2022-2023学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有一个根是1，则m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．﹣3
3．（3分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
4．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，AC＝9，DE＝2，则EF的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
5．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）函数y＝x+m与（m≠0）在同一坐标系内的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα＝csαB．tanC＝2C．sinβ＝csβD．tanα＝1
8．（3分）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2
C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为 ．
10．（3分）AB是斜靠在墙上的长梯，梯角B距墙1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD＝0.55m，则梯长AB为 m．
11．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是 ．
12．（3分）已知，反比例函数的图象在每个分支中y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ．
13．（3分）如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部的俯角为45°．已知楼高AB＝9m，则旗杆CD的高度为 ．（结果保留根号）
14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是 ．
三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．求证：该方程总有两个实数根．
16．（6分）如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB．CD上的点，且BE＝DF．
求证：∠AEF＝∠AFE．
17．（7分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“峰”的概率；
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的概率．
18．（8分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
19．（8分）如图，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．
（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2？
20．（8分）图1是由7个相同的小正方体组成的几何体．
（1）请在网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 cm2．
21．（8分）已知：如图，BD是△ABC的高，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
（1）求BD和AD的长；
（2）求tanC的值．
22．（8分）柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg．
（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
23．（9分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点，反比例函数的图象与BC，AB分别交于D，E，．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由．
24．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；
（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
2022-2023学年山东省菏泽市郓城县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填涂在答题卡的的对应位置，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．菱形的四个内角都是直角
B．矩形的对角线互相垂直
C．正方形的每一条对角线平分一组对角
D．平行四边形是轴对称图形
【分析】根据菱形、矩形、正方形、平行四边形的性质和轴对称图形的性质即可求解．
【解答】解：A．菱形的四个内角不一定都是直角，故A选项不符合题意；
B．矩形的对角线不一定互相垂直，故B选项不符合题意；
C．正方形的每一条对角线平分一组对角，故C选项符合题意；
D．平行四边形不一定是轴对称图形，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形和轴对称图形的性质，解题的关键是逐个判断四个选项即可得出正确答案．
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣mx+2＝0有一个根是1，则m的值为（ ）
A．4B．3C．2D．﹣3
【分析】把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0得1﹣m+2＝0，然后解关于m的方程．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣mx+2＝0得1﹣m+2＝0，
解得m＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（3分）某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.95B．0.90C．0.85D．0.80
【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
4．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，AC＝9，DE＝2，则EF的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得出答案．
【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵AB＝3，AC＝9，DE＝2，
∴＝，
∴EF＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容是解题的关键．
5．（3分）一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则该几何体的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由已知条件可知，左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1．据此可作出判断．
【解答】解：该几何体的左视图为．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图的画法，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图．
6．（3分）函数y＝x+m与（m≠0）在同一坐标系内的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
【解答】解：A、由函数y＝x+m的图象可知m＜0，由函数y＝的图象可知m＞0，相矛盾，故错误；
B、由函数y＝x+m的图象可知m＞0，由函数y＝的图象可知m＜0，相矛盾，故错误；
C、由函数y＝x+m的图象可知m＞0，由函数y＝的图象可知m＞0，正确；
D、由函数y＝x+m的图象可知m＝0，由函数y＝的图象可知m＜0，相矛盾，故错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7．（3分）△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列四个选项中，错误的是（ ）
A．sinα＝csαB．tanC＝2C．sinβ＝csβD．tanα＝1
【分析】观察图形可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝，利用锐角三角函数一一计算即可判断．
