2024年湖南省怀化市中考二模数学试题（学生版+教师版）

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注意事项：
1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案：回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项符合题意．请在答题卡中填涂符合题意的选项本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列各式的值最大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法、有理数的减法、有理数的乘法、有理数的除法，根据有理数的加法、有理数的减法、有理数的乘法、有理数的除法的运算法则进行计算，再比较大小即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，，，，
，
下列各式的值最大的是，
故选：B．
2. 在平面直角坐标系中，点(1,-2)所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据第四象限内横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案．
【详解】点(1,-2)所在的象限是第四象限，
故选D.
【点睛】考查点的坐标，掌握每个象限点的坐标特征是解题的关键.
3. 若，且则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变；根据不等式的性质即可得出答案，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：，且，
，
故选：B．
4. 甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）：
如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（ ）
A. 6环B. 7环C. 8环D. 9环
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数计算．
先计算出甲的中位数，设乙第四次的成绩为x环，根据中位数的计算方法即可求出x的值．将一组数据按照从大到小（或从小到大）的顺序排列．若这一组数有奇数个数，则中位数就是最中间的这个数；若这一组数有偶数个数，则中位数为最中间两个数的平均数．熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键．
【详解】由表格知，甲的中位数为环，
因此乙的中位数也为8环．
设乙第四次的成绩为x环，
则乙的成绩由小到大排列为5，6，x，9，9，10，
，
解得，．
故选：B
5. 如图，△ABC边AB，BC，AC上的中点分别是D，E，F，且各边的长度分别为5厘米，4厘米，6厘米，则四边形ADEF的周长是（ ）
A. 9厘米B. 10厘米C. 11厘米D. 12厘米
【答案】C
【解析】
【分析】首先证明四边形ADEF是平行四边形，根据三角形中位线定理求出DE、EF即可解决问题．
【详解】解：∵BD=AD，BE=EC，
∴DE=AC=3cm，DE∥AC，
∵CF=FA，CE=BE，
∴EF=AB=2.5cm，EF∥AB，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长=2（DE+EF）=11cm．
故选 C．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是出现中点想到三角形中位线定理，记住三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半，属于中考常考题型．
6. 如图，的半径为，于点，，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角定理求出∠COB的度数，再求出∠OBD的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD的长度．
【详解】∵ ∠BAC=30°，
∴∠COB=60°，
∵∠ODB=90°，
∴∠OBD=30°，
∵OB=4，
∴OD=OB==2．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
7. 将如图所示的长方体包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】依据长方体的展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：A、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
B、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
C、符合长方体的展开图的特点，是长方体的展开图，故此选项符合题意；
D、不符合长方体的展开图的特点，不是长方体的展开图，故此选项不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图的特点是解题的关键．
8. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形性质是解题的关键．根据菱形的性质，平行线的性质计算判断即可．
【详解】解：菱形，
，，
，
，
，
故选：D．
9. 如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为点 B，C为y轴上一点，连接，，若的面积为3，则k 的值为（ ）
A. 3B. C. 6D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答函数问题的关键．如图，连结，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的的值．
【详解】解：如图，连结．
∵轴，
∴．
∴．
∵，
∴，得．
∵图象位于第二象限，则，
∴．
故答案为：D．
10. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是：有人要去某关口，路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第一天走的路程为（ ）
A. 192里B. 189里C. 144里D. 96里
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第一天走了里，根据“路程378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地”列出一元一次方程，解方程即可得出答案，理解题意，正确列出方程是解此题的关键．
【详解】解：设第一天走了里，
由题意得：，
解得：，
此人第一天走的路程为192里，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若分式值是零，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式的值为零的条件：分子为且分母不为、含绝对值的方程，熟练掌握分式的值为及有意义的条件是解题关键．根据分式的值为及有意义的条件判断即可．
【详解】解：由题得且，
解得：，
