2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及运算【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及运算【课件】，共60页。PPT课件主要包含了知识诊断基础夯实，导数的概念，导数的几何意义，αxα－1，cosx，－sinx，axlna，导数的运算法则，fgx，yu′·ux′等内容，欢迎下载使用。
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为________________________.
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
3.基本初等函数的导数公式
5.复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝________________.(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.(　　)(2)函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝cs x.(　　)(3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0).(　　)(4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的.(　　)
解析　(1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cs x，(2)错.(3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.
所以C项错误，其余都正确.
2.(多选)下列导数的运算中正确的是(　　 )
所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即y＝5x＋2.
解析　因为f(x)＝x2＋xln x，所以f′(x)＝2x＋ln x＋1，切线斜率k＝f′(1)＝2＋1＝3，又该切线与直线x－ay－1＝0平行，
5.已知函数f(x)＝x2＋xln x的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－ay－1＝0平行，则实数a＝________.
解析　函数y＝(x－1)3的导数为y′＝3(x－1)2，设过原点的切线的切点坐标为(x0，(x0－1)3)，则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝3(x0－1)2.∵切线过原点(0，0)，
6.(易错题)过原点与曲线y＝(x－1)3相切的切线方程为_____________________.
y＝0或27x－4y＝0
即y＝0或27x－4y＝0.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
解析　f′(x)＝－2sin 2x＋2e2x，选A.
1.已知f(x)＝cs 2x＋e2x，则f′(x)＝(　　)A.－2sin 2x＋2e2x B.sin 2x＋e2xC.2sin 2x＋2e2x D.－sin 2x＋e2x
解析　若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
2.(多选)已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0∈R使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列选项中有“巧值点”的函数是(　　)A.f(x)＝x2 B.f(x)＝e－xC.f(x)＝ln x D.f(x)＝tan x
3.若函数f(x)＝ln x－f′(1)x2＋3x－4，则f′(3)＝________.
解　y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cs x.
4.求下列函数的导数.(1)y＝x2sin x；
解析　设切点坐标为(x0，y0)，
例1 (1)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________.
∴y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，∴切线方程为y－2＝2(x－1)，
解得x0＝－1或x0＝2.当x0＝－1时，切线方程为x－y＋2＝0；当x0＝2时，切线方程为4x－y－4＝0.
x－y＋2＝0或4x－y－4＝0
又切线过点(－e，－1)，
例2 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_________.
角度2　求曲线的切点坐标
再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题意可知f(3)＝1，
例3 已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.
角度3　导数与函数图象问题
解析　由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
从而有ln t＝1，∴t＝e，
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是(　　)A.2x－ey＝0 B.2x＋ey＝0C.ex－2y＝0 D.ex＋2y＝0
解析　因为y′＝aex＋ln x＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.
(3)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)A.a＝e，b＝－1 B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1 D.a＝e－1，b＝－1
解析　法一　设切点为(x0，y0)，y0>0，则切线方程为y－b＝ex0(x－a).
例4 (1)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则(　　)A.eb