对于每个分段，分别令函数值等于某个常数，以构造等高线方程.然后，解这些等高线方程，找出它们的根，并关注这些根之间的数量关系.特别地，要注意分段连接点处等高线的行为，以及可能存在的多重根情况.最后，综合所有分段的信息，得出等高线方程根之间的数量关系.在解题过程中，数形结合的方法往往能提供直观的帮助.
8．已知函数，若有四个不同的解且，则的取值范围是 ．
（2024·陕西咸阳·模拟预测）
9．已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．
（23-24高三上·广东·阶段练习）
10．设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为 ；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为 .
【巩固练习1】
（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）
11．已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
（23-24高三上·甘肃平凉·阶段练习）
12．已知函数，若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C．D．
【巩固练习3】
13．已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
（23-24高三上·湖北·开学考试）
14．设函数，若，且，则的值可以是（ ）
A．3B．4C．5D．
【巩固练习4】
15．已知函数，函数有四个不同的零点，， ，且，，则实数的取值范围是 ．
【巩固练习5】
（22-23高三上·四川内江·阶段练习）
16．设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为 .
【题型3】嵌套（复合）函数求值问题
嵌套（复合）函数求值问题的解题思路主要在于分层求解和逐步代入.首先，需要明确嵌套函数的构成，即确定内层函数和外层函数.其次，根据题目给定的自变量值，先求解内层函数的值，这个值将作为外层函数的输入.接着，将内层函数的输出值代入外层函数，进行求解，得到最终的函数值.在求解过程中，需要注意函数的定义域，确保每一步的求解都在函数的定义域内进行.最后，根据求解结果，给出问题的答案.
17．若函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，则
【巩固练习1】
18．任意时，恒成立，且函数单调，则 .
【巩固练习2】
19．已知函数是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式为 ，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 .
【题型4】反函数对称性的应用
反函数对称性在高三题型中主要体现在其图像关于直线y=x对称的性质.分析这类题型时，首先要明确反函数与原函数图像的这种对称性.其次，通过观察或计算原函数的图像，可以推断出其反函数的图像特征，如增减性、极值点等.再者，利用对称性，可以解决一些涉及反函数图像的问题，如求唯一公共点坐标、定值问题、参数问题等.最后，结合具体题目，灵活运用反函数的对称性，可以有效简化解题过程，提高解题效率.
（2024·云南昆明·模拟预测）
20．已知是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为（ ）
A．1012B．2024C．4048D．8096
21．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ．若满足，满足，则 .
（2024·山东淄博·一模）
22．设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为 .
【巩固练习1】
23．已知分别是方程与的根，则的值为 .
【巩固练习2】
（2024·湖南怀化·二模）
24．已知函数的零点为的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
25．已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习4】
（2024·四川绵阳·模拟预测）
26．已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （ ）
A．B．3C．6D．9
【巩固练习5】
（23-24高三下·重庆·阶段练习）
27．已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习5】
（23-24高三下·浙江·阶段练习）
28．已知函数的零点分别为，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【题型5】不等式恒成立与能成立问题
（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
不等式在区间D上恒成立；
（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式在区间D上恒成立．
不等式在区间D上恒成立．
（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
不等式在区间D上有解；
（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间D上有解
不等式在区间D上有解
29．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ．
（2024·山东泰安·模拟预测）
30．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 .
【巩固练习1】
31．已知函数，若在上有解，实数的取值范围为 ．
【巩固练习2】
32．已知函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围是 ．
【巩固练习3】
（2024·浙江·模拟预测）
33．已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 .
【巩固练习4】
34．已知函数满足，若关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为 ．
【巩固练习5】
（2024高三下·全国·专题练习）
35．若关于的不等式恒成立，则实数的最大值为 ．
【题型6】存在，任意双变量问题
存在任意双变量问题
（1），成立
（2），成立
（3），恒成立
（4），恒成立
（5）成立
（6）成立
（7）若，的值域分别为A，B，则有：
①，，使得成立，则；
②，，使得成立，则.
