黑龙江省龙东地区2024届中考数学试卷(含答案)

这是一份黑龙江省龙东地区2024届中考数学试卷(含答案)，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
2．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.
C.D.
3．一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是( )
A.6B.5C.4D.3
4．一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为( )
A.1B.0.8C.0.6D.0.5
5．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是( )
A.B.C.且D.且
6．已知关于x的分式方程无解，则k的值为( )
A.或B.C.或D.
7．国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动.班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）.其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案( )
A.5B.4C.3D.2
8．如图，双曲线（）经过A、B两点，连接OA、AB，过点B作轴，垂足为D，BD交OA于点E，且E为AO的中点，则的面积是( )
A.4.5B.3.5C.3D.2.5
9．如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为( )
A.B.C.D.
10．如图，在正方形中，点H在边上（不与点A、D重合），，交正方形外角的平分线于点F，连接交于点M，连接交于点G，交于点N，连接.则下列结论：①；②点G是的中点；③若点H是的中点，则；④；⑤若，则，其中正确的结论是( )
A.①②③④B.①③⑤C.①②④⑤D.①②③④⑤
二、填空题
11．国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是亿斤，将亿用科学记数法表示为___________.
12．在函数中，自变量x的取值范围是___________.
13．已知菱形中对角线、相交于点O，添加条件___________可使菱形成为正方形.
14．七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是___________.
15．关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是___________.
16．如图，内接于，是直径，若，则___________°.
17．若圆锥的底面半径为3，侧面积为，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是___________°.
18．如图，在中，，，，，线段绕点A旋转，点P为的中点，则的最大值是___________.
19．矩形中，，，将沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线于点P（点P不与点B重合），点B的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则长为___________.
20．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是___________.
三、解答题
21．先化简，再求值：，其中.
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，.
（1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标；
（2）画出绕点A逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留π）
23．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中，.
（1）求抛物线的解析式.
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得的面积最大.若存在，请直接写出点P坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由.
24．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼.学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：
（1）频数分布表中________，扇形统计图中_______.
（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在________组别.
（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？
25．甲、乙两货车分别从相距的A、B两地同时出发，甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，乙货车沿同一条公路从B地驶往A地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，结果比甲货车晚半小时到达B地.如图是甲、乙两货车距A地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）甲货车到达配货站之前的速度是________，乙货车的速度是________；
（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中，甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式；
（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等.
26．已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段、、之间的数量关系.
（1）如图①，当时，探究如下：
由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有.
（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明.
27．为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子.已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元.
（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
28．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边在x轴上，点A在第一象限，的长度是一元二次方程的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动.设运动时间为t秒（），的面积为S.
（1）求点A的坐标；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形.若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：A、，故选项A计算错误，此选项不符合题意；
B、，故选项B计算错误，此选项不符合题意；
C、，此选项计算正确，符合题意；
D、，故选项D计算错误，此选项不符合题意；
故选：C.
2．答案：B
解析：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意.
故选：B.
3．答案：B
解析：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有个小正方体，
第二层最少有1个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有个.
故选B.
4．答案：D
解析：平均数为：
方差为：
.
故选：D.
5．答案：D
解析：关于x的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且.
故选：D.
6．答案：A
解析：去分母得，，
整理得，，
当时，方程无解，
当时，令，
解得，
所以关于x的分式方程无解时，或.
故选：A.
7．答案：B
解析：设购买x支笔记本，y个碳素笔，
依题意得：，
.
又，y均为正整数，
或或或，
共有4种不同的购买方案.
故选：B.
8．答案：A
解析：如图，过点A作，垂足为F，
设，，
轴，，
轴，，
，
，
E为的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：A.
9．答案：C
解析：连接，如图，
菱形中，与互相垂直平分，
又点O是的中点，
A、O、C三点在同一直线上，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故选：C.
10．答案：A
解析：连接，如图，
四边形是正方形，
，，，垂直平分，
，
平分，
，
，
，
点B、H、D、F四点共圆，
，，
，故①正确，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
点G是的中点，故②正确，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，故④正确，
，
若，则，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误，
如图，③若点H是的中点，设，即，
，
，
同理可证明，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，故③正确，
则正确的有：①②③④.
故选：A.
11．答案：
解析：亿，亿.
故答案为：.
12．答案：/
解析：根据题意得，，且，
解得，，
故答案为：.
13．答案：或
解析：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：；
故添加的条件为：或.
14．答案：
解析：画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，
选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：，
故答案为：.
15．答案：
解析：由，得：，
由，得：，
不等式组恰有3个整数解，
这3个整数解是0，1，2，
，
解得，
故答案为：.
16．答案：
解析：如图所示，连接，
内接于，是直径，
，
，，
，
故答案为：.
