【真题】2024年常州市中考数学试卷（含答案解析）

这是一份【真题】2024年常州市中考数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了16的算术平方根是，分解因式等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生应将答案全部填写在答题卡相应的位置上，写在本试卷上无效。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。考试时不允许使用计算器。
2．答题前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试卷上，并填写好答题卡上的考生信息。
3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．-2024的绝对值是（ ）
A．B．C．2024D．-2024
2．若二次根式有意义，则x可取的值是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
3．计算的结果是（ ）
A．2B．C．D．
4．下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（ ）
A．与一定相等B．与一定不相等
C．与一定相等D．与一定不相等
6．2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系．50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A．光年B．光年C．光年D．光年
7．如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：）．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．第所用的时间最长
B．第的平均速度最大
C．第和第的平均速度相同
D．前的平均速度大于最后的平均速度
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．16的算术平方根是．
10．分解因式: =．
11．计算：．
12．若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为．
13．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是．
14．如图，是的直径，是的弦，连接．若，则．
15．如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交边于点E、F．若，，则．
16．如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则．
17．小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则（填“”、“”或“”）．
18．“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．解方程组和不等式组：
（1）（2）
20．先化简，再求值：，其中．
21．某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是________（写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
22．在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是________；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
23．如图，B、E、C、F是直线l上的四点，相交于点G，，，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）连接，则与l的位置关系是________．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
25．书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后与的比是，且，，，求四周边衬的宽度．
26．对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是________，________（写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形的边长是2．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点D、E、G的坐标分别是、、，以点G为圆心，r为半径画圆．若对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出r的取值范围．
27．将边长均为的等边三角形纸片叠放在一起，使点E、B分别在边上（端点除外），边相交于点G，边相交于点H．
（1）如图1，当E是边的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
（2）如图2，若，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当，时，与有怎样的数量关系？试说明理由．
28．在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）________；
（2）如图，已知点A的坐标是．
①当，且时，y的最大值和最小值分别是s、t，，求m的值；
②连接，P是该二次函数的图像上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作轴，垂足为D．作，射线交y轴于点Q，连接．若，求点P的横坐标．
完全充放电次数t
充电宝数量/个
2
3
10
5
参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数进行求解即可。
【详解】解：-2024的绝对值是|-2024|=2024，故选：C．
2．D
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x的取值范围，继而得出答案。
【详解】解：若二次根式有意义，则x-2≥0，解得x≥2，在四个选项中符合x≥2的是2，故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数。
3．B
【分析】本题主要考查同类项的计算，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键。根据运算法则进行计算即可。
【详解】解：，
故选：B．
4．B
【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案．
【详解】
解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，由角平分线的性质得到，由平行线间间距相等可知，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F
∵点P在的平分线上，
∴，
由平行线间间距相等可知，
∴，
由于和的长度未知，故二者不一定相等，
故选：A，
6．C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法为整数，进行表示即可．关键是确定a与n的值．
【详解】解：50亿光年光年；
故选C．
7．A
【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题．
【详解】解：过点有，
，
即得到的力臂大于的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故选：A．
8．D
【分析】本题主要考查从图像中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．
【详解】解：“配速”是每行进所用的时间，故从图中可知，第所用的时间最长，故选项A不符合题意；
平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程时间，由图可知，配速最小，故第所用时间最短，故第的平均速度最大，故选项B不符合题意；
第所用的时间与第所用的时间一致，故第的和第的平均速度相同，故选项C不符合题意；
由于前的的时间大于最后的时间，故前的平均速度小于最后的平均速度，故选项D符合题意；
故选D．
9．4
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
10．
【分析】把一个多项式分解成几个整式的积的形式,叫分解因式．
【详解】
11．
【分析】本题主要考查了同分母分式加法计算，直接根据同分母分式加法计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可．
【详解】解：由题意，得：；
故答案为：．
13．
【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到关于原点对称，即可得出结果．
【详解】解：∵正方形的对角线相交于原点O，
∴，
∴关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴点C的坐标是；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，结合三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵是的直径，，，
