2024年福建省龙岩市长汀县初中毕业班第二次教学质量检查九年级数学试题

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一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分）
二、填空题（本大题共6题，每题4分，共24分）B
11. 5 ; 12. 28° ；13. ；14. 4.4 15. -2 16. m＜1 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17. （8分）计算：.
原式＝ …………（6分）
= …………（8分）
18.原式＝ …………（2分）
. …………（4分）
由，得， .…………（6分）
当，时，
原式4. …………（8分）
19. 证明：，
， ……………………2分
在和中，
，
，………………………6分
． …………8分
20（1） 144 …………………（2分）
解法提示：本次抽取的学生总人数为10÷20%=50，故20÷50×360°=144°.
（2）补全条形统计图如下. …………………（4分）

（3）根据题意画树状图如下，
…………………（6分）
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，B两人同时参赛的结果有2种，
故恰好抽到A，B两人同时参赛的概率为．…………………（8分）
21.解：（1）设小丽每分钟跑米，则小美每分钟跑米，
根据题意，得 ， …………………2分
解得：，
经检验，既是所列分式方程的解也符合题意，
则，
答：小美每分钟跑360米． …………………………………………4分
（2）解：设小美从地到地锻炼共用分钟，
根据题意，得， ……………6分
解得：，（不符合题意，舍去），
答：小美从地到地锻炼共用50分钟．……………………8分
22.（1）证明：如图，连接OD，
∵是的切线，
∴， …………1分
∴.
∵是的直径,
∴， …………2分
∴.
∵，
∴， …………3分
∴.
又∵，
∴， ………………4分
∴，
∴. …………（5分）
（2）∵，
∴，. …………6分
由（1）知，
∴，………………7分
设，则，
∵，
∴，解得，………………9分
∴的长为. …………（10分）
23.解：任务1：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，
∴，在中， …………1分

∴ …………2分
∴，
∴， …………3分
∴，
∴遮阳棚外端到地面的距离小于2.3米，人进出时没有安全感.
增强安全感的建议如下：适当扩大的度数使……………………4分
任务2：如图所示，在中，，
∴
∴阴影的长为．…………………………6分
任务3：解：如图所示，过点B作于点E，作于点F，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，…………………………7分
在中，，
∴，………………………………………………………8分
在中，，
∴．……………………………………9分
∴………………………………10分
24.（1）方法一（因式分解）：∵，
∴，
∴对于任意实数,该抛物线都会经过一个定点（-1,0）. …………………（2分）
方法二（消除参数a）：∵，
∴，
∴对于任意实数,该抛物线都会经过一个定点（-1,0）. …………………（2分）
（2）①当时,抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，……………3分
∴C（0，﹣3），D（1，﹣4），B（3,0）.
∵|PD﹣PC|≤DC，
∴当P，D，C三点在一条直线上时，|PD﹣PC|取得最大值，…………4分
如图（1），连接DC并延长，交x轴于点P，
设直线DC的解析式为y=kx+b，
将点C（0，﹣3），D（1，﹣4）的坐标分别代入，
得解得
直线DC的解析式为y＝﹣x﹣3， ……………6分
当y=﹣x﹣3=0时，x=-3，
∴P（﹣3，0），
∴.…………………（8分）
图（1）
②的面积为4. …………………（12分）
解法提示:设E（xE，yE），F（xF，yF），直线CE：y＝k1x+b1，直线BF：y＝k2x+b2，直线EF：y＝k′x+b′，
将点C（0，﹣3）的坐标代入直线CE的解析式，得b1＝﹣3.
将点B（3，0）的坐标代入直线BF的解析式，得b2＝﹣3k2.
联立直线EF与抛物线的解析式，得
整理得x2﹣（k′+2）x﹣b′﹣3＝0，
则xE+xF＝k′+2，xE•xF＝﹣b′﹣3（提示：一元二次方程“根与系数的关系”）.
同理可得xE+xC＝k1+2，xF+xB＝k2+2，
∵xC＝0，xB＝3，
∴xE＝k1+2，xF＝k2﹣1，
∴k′＝xE+xF﹣2＝k1+2+k2﹣1﹣2＝k1+k2﹣1，
b′＝﹣xE•xF﹣3＝﹣（k1+2）（k2﹣1）﹣3＝﹣k1k2﹣2k2+k1﹣1.
联立直线CE与直线BF的解析式，得解得
∵直线BF与直线CE的交点始终在直线y＝2x﹣9上，
∴2×﹣9＝，化简得k1k2＝3k1﹣2，
∴b′＝﹣k1k2﹣2k2+k1﹣1＝﹣3k1+2﹣2k2+k1﹣1＝﹣2k1﹣2k2+1＝﹣2（k1+k2）+1＝﹣2（k′+1）+1＝﹣2k′﹣1，
∴直线EF：y＝k′x﹣2k′﹣1＝k′（x﹣2）﹣1，
∴当x＝2时，y＝﹣1，
即不论k′为何值，直线EF恒过定点Q（2，﹣1）．
如图（2），过点Q作QK⊥X轴于点K，
∵A（-1，0），易证△CAO≌△AQK，
∴.
图（2）



25. 探究一：① ……………（2分）
解法提示：如图（1），过点D作DG⊥AB于点G，
∵，
∴∠B=45°，∴△BDG是等腰直角三角形.
∵，
∴DG=BG=BD=2，
∴AG=AB-BG=4，
∴AD==2.
图（1）
② …………… （4分）
解法提示：由题意得，点在以A为圆心，为半径的圆上运动，
故当点在AD延长线上时，取得最小值，当点在DA延长线上时，取得最大值，
由①知AD=2，
∴的最大值a=+2，的最小值b=-2，
∴=(+2)(-2)=32.
图（2）
③由旋转的性质，得△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，∴∠CDE＋∠ADB=135°.
∵∠BAD＋∠ADB=135°，
∴∠CDE＝∠BAD.
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCF，……………（5分）
∴.
∵AB＝AC＝6，
∴BC＝12. ……………6分
∵，
∴，
∴，
当时，取得最大值，为. ……………（7分）
探究二：第一步：由旋转确定点M，N的坐标.
∵线段绕点逆时针旋转得线段，
∴∠MAB=45°，AM=，
∴.
∵线段绕点逆时针旋转90°得线段，
∴∠NAM=90°.
∵∠MAC=∠BAC-∠MAB=45°，
∴∠NAC=45°，∴关于轴对称，
∴.
第二步：求点P的坐标，进而得到直线AP的解析式.
易求直线的解析式为（点拨：待定系数法），直线的解析式为，
∵当时，x=，
∴，
∴易求直线的解析式为. ……………（9分）
第三步：求出直线NC，BM的解析式，联立求得交点Q的坐标.
又∵，
∴易求直线的解析式为， ……………（10分）
直线的解析式为，（11分）
联立解得
∴. ……………（12分）
第四步：将点Q坐标代入直线AP的解析式，判断结果.
∵，
∴射线经过点. ……………（14分）

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
B
D
A
B
C
D