17．答案：
解析：根据圆锥侧面积公式：，可得，
解得：，
，
解得，
侧面展开图的圆心角是.
故答案为：.
18．答案：
解析：取的中点M，连接、.
，，，
，
，
，
P、M分别是的中点，
.
如图，当在下方时，如果B、P、M三点共线，则有最大值，
最大值为，
故答案为：.
19．答案：或或10
解析：①点B的对称点落在矩形对角线上，如图1，
在矩形中，，，
由折叠性质可知：，
，
；
②点B的对称点落在矩形对角线上，如图2，
在矩形中，，，，
，
，
由折叠性质可知：，，
；
③点B的对称点落在矩形对角线延长线上，如图3，
在矩形中，，，，
，
，
由折叠性质可知：，，
；
综上所述：则长为或或10.
故答案为：或或10.
20．答案：
解析：正方形顶点M的坐标为，
，
是等边三角形，点B坐标是，
等边三角形高为，
由题知，
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
继续滚动，的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；
的坐标是；……不断循环，循环规律为以，，……，，12个为一组，
，
的坐标与的坐标一样为，
故答案为：.
21．答案：，
解析：原式
，
当时原式.
22．答案：（1）作图见解析，
（2）作图见解析，
（3）
解析：（1）如图，为所求；点的坐标为，
（2）如图，为所求；，
（3），
点B旋转到点的过程中所经过的路径长.
23．答案：（1）
（2）存在，点P的坐标是，的面积最大值是
解析：（1）将，代入得，
，
解得：，
.
（2）对于，令，则，
解得，，，
，
，
，
，
过点P作轴于点E，如图，
设，且点P在第二象限，
，，
，
，
S有最大值，
当时，S有最大值，最大值为，此时点P的坐标为.
24．答案：（1）8，40
（2）C
（3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人
解析：（1）被抽取的学生数为：（人）
故（人），
，即，
故答案为：8，；
（2）把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，
，，
把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C组，
故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C组，
答案为：C；
（3）（人）
答：该校立定跳远成绩合格的男生有人.
25．答案：（1）30，40
（2）的函数解析式是
（3）经过1.5h或或5h甲、乙两货车与配货站的距离相等
解析：（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km，所用时间为3.5h，所以甲货车到达配货站之前的速度是（）
乙货车到达配货站路程为，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B地，总路程为240km，总时间是6h，
乙货车速度，
故答案为：30；40.
（2）甲货车从A地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B地，由图象可知和点，
设，
，
解得：，
甲货车距A地的距离与行驶时间之间的函数解析式.
（3）设甲货车出发，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：，
解得：，
②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：，
解得：，
③甲货车在配货站卸货后驶往B地时：，
解得：，
答：经过或或甲、乙两货车与配货站的距离相等.
26．答案：图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析
解析：图②的结论是：，
证明：∵，，
是等边三角形，
，
以点B为顶点在外作，在上截取，连接、，过点Q作，垂足为H，
，，，
，
，，
又，
，
即，
又，
，
；
，
，
，，
，
在中，可得：，
即，
整理得，
，
图③的结论是：，
证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，
，，，
，
，，
又，
，
即，
又，
，
，
在中，，，
，，
，
在中，可得：，
即，
整理得，
.
27．答案：（1）购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元
（2）共有3种购买方案
（3）学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元
解析：（1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元.由题意得：，
解得：，
答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；
（2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个.
由题意得：，
解得：，
和均为正整数，
，62，64，
，7，4，
共有3种购买方案.
（3）设商家获得总利润为y元，
，
，
，
随x的增大而减小，
当时，，
答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元.
28．答案：（1）点A的坐标为
（2）
（3）存在，，，，
解析：（1），解得，
的长度是的根，
是等边三角形，
，
过点A作轴，垂足为C，
在中，，
，
，
，
点A的坐标为.
（2）当时.过P作轴，垂足为点D，
，，
，
，
；
当时，过Q作，垂足为点E，
，
，
又，
，
，
又，
当时，过O作，垂足为F，
，
同理可得，，
；
，
综上所述.
（3）当时，解得，，
，
过点P作轴于点G，则，
，
点P的坐标为；
当为边时，将沿y轴向下平移4个单位得，此时，四边形是菱形；
将沿y轴向上平移4个单位得，此时，四边形是菱形；如图，
作点P关于y轴的对称点，当时，四边形是菱形；
当为对角线时，设的中点为T，过点T作，交y轴于点M，延长到N，使，连接，过点N作轴于点H，则
，，
，
，即，
解得，，
，，
；
当，解得，，不符合题意，此情况不存在；
当时，解得，，不符合题意，此情况不存在；
综上，点N的坐标为，，，
组别
分组（cm）
频数
A
3
B
m
C
20
D
14
E
5