36．已知函数，．若，，使成立，则实数的取值范围为 ．
（2024·重庆·模拟预测）
37．已知函数，若存在使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
38．已知函数，，，．对，都，使得成立，则的范围是 ．
【巩固练习1】
39．已知，，若，，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习2】
40．已知函数，，对于存在的，存在，使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习3】
（23-24高三上·山东德州·阶段练习）
41．若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【巩固练习4】
（2024·山东泰安·二模）
42．已知函数.
(1)若的极大值为，求的值；
(2)当时，若使得，求的取值范围.
【题型7】关于的f(x)的方程根的个数问题
复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
43．设，若关于x的方程有三个不同的实数根，则实数t的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（2024·高三·河南·期末）
44．已知函数，若方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
（2024·内蒙古呼和浩特·二模）
45．已知函数，若关于的方程恰有3个不同的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
（2024·辽宁葫芦岛·二模）
46．已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型8】以分段函数为背景的嵌套函数零点个数问题
在高考数学命题中，嵌套函数问题常以考察数学思维能力的题型出现，常出现在选择或填空的压轴题中.对于嵌套问题，具有抽象程度高，综合性强的特点，是函数理解的一个难点，但却可以很好地考查学生对于数学抽象、逻辑推理、数学建模及直观想象等数学核心素养，是高考数学的高频热门考点.这类题典型的特点就是很绕，烧脑，需要慢慢悟，仔细体会.主打就是一个数学逻辑推理.
这类题要做对，必须对函数有深刻的理解.函数实际上就是自变量与函数值在一定的法则下的对应关系.只要遵循对应法则，那么自变量和函数值可以通过换元化归变化成不同的形式（当然转化的形式要对解题目标有效，即不做无效变换）
47．定义在上的满足对，关于的方程有7个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
48．设函数，若关于x的函数恰好有五个零点.则实数a的取值范围是 .
49．（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ）
A．-3B．-2C．0D．2
【巩固练习1】
（23-24高三上·山东滨州·期末）
50．设函数 若关于的方程有5个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【巩固练习2】
51．设函数，若方程有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习3】
52．已知函数若方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【题型9】2个函数存在对称点问题
53．已知函数，若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
（2023·全国·高三专题练习）
54．已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【巩固练习1】
（2024·四川内江·一模）
55．已知函数，，，若与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习2】
（2024·河北邯郸·二模）
56．若直角坐标平面内两点满足条件：
①点都在的图像上；
②点关于原点对称，则对称点对是函数的一个“兄弟点对”（点对与可看作一个“兄弟点对” ．
已知函数，则的“兄弟点对”的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【巩固练习3】
57．已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型10】隐零点问题初步
1、解题感悟
隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确实存在的问题.特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题
隐零点问题本质上还是函数的零点问题，只不过这个零点的值我们没有办法用一个确定的值来表示而已，也就是说我们明知道这个函数有一个零点，但就是没办法给出这个零点的具体数值，不可描述，这时候我们就称为这个零点为隐零点，虽然我们没办法给出具体值，但我们可以给出这个零点的大致范围，它在中学数学最大的用处就是把这个存在但没办法具体描述的数，当成一个确定的常数来用，然后瞒天过海完成运算.
2、解决办法
往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区间.往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖.在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间.特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式.构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题.
确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到等等，至于隐性零点的范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围．进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键，最后值得说明的是，隐性零点代换实际上是一种明修栈道，暗渡陈仓的策略，也是数学中“设而不求”思想的体现.
58．已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【巩固练习1】
（2024·广东·二模）
59．已知函数的最小值为0，则a的值为 .
参考答案：
1．D
【分析】转化为与的函数图象交点个数问题，画出函数图象，数形结合得到答案.
【详解】函数的零点个数即函数与的函数图象交点个数问题，
画出的图象与，的图象，如下：
故函数的零点个数为2或3.
故选：D
2．
【详解】（1）若，则 ，令可得 ，即的零点是
（2）若无零点,则如图所示 当此时，应有 ，
当 如图所示， 此时应有 ，
综上可得 .
3．D
【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移对参数进行分类讨论即可得出其取值范围.
【详解】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
故选：D
4．A
【分析】要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，结合函数的性质及图象即可得出.