∴，
∴；
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设与相交于点，证明，根据相似的性质进行计算即可；
【详解】解：的垂直平分线分别交边于点E、F．
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
令，
，
解得或（舍去），
．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案．
【详解】解：设这组数据为前9个数分别为，
由题意可知，，
；
根据方差越小越稳定，即前九次波动较大，
，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．
【详解】解：．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
19．（1）；（2）
【分析】本题考查解方程组和一元一次不等式组：
（1）加减法解方程组即可；
（2）先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
，得：，解得：；
把代入①，得：，解得：；
∴方程组的解为：．
（2）解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
20．，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．（1）见解析；（2）①②；（3）500个
【分析】本题考查调查方式，求中位数，众数，利用样本估计总体：
（1）根据调查方式的选择，进行说明即可；
（2）根据统计表的数据，中位数和平均数的计算方法，逐一进行判断即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可．
【详解】（1）解：对充电宝的使用寿命进行调查，对充电宝具有破坏性，故不能采用普查的方式．
（2）解：由统计表可知：这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；故①正确；
将数据排序后，第10个和第11个数据均位于，故这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足；故②正确；
由统计表的中的数据可知，的数据只有2个，故平均数一定大于400，故③错误；
故答案为：①②；
（3）解：（个）．
22．（1）
（2）
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）直接根据概率计算公式求解即可；
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲获胜的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：∵一共有3支签，写有“石头”的签有1支，且每支签被抽到的概率相同，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是，
故答案为：；
（2）解：设分别用A、B、C表示“石头”、“剪子”、“布”，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中甲获胜的结果数有，，，共3种，
∴甲获胜的概率为．
23．（1）见解析；（2）
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据线段的和差关系，易得，根据三角形的内角和定理，得到，即可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
24．（1），；（2）
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设直线与轴交于点，分割法求出的面积即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点、，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：设直线与轴交于点，
∵，
∴当时，，
∴，
∴的面积．
25．上、下、左、右边衬的宽度分别是
【分析】本题考查分式方程的应用，分别表示出的长，列出分式方程，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∵与的比是，
∴，
解得：，
经检验是原方程的解．
∴上、下、左、右边衬的宽度分别是．
26．（1），
（2）图见解析（答案不唯一）
（3）或
【分析】（1）根据平移的性质，进行求解即可；
（2）延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求；
（3）分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵B、C、D是线段AE的四等分点．，
∴，
∴，
∴线段的平移图形是，；
故答案为：，；
（2）解：如图：即为所求；
由作图可知：，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，
∴即为所求；
（3）∵点D、E、G的坐标分别是、、，
∴，
∴，
∵对上的任意点F，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且，
∴，
当在圆外时，
∵，，
∴，
∴，
∴．
当在圆内时，
则：，
∴，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查图形的平移，点到圆上一点的最值，坐标与图形，勾股定理，菱形的判定，尺规作图等知识点，熟练掌握相关知识点，理解新定义，是解题的关键．
27．（1）菱形
（2）
（3），理由见解析
【分析】（1）连接，由等边三角形的性质可得，则四点共圆，由三线合一定理得到，则为过的圆的直径，再由，得到为过的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明，推出四边形是平行四边形，进而可证明四边形是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）由等边三角形的性质得到，，则由平行线的性质可推出，进而可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，则可设，则，，由勾股定理得到，可得，则当时，有最大值，最大值为；
（3）过点B作于M，过点E作于N，连接，则，，，证明，进而可证明，得到，则，即．
【详解】（1）解：如图所示，连接
∵都是等边三角形，
∴，
∴四点共圆，
∵点E是的中点，
∴，
∴为过的圆的直径，
又∵，
∴为过的圆的直径，
∴点H为圆心，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，
∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；
（2）解：∵都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是等边三角形，
过点E作，
∴设，则，，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
（3）解：，理由如下：
如图所示，过点B作于M，过点E作于N，连接，
∵都是边长为的等边三角形，
∴，，
∴由勾股定理可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．
28．（1）3
（2）①；②1或或
【分析】（1）当时，，即；
（2）①先求出解析式为，可知对称轴为直线：，当，且时，y随着x的增大而减小，故当，，当时，，由得，，解得；②在中，可求，由题意得，，，四边形为平行四边形或等腰梯形，当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，则，设，则，则，故，则，将点代入，得，解得，故；当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，则，由，得，则，设，则，故，解得，即；当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，设，则，而，故，即，可得，将点P代入，得，解得或（舍），因此，综上：点P的横坐标为1或或．
【详解】（1）解：当时，，即；
（2）解：①将点A代入
得，，
解得：，
∴解析式为：，
而，
∴对称轴为直线：，
当，且时，
∴y随着x的增大而减小，
∴当，，当时，，
由得，，
解得：或（舍）
∴；
②在中，，
由题意得，，，
∴四边形为平行四边形或等腰梯形，
当点P在x轴上方，四边形为平行四边形时，则，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
将点代入，
得：，
解得：或（舍），
∴；
当四边形为等腰梯形时，则，过点P作轴于点E，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，
即；
当点P在x轴下方抛物线上时，此时四边形为平行四边形，则，
∵
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将点P代入，
得：，
解得：或，
而当时，，故舍，
∴，
综上：点P的横坐标为1或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的图像与性质，图像与坐标轴的交点，平行四边形的性质，等腰梯形的性质等，熟练掌握知识点是解题的关键．甲乙