故答案为：．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先将式子变形为，再提取公因式即可得出答案．
详解】解：，
故答案为：．
13. “北斗系统”是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过3600亿次．3600亿用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：3600亿，用科学记数法表示为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．
14. 试管架上有三个试管，分别装有、、溶液，某同学将酚酞试剂随机滴入两个试管内，则试管中溶液同时变红的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及试管中溶液同时变红的结果数(酚酞试剂遇到碱溶液会变成红色)，再利用概率公式可得出答案．熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
【详解】解：列表如下：
、、溶液中，、是碱性溶液，酚酞试剂遇到碱溶液会变成红色
共有6种等可能的结果，其中试管中溶液同时变红的结果有：，，共2种，
∴试管中溶液同时变红的概率为．
故答案为：．
15. 如图，小树AB在路灯的照射下形成树影BC．若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度OP为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解．
【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变：
∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=4.5m
∴ ，代入得：
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键．
16. 若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，进而结合已知条件求出的值是解题的关键；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17. 若一个多边形的每一个外角都等于，则这个多边形一个顶点可引的对角线的条数是 ___________条．
【答案】
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为，求出多边形的条数，再根据从一个顶点出发有条对角线进行计算即可．
【详解】解：设多边形有条边，
∵多边形的外角和为，
∴，
∴从一个顶点出发有：条对角线；
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形外角和以及对角线的条数．熟练掌握多边形的外角和和对角线条数的计算方法是解题的关键．
18. 如图，正方形的边长为2，点是中点，将沿翻折至，延长交边于点，则的长为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，易证，设，在中，利用勾股定理列出方程，解方程可得，则．
【详解】解：连接，如图，

正方形的边长为2，
，
点是中点，
，
四边形是正方形，
，
由折叠可知：，
则，，，
，
在和中，
，
．
，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了翻折变换，三角形的全等的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．利用翻折变换是全等变换是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，第19、20、21题每小题6分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题10分，第26题12分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
19. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了实数混合运算，根据特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，立方根定义，进行求解即可．
【详解】解：
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本图考查了整式的乘法与化简求值，先根据乘法公式进行化简，进而根据条件式根据等式的性质可得，整体代入即可求解．
【详解】解：
，
∵，且，
∴，
即，
∴原式
21. 如图，在的正方形网格中，每一个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．点在格点上．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）；
（2）计算你所画菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、菱形的定义，由对称性得出菱形是解此题的关键．
（1）先以为边画出一个等腰三角形，再作对称即可；
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．
【小问1详解】
解：如图，菱形即为所求，
；
【小问2详解】
解：由图可得：，，
．
22. 为落实“劳动”课程，激发学生参与劳动的兴趣，某校开设了以“端午”为主题的劳动活动课 程，要求每位学生在“折纸龙”“采艾叶”“做香囊”与“包粽子”四门课程中选其中一门．现随机 调查了本校部分学生的选课情况，绘制了两幅不完整的统计图：
某校学生活动课程选课情况条形统计图
某校学生活动课程选课情况扇形统计图
请根据图表信息回答下列问题：
（1）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图；
（2）本校共有900名学生，若每间活动教室最多可安排30名学生，试估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要几间．
【答案】（1）本次被调查的学生人数为50人，补全条形统计图见解析
（2）估计开设“折纸龙”课程的教室至少需要5间教室
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联、补全条形统计图、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）先利用“做香囊”的10人占总调查人数的可得总人数，再求出“采艾叶”人数，补全条形统计图即可；
（2）先求出900人中参加“折纸龙”人数，再根据每间活动教室最多可安排30名学生，计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据“做香囊”的10人占总调查人数的可得总人数为：人，
所以“采艾叶”人数为人，
补全条形统计图.
【小问2详解】
解：根据抽样调查，估计900人中参加“折纸龙”人数有（人），
需要教室数，即至少需要5间教室．
23. 学校准备为一年一度的“艺术节”活动购买奖品，计划购买一批雨伞和茶杯，已知购买2把雨伞和3个茶杯共需65元，购买3把雨伞和2个茶杯共需85元．
（1）求雨伞和茶杯的单价分别是多少元?