【详解】
要使函数有三个零点，则有三个不相等的实根，即与的图象有三个交点，
当时，在上单调递减，；
当时，在上单调递增，；
当时，在上单调递增，；
由与的图象有三个交点，结合函数图象可得，
故选：A.
5．A
【分析】作出的大致图象，根据题意转化为与的图象有4个不同交点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，作出的大致图象，如图所示，
要使得，
即函数与的图象有4个不同交点，则，
所以实数的取值范围是．
故选：A.
6．C
【分析】先求出时，函数有一个零点，故时，函数有两个零点，令，由且解出a的取值范围即可.
【详解】函数当时，方程．可得．解得，函数有一个零点，
则当时，函数有两个零点，即，在时有两个解．
设，其开口向上，对称轴为：在上单调递减，在上单调递增，所以，且，解得．
故选：C．
7．D
【分析】画出的图像，然后逐一判断即可.
【详解】的图像如下：
由图像可知，的增区间为，
故A错误
当时，如图
当时，与有3个交点，
当时，与有2个交点，
当时，与有1个交点，
所以当时与有3个交点或2个交点或1个交点，
即有3个零点或2个零点或1个零点，
故B不正确；
当时，由可得，
由可得
所以的所有零点之和为，
故C错误；
当时，由B选项可知：
与有1个交点，
即有1个零点，
故D正确；
故选：D
8．
【分析】利用对数函数与二次函数的图象与性质计算即可.
【详解】根据对数函数与二次函数的性质作出函数图象，如图所示，
易知，所以，
则，
而由二次函数对称性可知，，

所以，
根据对勾函数的性质可知，，
所以.
故答案为：.
9．C
【分析】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可.
【详解】函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
方程的根是直线与函数图象交点的横坐标，
方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，，，AD正确；
显然，而，则，即，，
，B正确；
显然，，C错误.
故选：C
10． 6
【分析】由函数解析式知函数图象关于直线对称，作出图象，可知，，，即可求得，同时把用表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．
【详解】，因此的图象关于直线对称，作出函数的图象，如图，
作直线，
若是三个根，则，，，
若是四个根，由图可知，，，所以，
，因此，
，
令，则，
对函数，设，，
因为，所以，，所以，即，
即是增函数，所以，
因素，在时递增，
所以．
故答案为：6；．
11．A
【分析】数形结合，把四个不同的根用表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.
【详解】图，

由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根，
且，由题：，，
设则
，令，
故在递增，在递减，.
故选：A.
12．BCD
【分析】根据分段函数的表达式作出函数图象，由二次函数的对称性即可判断A，根据对数的运算性质可判断B，结合函数图象即可求解CD.
【详解】解：由函数，作出其函数图象如图所示，
由图可知，；
当时，令，或，
所以；
由，得，
即，
所以，由图可知，
故选:BCD.
13．A
【分析】应用辅助角公式化简得到分段函数形式，根据对数函数、正弦型函数性质画出图象，数形结合确定的范围或对称性，进而求的范围.
【详解】，
所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则，
不妨设，由图知：，且，即，
令，可得或，令，可得或，
所以，而在上递减，故，
综上，.
故选：A
14．BC
【分析】作出函数的图象，结合图象可得，由得，从而得，再根据可求出结果.
【详解】作出函数的图象，如图所示，

设，
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，
交点的横坐标分别为，且，
当时，令，解得或.
由图可知，,，
由，可得，所以，
则有，所以.
令，
易知在上为减函数，且，
故，且.
故选：BC
【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用对称性得，利用得，将所求式子化为关于的函数，利用的范围求解是解题关键.
15．
【分析】根据函数的图象特征可得，再由对数的运算性质得，然后代入可求得结果.
【详解】的图象如图所示，
因为的图象关于直线对称，且函数有四个不同的零点，， ，
所以，，
所以，
因为，
所以，得，
即实数的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于中档题.
16．
【分析】由时，，得到的图象关于对称，不妨设，画出图象，易得，，，代入求解.