【解答】解：观察图象可知，△ADB是等腰直角三角形，BD＝AD＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝1，AC＝，
∴sinα＝csα＝，故A正确，
tanC＝＝2，故B正确，
tanα＝1，故D正确，
∵sinβ＝＝，csβ＝，
∴sinβ≠csβ，故C错误．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的应用．等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝a（1+x）2B．y＝a（1﹣x）2
C．y＝（1﹣x）2+aD．y＝x2+a
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【解答】解：设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，
依题意得第三个月投放垃圾桶a（1+x）2辆，
则y＝a（1+x）2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）已知m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，则m2+mn+2m的值为 0 ．
【分析】由于m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，根据根与系数的关系可得mn＝﹣5，而m是方程的一个根，可得m2+2m﹣5＝0，即m2+2m＝5，那么m2+mn+2m＝m2+2m+mn，再把m2+2m、mn的值整体代入计算即可．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣5＝0的两个根，
∴mn＝﹣5，
∵m是x2+2x﹣5＝0的一个根，
∴m2+2m﹣5＝0，
∴m2+2m＝5，
∴m2+mn+2m＝m2+2m+mn＝5﹣5＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根x1、x2之间的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
10．（3分）AB是斜靠在墙上的长梯，梯角B距墙1.6m，梯上点D距墙1.4m，BD＝0.55m，则梯长AB为 4.4 m．
【分析】由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，进而利用相似三角形的对应边成比例可得梯子AB的长．
【解答】解：∵DE⊥AC，AC⊥CB，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
＝，
解得AB＝4.4m．
故答案为4.4．
【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应成比例且夹角相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
11．（3分）如图是某几何体的三视图，该几何体是 圆柱 ．
【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又因为俯视图是一个圆，
故该几何体是圆柱．
故答案为：圆柱．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
12．（3分）已知，反比例函数的图象在每个分支中y随x的增大而减小，则m的取值范围为 m＜2 ．
【分析】根据反比函数图象在每个象限内y的值随x的值增大而减小，可知4﹣2m＞0范围，据此求解即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在每个分支中y随x的增大而减小，
∴4﹣2m＞0，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
【点评】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当k＞0时，在每一象限内，y随x增大而减小，当k＜0时，在每一象限内，y随x增大而增大．
13．（3分）如图，在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部的俯角为45°．已知楼高AB＝9m，则旗杆CD的高度为 （9+3）m ．（结果保留根号）
【分析】作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE，结合图形计算即可．
【解答】解：作AE⊥CD于E，则四边形ABDE为矩形，
∴AE＝BD，DE＝AB＝9，
在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，
∴BD＝AB＝9，
∴AE＝9，
在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，
∴CE＝AE•tan∠CAE＝9×＝3，
∴CD＝DE+CE＝（9+3）m，
故答案为：（9+3）m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣，y1），（，y2）是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是 ②④ ．
【分析】①由抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出a＜0、b＞0、c＞0，进而即可得出abc＜0，结论①错误；②由抛物线的对称轴为直线x＝1，可得出2a+b＝0，结论②正确；③由抛物线的对称性结合当x＝0时y＞0，可得出当x＝2时y＞0，进而可得出4a+2b+c＞0，结论③错误；④找出两点离对称轴的距离，比较后结合函数图象可得出y1＜y2，结论④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，﹣＝1，c＞0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴abc＜0，结论①错误；
②抛物线对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，结论②正确；
③∵抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝0时y＞0，
∴当x＝2时y＞0，
∴4a+2b+c＞0，结论③错误；
④1﹣（﹣）＝＝，﹣1＝＝，
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，＞，抛物线开口向下，
∴y1＜y2，结论④正确．
综上所述：正确的结论有②④．
故答案为②④．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
三、解答题（共78分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．求证：该方程总有两个实数根．
【分析】根据一元二次方程根的判别式进行证明即可．
【解答】证明：由题意得：a＝1，b＝﹣4m，c＝3m2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4m）2﹣4×1⋅3m2＝4m2，
∵m2≥0，
∴Δ＝4m2≥0，
∴该方程总有两个实数根．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程有两个不相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程有两个相等的实数根，若Δ＝b2﹣4ac＜0，则方程没有实数根．
16．（6分）如图，菱形ABCD中，E，F分别是CB．CD上的点，且BE＝DF．
求证：∠AEF＝∠AFE．
【分析】证明△ABE≌△ADF（SAS），推出AE＝AF，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
17．（7分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．
（1）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“峰”的概率；
（2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的概率．
【分析】（1）由一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“中国”的情况，再利用概率公式即可求得答案；
【解答】解：（1）∵有汉字“喜”、“迎”、“峰”、“会”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果，
∴球上汉字是“峰”的概率为＝；
（2）画树状图如下：
