2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市海淀区高二下学期期末学业水平调研数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.(x−1)5的展开式中，所有二项式的系数和为( )
A. 0B. 25C. 1D. 26
2.已知函数f(x)=sinxcsx，则f′(0)的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. π
3.若等比数列an的前n项和Sn=2n−1，则公比q=( )
A. 12B. −12C. 2D. −2
4.下列函数中，在区间−1,0上的平均变化率最大的时( )
A. y=x2B. y=x3C. y=12xD. y=2x
5.将分别写有2，0，2，4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数(首位不为0)，则组成的不同四位数的个数为( )
A. 9B. 12C. 18D. 24
6.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为X，则( )
A. EX=2.4B. EX=4.8C. DX=0.48D. DX=0.96
7.已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是( )
A. 37B. 23C. 34D. 56
8.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1<0、则“Sn有最大值”是“公差d<0”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9.设函数fx=ln1−x+asinx.若fx≤f0在−1,1上恒成立，则( )
A. a=0B. a≥1C. 010.在经济学中，将产品销量为x件时的总收益称为收益函数，记为Rx，相应地把R′x称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数R′(x)=1000−x (注：经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论：
①当销量为1000件时，总收益最大；
②若销量为800件时，总收益为T，则当销量增加400件时，总收益仍为T；
③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．
其中正确结论的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.(1+2x)4的展开式中含x2项的系数为 ．
12.某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目(其中只包含1个球类项目)，每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为X，则X的所有可能取值为 ，数学期望EX= ．
13.已知数列an+1是公比为2的等比数列，若a1=0，则a1+a2+⋯+an= ．
14.甲乙两人射击一架进入禁飞区的无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为0.5,0.4，且甲乙射击互不影响，则无人机被击中的概率为 .若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为0.2；若恰好被两人击中，则被击落的概率为0.6，那么无人机被击落的概率为
15.已知数列an的前n项和为Sn，满足a1=1，当n≥2时，Sn2−an2=λ .给出下列四个结论：①当λ=0时，a3=−14；
②当λ=−3时，S2024=2；
③当λ=4时，∀n≥2，Sn>2恒成立；
④当λ>1时，an从第三项起为递增数列．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（12分）已知函数fx=x−1ex−x2．
(1)判断fx在−∞,0上的单调性，并证明；
(2)求fx在0,+∞上的零点个数．
17.（12分）某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为qA,qB，定义产品的指标偏差Q=|qA−1|+|qB−2|，数据如下表：
假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足qA>1且qB>2的概率；
(2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设X表示这两件产品中满足qB>2的产品数，求X的分布列和数学期望EX；
(3)已知Q的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产线上的产品质量更好？并说明理由．
18.（12分）已知f(x)=x2+axlnx+bx
(1)当a=−3,b=−1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)已知fx有两个极值点x1,x2，且满足fx1+fx2=0，求b的值；
(3)在(2)的条件下，若fx≥−x+1在1,+∞上恒成立，求a的取值范围．
19.（13分）已知数列A:a1，a2，⋯，a100满足a1(1)若an=n,，请直接写出m,b1,bm；
(2)若an=2n,，求b20；
(3)若b2025=ai+aj(i20.（13分）设函数f(x)=sinωx+ 3csωx(ω>0).从下列三个条件中选择两个作为已知，使函数fx存在．
(1)求fx的最小正周期及单调递减区间；
(2)若对于任意的x∈π2,π，都有fx≤c，求实数c的取值范围．
条件①：函数fx的图象经过点−π6,2；
条件②：fx在区间−5π12,π12上单调递增；