【详解】解：当时，，则的图象关于对称，
不妨设，
如图所示：

由图象知：，，
所以，，，，
所以，
，
，
令，
则.
故答案为：
17．
【分析】由已知可得恒成立，且，求出后，将代入可得解.
【详解】解：设,则，
则,
又函数是上的单调函数，
所以，
又为增函数，
则的解为，
所以，
则=，
故答案为.
【点睛】本题考查了函数的单调性、指数式求值，重点考查了利用单调性求函数的解析式，属中档题.
18．
【分析】根据给定条件，求出函数解析式，再求出函数值.
【详解】依题意，令，则，且，
由函数单调，得为正常数，于是，解得，
因此，所以.
故答案为：2020
19．
【解析】根据，令，则，由求得a即可;将不等式对任意恒成立，转化为对任意恒成立求解.
【详解】因为函数是定义域内的单调函数，且满足，
令，则，
所以，即，
所以，
所以.
因为不等式对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
因为在上递增，
所以在上递增，
所以当时，y有最小值3，
所以
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则；；
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.
20．B
【分析】由已知函数表达式变形后分别设出，两点坐标，再利用反函数的性质结合两直线垂直，斜率之积的关系得到结果.
【详解】由得，由得，
设点的坐标为，点的坐标为，
又与的图象关于直线对称，且的图象也关于直线对称，
则点，关于直线对称，即，得，
故选：B．
21． 3
【分析】根据，和在R上单调递增，得到，即，所以，同理可得，从而得到
【详解】，的零点分别为a，b，
故，，
由于在R上单调递增，
故，即，，
又在R上单调递增，且，所以.
所以.
，
，
故，
由于在R上单调递增，故，
故
所以
故答案为：3，
【点睛】方法点睛：当函数中同时出现与时，常常进行同构变换，结合函数单调性进行求解.
22．
【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出，再计算判断即得.
【详解】由，得，由，得，
依题意，直线与函数图象交点的横坐标分别为，
而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，
因此直线与函数图象的交点关于直线对称，即点在直线上，
则，，于是，
，而，
所以，即.
故答案为：
【点睛】结论点睛：同底的指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称.
23．
【分析】利用反函数的性质，数形结合即可得解.
【详解】易知分别是函数与及函数与交点的横坐标，
易知函数与函数互为反函数，即其图象关于对称，
且也关于对称，
即函数与及函数与交点关于对称，
又易得与交点为，所以的中点为，
故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化为反函数与函数对称性的问题，结合图象即可得解.
24．BC
【分析】利用函数零点的意义，结合函数与互为反函数，确定的关系，再逐项分析判断得解.
【详解】依题意，，，
则分别是直线与函数，图象交点的横坐标，
而函数与互为反函数，它们的图象关于直线对称，
又直线垂直于直线，则点与点关于直线对称，
则，于是，，，BC正确，A错误；
，即，D错误.
故选：BC

25．ABD
【分析】在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知，关于点对称，进而可判断A，B，D正确. 由函数在上单调递增，且，，可得零点的范围，可得C不正确.
【详解】由，得，，
函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，

则，.
由反函数的性质知，关于点对称，
则，.因为，，且，
所以，故A，B，D正确.
因为在上单调递增，且，，
所以.
因为，所以，故C不正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
26．B
【分析】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
【详解】由题意得：为R上的增函数，且
当时，，，
当时，，，
方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，
作出函数与的图象如下图所示：
由图可知与图象关于对称，
则两点关于对称，中点在图象上，
由，解得：.
所以.
故选：B
27．BCD
【分析】将零点问题转化为交点问题，根据互为反函数的两个函数的性质逐一判断即可.
【详解】∵函数的零点为，的零点为，
∴函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如图6，点A的横坐标为，点B的横坐标为，
∵函数与函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称，
∴点A、B关于直线对称，又∵点A、B在直线上，∴点A、B关于原点对称，
对于A：∴，故选项A错误；
对于B：易知，故选项B正确；
对于C：∵，，，∴，即选项C正确；
对于D：由零点存在定理易知，，∴，即，，故选项D正确，
故选:BCD．
28．A
【分析】本题考查函数的零点问题，指数函数与对数函数互为反函数，令，利用指数函数与对数函数互为反函数和函数的对称性求出，即可求的值．
【详解】由题意，，
令，
因为与互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，
且的图象也关于直线对称，
设，
则关于直线对称，
所以且
由可得，
所以．
由可得，
所以，
又代入上式可得，
则．
故选：A．
29．
【分析】分离参数得，设，利用导数求出其最小值即可.
