2025届新高三开学摸底考数学试卷及参考答案

这是一份2025届新高三开学摸底考数学试卷及参考答案，文件包含数学解析版docx、数学答案及评分标准docx、数学考试版docx等3份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．10513．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）由可得，即，分
由于，故，解得分
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，分
于是，
，分
由正弦定理可得，，即，
解得，分
故的周长为分
16．（15分）
【详解】（1）依题意可得上顶点，左，右焦点分别为，，
所以，，
又，
所以，即，即，
所以，所以离心率；分
（2）由（1）可得，，则椭圆方程为，
射线的方程为，
联立，整理可得，分
解得或，则，即，分
所以，解得，则，
所以的周长．分

17．（15分）
【详解】（1）设相交于点，因为，
所以四边形是菱形，所以，且为的中点，
连接，因为，所以，分
因为平面，所以平面，
因为平面，所以分
（2）过点作平面的垂线，
以所在的直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
因为，所以是二面角的平面角，
所以，且结合已知有，分
因为在平面内，所以由已知及平面几何的性质，得，
所以，
设平面的法向量为，
则，所以，分
令，则，所以是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，所以，
即直线与平面所成角的正弦值为分
（17分）
【详解】（1）函数的定义域为，
且，分
当时，恒成立，所以在单调递减；分
当时，令，即，解得，，
因为，所以，则，
所以当时，
当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减；分
当时，此时，
所以时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减．分
综上可得：当时在单调递减；
当时在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减；
当时在上单调递增，在上单调递减．分
（2）（ⅰ）由（1）可知．分
（ⅱ）由（1）在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，所以，则，
又，分
又，
所以在上没有零点，
又，则，则，，
则，分
所以，所以在上存在一个零点，
综上可得函数有且只有一个零点．分
19．（17分）
【详解】（1）因为
所以，
所以数列 的 “ 点” 为 3，5 ，分
（2）依题意，，
因为数列存在 “点”，
所以存在 ，使得 ，
所以，
即.
因为，所以，所以，分
又随的增大而增大，
所以当时，取最大值，
所以，又，所以.
当时，有，
所以数列存在 “点”，
所以的取值范围为，分
（3）①若，则数列不存在 “点”，即.
由得，，所以，
②若存在，使得. 下证数列有 “点”.
证明: 若，则2是数列的 “点”;
若，因为存在，使得，
所以设数列中第1个小于的项为，
则，所以是数列的第1个 “点”.
综上，数列存在 “点”. 分
不妨设数列的 “点” 由小到大依次为，
则是中第1个小于的项，
故，因为 ，
所以，所以，所以
所以
所以.
综上，，得证分
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
B
D
A
A
B
D
9
10
11
BC
BD
AD