条件③：x=π12是fx的一条对称轴．
注：如果选择的条件不符合要求，第(1)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21.（13分）设n为正整数，集合An=αα=t1,t2,...,tn,tk∈0,1,k=1,2,...,n.对于集合An中的任意元素α=x1,x2,...,xn和β=y1,y2,...,yn，定义α∗β=x1⋅y1,x2⋅y2,...,xn⋅yn，α⊙β=x1−y1,x2−y2,...,xn−yn，以及α=x1+x2+...+xn．
(1)若n=5，α=1,1,1,0,1，α∗β=0,1,1,0,1，β=4，求β；
(2)若n=9，α1,α2,...,αkk≥2均为An中的元素，且αi=31≤i≤k，αi∗αj=01≤i(3)若α0,α1,α2,...,αkk≥2均为Ann≥5中的元素，其中α0=0，αk=n，且满足αi⊙αi+1=n−20≤i≤k−1，求k的最小值．
参考答案
1.B
2.B
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.C
9.D
10.D
11.24
12.0，1； 23
13.2n−n−1
14.0.7 ；；0.22
15.①③④
16.(1)fx在−∞,0上单调递增，证明如下：
因为fx=x−1ex−x2，
所以f′x=ex+x−1ex−2x=xex−2x=xex−2，
又因为x∈−∞,0，从而ex−2<1−2<0，
所以f′x=xex−2>0，
所以fx在−∞,0上单调递增．
(2)由(1)知：f′x=xex−2，
因为x∈0,+∞，
令f′x=0，得x=ln2．
fx与f′x在区间0,+∞上的情况如下：
因为f0=0−1e0−02=−1<0，f2=2−1e2−22=e2−22>0，
所以由零点存在定理及fx单调性可知，fx在0,+∞上恰有一个零点．
17.(1)记A表示“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qA>1且qB>2”．
用频率估计概率，则PA=310．
所以该产品满足qA>1且qB>2的概率为310．
(2)由表格数据，用频率估计概率，
可得“从甲生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qB>2”的概率为510=12；
“从乙生产线上随机抽取一件产品，该产品满足qB>2”的概率为78．
由题意，X的所有可能取值为0,1,2．
PX=0=12×18=116,PX=1=12×18+12×78=12，
PX=2=12×78=716．
所以X的分布列为
所以X的数学期望为EX=0×116+1×12+2×716=118．
(3)甲生产线上的产品质量更好，
因为甲生产线上Q值的平均值Q甲=0.03+0.07+0.11+0.05+0.05+0.09+0.13+0.05+0.18+0.0410=0.8010=0.08，
乙生产线上Q值的平均值Q乙=0.03+0.06+0.20+0.13+0.14+0.04+0.22+0.058=0.878>0.1，
所以甲生产线上Q值的平均值明显比乙小，
所以甲生产线上的产品质量更好．
其它理由：从甲乙两生产线的样本中各随机取一件，则
甲生产品的Q值小于乙的概率为7+4+4+5+5+4+3+5+2+68×10=916>12，
所以甲生产线上的产品质量更好．
18.(1)当a=−3,b=−1时，fx=x−3lnx−1x,f1=0，
所以f′x=1−3x+1x2，
所以f′1=−1．
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=−x+1．
(2)因为fx=x+alnx+bx,x∈0,+∞，
所以f′x=1+ax−bx2=x2+ax−bx2，
因为fx有两个极值点x1,x2，
所以f′x有两个大于0的变号零点，
所以方程x2+ax−b=0有两个不等正根，
所以Δ=a2+4b>0x1x2=−b>0x1+x2=−a>0，解得a2>−4bb<0a<0,
又因为fx1+fx2=0，
即有x1+alnx1+bx1+x2+alnx2+bx2=0，
整理得x1+x2+alnx1x2+bx1+x2x1x2=0，
代入x1x2=−b,x1+x2=−a，
可得−a+aln−b+b−a−b=0，解得b=−1，
又因为a2>−4ba<0，所以可得a<−2，
经检验，符合题意．
(3)由(2)可知b=−1且a<−2，从而fx=x+alnx−1x，
因为fx≥−x+1在1,+∞上恒成立，
令gx=fx+x−1=2x+alnx−1x−1,x∈1,+∞,
则有gx≥0在1,+∞上恒成立，易得g1=2+aln1−1−1=0，
因为g′x=2+ax+1x2=2x2+ax+1x2，所以g′1=a+3，
令ℎx=2x2+ax+1,x∈1,+∞,ℎ1=3+a，对称轴x=−a4，
①当−3≤a<−2时，ℎ1=3+a≥0,x=−a4≤34，
所以ℎx在1,+∞单调递增，从而ℎx≥ℎ1=3+a≥0恒成立，
所以g′x=ℎxx2≥0在1,+∞也恒成立，
所以gx在1,+∞单调递增，从而gx≥g1=0恒成立．
②当a<−3时，ℎ1=3+a<0，
所以2x2+ax+1=0有两个不等实根x3,x4(不妨设x3所以x3<1所以gx在1,x4上单调递减，
所以gx4综上，a的取值范围是−3,−2．
19.(1)由题意可知a1=1,a2=2,a3=3,⋅⋅⋅,a100=100，
所以可知b1=3,b2=4,b3=5,⋅⋅⋅,bm=199，
所以S=3,4,5,⋅⋅⋅,199，
所以m=197,b1=3,bm=199．
(2)因为对任意1≤i所以b1,b2,⋯,bm依次为
b1=21+22，
b2=21+23,b3=22+23，
b4=21+24,b5=22+24,b6=23+24，
b7=21+25,b8=22+25,b9=23+25,b10=24+25，
b11=21+26,⋯,b15=25+26
b16=21+27,⋯,b21=26+27，…