【详解】因为，由，即，
即，设，
根据题意知存在，使得成立，即成立，
由，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
30．
【分析】将原不等式做适当变形构造函数，利用函数单调性把参数分离出来，最后转化为求函数最值问题。
【详解】∵
∴
两边加上得
设，则在上单调递增，
∴，即
令，则
∵的定义域是
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴当时，取得极大值即为最大值，且，
∴，∴即为所求.
故答案为：
31．
【分析】将转化为在上有解，采用分离常数法，通过构造函数，讨论单调性，求出的最小值即可得出实数的取值范围．
【详解】因为在上有解，
所以在上有解，
当时，在上有解，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，故，
则当时，，即．
所以，当时；
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
所以，
综上可知，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了不等式恒成立问题，解题的关键采用分离常数法，并构造函数，通过函数单调性求解.
32．
【分析】将不等式转化为，使得，设，求导确定单调性从而得函数最值，即可得实数的取值范围．
【详解】因为 ，使得，所以，
令，即，
因为，
设，，则，
所以在单调递减，又，
则当，当，
故函数在上单调递增，上单调递减，
所以的最大值为，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：
33．##
【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】由得，显然，
所以有解，
令，则，
令，则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以，则，即的最小值是.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出.
34．
【分析】根据题意，分离参数可得在区间上恒成立，构造函数，，转化为，然后求导即可得到，从而得到结果.
【详解】由题意在区间上恒成立，
即恒成立，即在区间上恒成立，
令，，只需，
因为，
令，，有，
所以函数在上单调递减，
所以，即，
所以当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数的取值范围为．
故答案为：
35．
【分析】变形为同构不等式，结合的单调性得在上恒成立，利用导数求出的最小值即可得解.
【详解】由，得，得．
令，因为，所以函数在上单调递增，
则不等式转化为，所以，即在上恒成立．
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，有最小值，即，则的最大值为．
故答案为：.
36．
【分析】由题意可得，对求导得出它的单调性即可求出在上的最小值，再对求导由基本不等式可求出在上的最大值，则，解不等式即可求出答案.
【详解】的定义域为，
则，
当时，∵，∴，
∴当时，；当时，．
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，因为
所以，∵，∴，
∴在上为增函数．∴，
依题意有，∴，∴，
故答案为：．
37．D
【分析】利用导数求得在区间上的值域，求得在区间上的值域，由此求得的取值范围.
【详解】对于，，
所以在区间上单调递增，，
所以当时，的值域为.
对于，，
若，则，不符合题意.
若，则，所以在上单调递增，
所以当时，的值域为，符合题意，D选项正确.
当时，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，
，而当时
所以当时，的值域为，不符合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
故选：D
【点睛】方法点睛：利用导数可求解函数在区间上的值域，求解恒成立问题或存在性问题，可将问题转化为求解函数值域问题来进行研究.如果导函数含有参数，在研究函数的过程中，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
38．
【分析】对，都，使得成立，等价于恒成立，对的取值进行分类讨论，利用单调性求出和，列出关于的不等式组求得答案.
【详解】函数，在上单调递增，所以，
当时，在区间上单调递增，，
所以，解得，
又因为，所以，解得；
当时，在区间上单调递增，其最小值为，
所以有，解得，
当时，在区间上单调减，在上单调增，
其最小值为，
所以有，解得，
当时，在区间上单调减，，
此时，无解；
所以的取值范围是，
故答案为：.
39．C
【分析】由题意可知：，利用导数求，根据二次函数性质求，即可得结果.
【详解】由题意可知：，
因为，则，
注意到，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，则，
又因为，由二次函数性质可知，
可得，即实数的取值范围是.