所有等可能的情况有12种，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“喜迎”或“峰会”的情况有4种，
概率为＝＝．
【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意掌握放回试验与不放回实验的区别．
18．（8分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
【分析】（1）利用∠ABC＝∠ACD，加上∠CAB＝∠DAC，则根据相似三角形的判定方法可得到结论；
（2）由于△ABC∽△ACD，则利用相似比可求出AC的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠CAB＝∠DAC，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴AC＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．利用相似三角形的性质可以计算相应线段的长．
19．（8分）如图，已知直线y1＝x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（﹣1，2）．
（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）利用图象直接写出：当x在什么范围内取值时，y1＞y2？
【分析】（1）因为两个函数的图象都过C点，将C点坐标代入求得m、k的值，所以易求它们的解析式；
（2）解由两个函数的解析式组成的方程组，得交点坐标D；
（3）看在哪些区间y1的图象在上方．
【解答】解：（1）∵y1＝x+m与过点C（﹣1，2），
∴m＝3，k＝﹣2，
∴y1＝x+3，；
（2）由题意，解得：，或，
∴D点坐标为（﹣2，1）；
（3）由图象可知：当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2．
【点评】（1）求交点坐标就是解由它们组成的方程组；
（2）根据图象解不等式需从交点看起，图象在上方的对应函数值大．
20．（8分）图1是由7个相同的小正方体组成的几何体．
（1）请在网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；
（2）已知每个小正方体的棱长为1cm，则该几何体的表面积为 28 cm2．
【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可．
（2）根据表面积的定义求解即可．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）这个组合几何体的表面积为（6×2+4×4）×1＝28（cm）2，
故答案为：28．
【点评】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．
21．（8分）已知：如图，BD是△ABC的高，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°．
（1）求BD和AD的长；
（2）求tanC的值．
【分析】（1）根据直角三角形的性质可直接得出BD，AD；
（2）由（1）可得出CD，再根据tanC＝得出答案．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴sinA＝，csA＝，
∵AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝3，AD＝3；
（2）∵AC＝5，
∴CD＝2，
在Rt△BCD中，tanC＝＝＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
22．（8分）柑橘“红美人”汁多味美，入口即化，柔软无渣，经过试验，柑橘“红美人”单位面积的产量与单位面积的种植株数构成一种函数关系，每亩种植100株时，平均单株产量为20kg，每亩种植的株树每增加1株，平均单株产量减少0.1kg．
（1）求平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）今年柑橘“红美人”的市场价为40元/kg，并且每亩的种植成本为3万元，每亩种植多少株时，才能使得利润达到最大？最大为多少元？
【分析】（1）根据题意可以得到平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以得到利润和株数之间的函数关系，然后利用二次函数的性质即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝20﹣0.1（x﹣100）＝﹣0.1x+30，
即平均单株产量y与每亩种植株数x的函数表达式是y＝﹣0.1x+30；
（2）设每亩的利润为w元，
w＝40x（﹣0.1x+30）﹣30000＝﹣4x2+1200x﹣30000＝﹣4（x﹣150）2+60000，
∴当x＝150时，w取得最大值，此时w＝60000，
答：每亩种植150株红美人可使利润最大，最大值为60000元．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23．（9分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点，反比例函数的图象与BC，AB分别交于D，E，．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由．
【分析】（1）求出点D的坐标，再求出反比例函数的解析式，可得点E的坐标；
（2）证明BD：BC＝BE：BA，可得结论．
【解答】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，，
∴BC＝2，
∵，
∴，
∴点，
∵点D在y＝的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数表达式为，
当x＝2时，，
∴点；
（2）结论：DE∥AC．
理由：由（1）知，，点，点，
则，，
∴，
∴，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（10分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；
（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；
（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），
∴点A的坐标为（1，0）．
将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴AM＝BM．
∵点B，C，M三点共线，
∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），
将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．
（3）设点P的坐标为（﹣1，m），
∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），
∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．
分三种情况考虑（如图2）：
①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，
∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，
解得：m＝4，
∴点P的坐标为（﹣1，4）；
②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，
∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，
解得：m＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，
∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，
整理得：m2﹣3m﹣2＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．
综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．
【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次（二次）方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置；（3）分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况，找出关于m的方程．