所以b20=25+27=160．
(3)jmin=25．
先证明：j≥25．
方法1：考虑从aj−1,aj,…,a100这102−j个数中任取2个求和，这些和都不小于aj−1+aj，
因为ai+aj≤aj−1+aj，所以2024+C102−j2≤4950，从而C102−j2≤2926，
因为C772=2926，所以102−j≤76，即j≥25．
方法2：假设j≤24，则i≤23．
则b2025=ai+aj≤a23+a24，
因为满足am+ak所以小于a23+a24的和式至多有以下情况：
a1+a2,a1+a3,⋯,a1+a100；
a2+a3,a2+a3,⋯,a2+a100；
……
a22+a23,a22+a24,⋯,a22+a100；
共99+98+…..+78=99+78×222=1947<2024，不合题意．
其次，证明存在符合要求的数列．
构造：令ak=1−12k−1,k=1,2,⋯,99,a100=1．
显然满足a1且ak+a100=2−12k−1<2−12k−12k+1=ak+1+ak+2,k=1,2,⋯,98．
此时，b2025=a24+a25，故jmin=25．
20.(1)因为fx=sinωx+ 3csωx=212sinωx+ 32csωx=2sinωx+π3，
若选①②：由①函数f(x)的图象经过点−π6,2，
则−πω6+π3=π2+2kπ，k∈Z，即ω=−1−12k，k∈Z，
由②f(x)在区间−5π12,π12上单调递增，有π12−−5π12≤T2，即T≥π，
又ω>0且T=2πω，即2πω≥π，所以0<ω≤2，此时ω不存在；
选条件②③：由②f(x)在区间−5π12,π12上单调递增，有π12−−5π12≤T2，即T≥π，
又ω>0且T=2πω，即2πω≥π，所以0<ω≤2，
由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12ω+π3=π2+kπ，k∈Z，
所以ω=2+12k，k∈Z，所以ω=2，
所以f(x)=2sin2x+π3，则fx的最小正周期T=2π2=π，
由π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递减区间为π12+kπ,7π12+kπ(k∈Z)；
若选①③：由①函数f(x)的图象经过点−π6,2，
则−πω6+π3=π2+2kπ，k∈Z，即ω=−1−12k，k∈Z，
由③x=π12是f(x)的一条对称轴，则π12ω+π3=π2+kπ，k∈Z，所以ω=2+12k，k∈Z，
此时ω不存在；
(2)由(1)可知f(x)=2sin2x+π3，
因为x∈π2,π，所以2x+π3∈4π3,7π3，
所以sin2x+π3∈−1, 32，f(x)∈−2, 3，
因为对于任意的x∈π2,π，都有f(x)≤c，所以c≥ 3，
即c的取值范围为 3,+∞．
21.(1)设β=y1,y2,y3,y4,y5，则由α=1,1,1,0,1，α∗β=0,1,1,0,1，知1⋅y1,1⋅y2,1⋅y3,0⋅y4,1⋅y5=0,1,1,0,1．
所以y1,y2,y3,0,y5=0,1,1,0,1，得β=0,1,1,y4,1．
而β=4，故0+1+1+y4+1=4，从而y4=1．
所以β=0,1,1,1,1．
(2)由已知有αi=31≤i≤k，αi∗αj=01≤i这些条件的含义是，α1,α2,...,αk都恰有3个分量等于1，且任意两个不同向量没有同时为1的分量．
由于n=9，故一共只有9个分量，这表明全体α1,α2,...,αk的所有分量中，至多有9个1．
而显然一共有3k个1，故3k≤9，得k≤3．
显然α1=1,1,1,0,0,0,0,0,0，α2=0,0,0,1,1,1,0,0,0，α3=0,0,0,0,0,0,1,1,1满足条件，此时k=3．
这就说明k的最大值是3．
(3)由α0=0，αk=n，知α0=0,0,0,...,0,0，αk=1,1,1,...,1,1．
而条件αi⊙αi+1=n−20≤i≤k−1的含义是，在序列α0,α1,α2,...,αk中，任意一对相邻的向量αi,αi+10≤i≤k−1都恰有n−2个分量不相等．
根据题目内容，已有k≥2．
若k=2，则α0=0,0,0,...,0,0，α2=1,1,1,...,1,1，且α0,α1恰有n−2个分量不相等，α1,α2恰有n−2个分量不相等．
换言之，α0,α1恰有2个分量相等，α1,α2恰有2个分量相等．
而n≥5，故一定存在1≤t≤n，使得α0,α1的第t个分量不相等，α1,α2的第t个分量也不相等．
这就表明α0,α2的第t个分量相等，但α0=0,0,0,...,0,0，α2=1,1,1,...,1,1，它们没有相等的分量，矛盾；
这就表明k≥3．
注意到α0=0,0,0,0,0,0,...,0,0,0,0，α1=0,1,0,1,1,1,...,1,1,1,1，α2=1,1,0,0,0,0,...,0,0,0,0，α3=1,1,1,1,1,1,...,1,1,1,1满足全部条件，此时k=3．
所以k的最小值是3．
甲生产线抽样产品编号指标
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
qA
0.98
0.96
1.07
1.02
0.99
0.93
0.92
0.96
1.11
1.02
qB
2.01
1.97
1.96
2.03
2.04
1.98
1.95
1.99
2.07
2.02
Q
0.03
0.07
0.11
0.05
0.05
0.09
0.13
0.05
0.18
0.04
乙生产线抽样产品编号指标
1
2
3
4
5
6
7
8
qA
1.02
0.97
0.95
0.94
1.13
0.98
0.97
1.01
qB
2.01
2.03
2.15
1.93
2.01
2.02
2.19
2.04
Q
0.03
0.06
0.20
0.13
0.14
0.04
0.22
0.05
x
0,ln2
ln2
ln2,+∞
f′x
−
0
+
fx
↘
极小
↗
X
0
1
2
P
116
12
716