故选：C.
40．A
【分析】条件可转化为，，，，再分别求列不等式可求的取值范围.
【详解】因为对于存在，存在，使，
所以，，，
又，，
显然在上单调递减，则，
当时，，即在上单调递增，
则，
由解得：，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
41．
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答.
【详解】由，得，
令，，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，取最大值，最大值为0；
又，，如下图，
令，显然函数在上单调递减，函数的值域为，
由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得，
因此，解得.
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
42．(1)2
(2)
【分析】（1）根据题意，求得，令，解得或，分类讨论，求得函数单调性和极大值，即可求解；
（2）当时，由（1）得到的单调性，分别求得和，结合题意，分类讨论，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：因为函数，可得，
因为，令，解得或，
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
所以的极大值为，不符合题意；
当时，即时，，在上单调递增，无极大值；
当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以极大值为，解得.
（2）解：当时，
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，
当时，即时，当时，单调递增，，
又因为当时，，
因为，所以，当时，使得，
当时，即时，
当时，单调递增，，
当时，
若满足题意，只需，即，
当时，即时，
当时，在上单调递减，上单调递增
所以函数的最小值为，
所以，
又因为时，，
若满足题意，只需，即，
因为，所以，
所以，当时，不存在使得，
综上，实数的取值范围为.
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
43．C
【分析】作出函数的图象，由题意可得或，的图象与直线共有三个不同的交点，从而可求出实数t的取值范围.
【详解】由得或，作出函数的图象，
易知当时，不符合题意；
当时，，结合函数的图象知，要使方程有三个不同的解，需满足方程有两个解，方程有且只有一个解，
由图象知，所以．
故选：C．
44．C
【分析】求得，得到函数的单调性和最值，把方程有三个不同的实数解，转化为方程有两个不同的实数根和，且或，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数，
当时，，且，
画出函数的图象，如图所示，
令，要使得有三个不同的实数解，
则有两个不同的实数根和，
且或，
若且时，此时无解；
若且时，令，
只需要，解得.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
45．A
【分析】先利用导数画出图象，由方程，解得 或 ，根据题意，由有两个解求解.
【详解】解：因为，
所以，令，得，
当时，，递增；当时，，递减；
所以当时，取得极大值，图象如图所示：
方程，即为，
解得 或 ，
由函数的图象知： 只有一个解，
所以有两个解，
所以 ，解得，
故选：A
46．B
【分析】令，作出函数的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.
【详解】如图，作出函数的图象，
令，
由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根，
当或时，关于的方程只有个实数根，
因为关于x的方程有三个不同实数根，
所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上，
或方程的两个根一个为，另一个在上，
若为方程的根时，则，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
若为方程的根时，则或，
当时，方程的另一个根为，不符题意，
当时，方程只有一个根为，不符题意，
若关于的方程的一个根在上，另一个在上时，
令，
则，即，解得，
综上所述，实数t的取值范围是.
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：
（1）二次项系数的符号；
（2）判别式；
（3）对称轴的位置；
（4）区间端点函数值的符号.
结合图象得出关于参数的不等式组求解.
47．A
【分析】依题意，对化简得，即，画出图象，结合图象即可得到答案.
【详解】关于的方程可化简为，
即有7个不同的根，画出的图象，

观察可以看出当有4个不同的根，
故只需有3个不同的根即可，所以.
故选：A.
48．
【分析】画出图象，换元后数形结合分析可得方程两根的范围，再利用二次函数根的分布列出不等式组即可得解.
【详解】作出函数的图象如图，
令，函数恰好有五个零点．
则方程化为，
则必有两个不同实根，则，
结合图形可知，则必不为，
故方程的一根在区间内，另一根在区间内，
令，
则，解得：，
综上：实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题，要先画出函数图象，然后适当运用换元法，将零点个数问题转化为二次函数或其他函数根的分布情况，从而求出参数的取值范围或判断出零点个数.
49．BC
【分析】令，则，将函数的零点问题分解成两个步骤完成，先求的值，再求x的值，结合函数图象分析运算.