（2）如果本次活动需要茶杯的个数比雨伞数量的2倍还多8个，且购买雨伞和茶杯的总费用不超过1000元，那么最多可购买多少把雨伞?
【答案】（1）雨伞的价格为每把25元，茶杯的价格为每个5元
（2）最多可购买27把雨伞
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式是解此题的关键．
（1）设雨伞的价格为每把元，茶杯的价格为每个元，根据“购买2把雨伞和3个茶杯共需65元，购买3把雨伞和2个茶杯共需85元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）设购买把雨伞，则购买个茶杯，根据“购买雨伞和茶杯的总费用不超过1000元”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【小问1详解】
解：设雨伞的价格为每把元，茶杯的价格为每个元，
依题意，得：，
解得：
答：雨伞的价格为每把25元，茶杯的价格为每个5元；
【小问2详解】
解：设购买把雨伞，则购买个茶杯，
依题意，得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最大值为27，
答：最多可购买27把雨伞．
24. 如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；
（2）求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．
【详解】(1)证明：连接OE、EC,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠AEC=∠BEC=90°
∵D为BC的中点,
∴ED=DC=BD,
∠1=∠2,
∵OE=OC,
∴∠3=∠4,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,
即∠OED=∠ACB,
∵∠ACB=90°
∴∠OED=90°,
∴DE是⊙O的切线；
(2)由(1)知:∠BEC=90°
∵在与Rt△BEC和Rt△BCA中,
∠B=∠B， ∠BEC=∠BCA，
∴△BEC∽△BCA，
∴ ，
∴ ，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴ ，
解得：x=（负值已舍去）
即AE=．
【点睛】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC-△BCA是解此题的关键．
25. 阅读下面材料：
一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a+b+c，abc，a2+b2，…
含有两个字母a，b的对称式的基本对称式是a+b和ab，像a2+b2，（a+2）（b+2）等对称式都可以用a+b，ab表示，例如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是_______（填序号）；
（2）已知（x+a）（x+b）＝x2+mx+n．
①若，求对称式的值；
②若n＝﹣4，直接写出对称式的最小值．
【答案】（1）①③；（2）①＝6；②的最小值为．
【解析】
【分析】（1）根据对称式的定义进行判断；
（2）①先得到a+b＝﹣2，ab＝，再变形得到＝＝，然后利用整体代入的方法计算；
②根据分式的性质变形得到＝，再利用完全平方公式变形得到（a+b）2﹣2ab+，所以原式=m2+，然后根据非负数的性质可确定的最小值．
【详解】解：（1）式子①a2b2②a2﹣b2③中，属于对称式的是 ①③．
故答案为①③；
（2）∵x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+n
∴a+b＝m，ab＝n．
①a+b＝﹣2，ab＝，
＝＝＝＝6；
②＝
＝（a+b）2﹣2ab+
＝m2+8+
＝m2+，
∵m2≥0，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，关键是根据题目所给的定义及完全平方公式进行求解即可．
26. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y 轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的点，当时，求点P的坐标；
（3）如图2，点D 在 y 轴负半轴上，且，点 Q 为抛物线上一点，．点 E，F分 别为的边，上的动点，且， 求的最小值．
【答案】（1）抛物线解析式为
（2）点 P 坐标为
（3）BE+QF最小值为
【解析】
【分析】（1）将，，代入中，利用待定系数法即可求解；
（2）过点作轴，交于点，过点 作轴，由可得，证明，得到，设点坐标为，可得，解之即可求解；
（3）作，且使，连接，证明得到，共线时，的值最小，作于点，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：将，，代入中，
得，解得：，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：如图，过点作轴，交于点，过点 作轴，交轴于点，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点坐标为，则，，
∴，
解得 (舍去)或，
∴点坐标为；
【小问3详解】
解：如图，作，且使，连接，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，共线时，的值最小，
作于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
设，则，，
∴，
解得或(舍去)，
∴，
∴，
∴，，
∴，
则的最小值为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、锐角三角函数、最值问题、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
甲的成绩
6
7
8
8
9
9
乙的成绩
5
9
6
？
9
10