【详解】由题意可知，
当时，在上单调递减，则；
当时，在上单调递增，则；
若函数恰好有4个不同的零点，
令，则有两个零点，可得，
当时，则，解得；
当时，则，可得；
可得和均有两个不同的实根，
即与、均有两个交点，
则，且，解得，
综上所述：实数的取值范围为.
且，故A、D错误，B、C正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法，
（1）利用零点存在定理构建不等式求解，
（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解，
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
50．
【分析】令，代入方程解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，观察图象即可求出的取值范围.
【详解】令，则，即，即，解得或，则和共有5个不同的实数根.作出的图象，如图：
由图可知，，解得.
故答案为：.
51．B
【分析】画出的图象，利用换元法以及一元二次方程根的分布等知识列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，由图可知要使有个解，则需，
依题意，方程有6个不同的实数解，
令，则有两个不相等的实数根，
且，令，
则，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
【点睛】含有绝对值的指数函数图象（如，且，）的画法如下：先画出的图象，然后向下平移个单位，得到的图象，然后保留轴上方的图象，轴下方的图象关于轴对称向上翻折，从而得到的图象.
52．A
【分析】首先画出函数的图象，再通过换元，得，结合函数的图象，利用根的个数，确定方程根的分布，即可求解的取值范围.
【详解】函数的大致图象如图所示，
令，则可化为，因为方程有5个不同的实数解，所以在上各有一个实数解或的一个解为，另一个解在内或的一个解为，另一个解在内.
当在上各有一个实数解时，
设，则解得；
当的一个解为时，，此时方程的另一个解为，不在内，不满足题意；
当的一个解为时，，此时方程有两个相等的根，不满足题意.
综上可知，实数的取值范围为.
故选：A
53．D
【分析】根据解析式画出函数草图，数形结合判断图象上存在两个点关于原点对称求参数范围即可.
【详解】由函数解析式可得，函数图象如下图示，

如图，要使的图象上存在两个点关于原点对称，
只需，即即可.
故选：D
54．A
【详解】因为函数与函数的图象关于x轴对称，
根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，
即方程在上有解，
即在上有解．
令，，
则，
可知在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，
由于，，且，
所以．
故选：A．
55．C
【解析】由于关于点的坐标之间的关系得函数关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间有交点，即方程在区间上有解，故，进而得.
【详解】解：设是函数的图象上的任意一点，其关于对称的点的坐标为，
所以，所以函数关于对称的函数为.
由于与的图象上分别存在点､，使得､关于直线对称，
故函数与函数图象在区间有交点，
所以方程在区间上有解，
所以，即，所以.
故选：C.
【点睛】本题解题的关键在于由关于直线对称的点的坐标之间的关系得关于对称的函数为，进而将问题转化为函数与函数图象在区间有交点，考查化归转化思想和运算求解能力，是难题.
56．D
【分析】所求“兄弟点对”的个数可转化为求与图像的交点个数，作出两个函数的图像，由图得出即可．
【详解】设，则点关于原点的对称点为，
于是，，只需判断方程根的个数，
即与图像的交点个数，
因为，；，；
，；
作出两函数的图象，由图知，与的图象有5个交点，所以的“兄弟点对”的个数为5个．
故选：D．
57．D
【分析】令，参变分离成的形式，画图可得k的取值范围.
【详解】由题知，，设，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，的图象如下，由图可知，当时，与无交点，即无零点.
故选：D.
58．C
【分析】首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围.
【详解】根据题意，，所以，令，
则函数在上存在零点等价于与的图象有交点.
，
令，则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时单调递减，当
时，单调递增，所以，
又时，，故，所以，
故选：C.
59．##0.5
【分析】对求导，进而研究的单调性，根据有最小值为0，则使，且求出，即可求参数值.
【详解】由，且，
令，则，即在上递增，
所以在上递增，又，，，，
所以，使，且时，，
时，，所以在上递减，在上递增，
所以
由，得，
令函数，，
所以在上是增函数，注意到，所以，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用导数研究函数的单调性，结合最小值为0可得到方程组，消a得到关于的方程，再利用函数的单调性及特殊点的函数值解方程可得.