2023-2024学年湖南省长沙市九年级上学期数学月考试题及答案

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市九年级上学期数学月考试题及答案，共25页。

2．请将答案正确填写在答题卡上，否则无效。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列几何图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2. 据国家旅游局统计，2017年端午小长假全国各大景点共接待游客约为82600000人次，数据82600000用科学记数法表示为（ ）
A. 0.826×106B. 8.26×107C. 82.6×106D. 8.26×108
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】82600000的小数点向左移动7位得到8.26，
∴82600000用科学记数法表示为：8.26×107，
故选B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3. 已知一组数据 5，4，3，6，7，则这组数据的平均数与中位数分别为（ ）．
A. 7，5B. 5，7C. 5，6D. 5，5
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数、众数、中位数、方差和标准差的定义分别求解即可；
【详解】将这组数据重新排列为3、4、5、6、7；
所以这组数据的平均数为 ；
中位数为5；
故答案为：D
【点睛】本题考查了平均数、中位数的定义，解题的关键是掌握它们的定义；平均数是所有数据的和除以数据的个数；将一组数据按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数
4. 如图，是的中位线，若，则的长是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知是的中位线，，根据中位线定理即可求得的长．
【详解】解：∵是中位线，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．掌握三角形中位线定理是解题的关键．
5. 直线过点，若，则与大小关系为（ ）．
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】直线系数 ，可知 随 的增大而减小， 时，；
【详解】∵直线 中 ，
∴函数 随 的增大而减小，
∴当 时，；
故选：A
【点睛】本题考查的是一次函数的性质，解答此题要熟知一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小
6. 已知点A（a，1）与点B（5，b）关于y轴对称，则实数a，b的值分别是（ ）
A. 5，1B. ﹣5，1C. 5，﹣1D. ﹣5，﹣1
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】∵点A（a，1）与点A′（5，b）关于y轴对称，
∴a=-5，b=1，
故选B．
【点睛】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7. 已知关于的一元二次方程，则该方程根的情况是（ ）．
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个实数根D. 无实数根
【答案】B
【解析】
【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，判断即可；
【详解】∵关于 的一元二次方程，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B
【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程 ，当 时，方程有两个不相等的实数根，当 时，方程没有实数根；当 时，方程有两个相等的实数根，反之也成立
8. 如图，已知A（1，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是（ ）
A. B. 3C. D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】试题解析：∵A点坐标为（1，3），
∴OA==，
∵线段OA绕原点O顺时针旋转90°后得到OA′，
∴OA′=OA=．
故选A．
点睛：旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
9. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛50场比赛，设参加比赛共有个队，根据题意，所列方程为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设共有 个球队参赛，根据每两队之间都进行一场比赛，且共比赛 50 场，即可得出关于 的 一元二次方程，此题得解；
【详解】设共有 个球队参赛，
依题意， 得：
故选D
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程 是解题的关键
10. 已知二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出 、、 之间的关系， 对照 4 条结论判断其正确与否， 由此即可得出结论；
【详解】抛物线开口向上，
则 ，
抛物线与 轴交于正半轴，
则，
对称轴在 轴的左侧，
则 ，
∴， ①错误；
抛物线与 轴只有一个交点，
则 ，②正确；
∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴，
∴，即 ，③正确；
∵，
∴，④正确；
故选：C
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 轴的交点抛物线与 轴交点的个数确定是解题的关键
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解：_____
【答案】
【解析】
【分析】a2-9可以写成a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），
故答案为：（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
12. 函数的图象不经过第______象限．
【答案】三
【解析】
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：∵直线y＝−3x＋5中，k＝−3＜0，b＝5＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故答案为：三．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
13. 已知等腰三角形两边长分别是方程两根，求此等腰三角形的周长_____．
【答案】11或13##13或11
【解析】
【分析】先利用因式分解法解得到，，然后分类讨论：当腰为3，底边为5或当腰为5，底边为3，再分别计算三角形的周长．
【详解】解：，
，
所以，，
当腰为3，底边为5时，三角形的周长；
当腰为5，底边为3时，三角形的周长．
故答案为：11或13．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的定义和三角形三边的关系．
14. 二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得图象对应函数解析式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴把二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移4个单位所得图象的顶点坐标为，
∴平移后所得图象对应的二次函数解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
15. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点O ，过点 A 作 AH  BC 于点 H ，已知 BD=8，S 菱形ABCD=24，则 AH_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据勾股定理求出BC，然后由菱形的面积即可得出结果．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴AO＝CO，AC⊥BD，OB=OD=4，
∴S菱形ABCD＝×AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC＝AC＝3，
∴BC＝＝5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出BC是解题的关键．
16. 如图，在正方形中，点是边上的一点，点在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为________________．

【答案】20
【解析】
【分析】连接，结合正方形的性质可证得，由全等三角形的性质可得，，从而可得为等腰直角三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，即垂直平分，易得，设，则，，在中，由勾股定理可得，即，求解即可得到答案．
【详解】解：如下图，连接，

∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，即垂直平分，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∴在中，由勾股定理可得，
即，
解得，即．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是正确作出辅助线，构建全等三角形解决问题．
三、简答题（本题共9小题，共72分）
17. 计算：
【答案】解：原式=2+1+5-3=5．
【解析】
【详解】分析：分别根据绝对值的意义、非0数的0次幂以及负整数指数幂的运算法则进行计算后，再进行加减运算即可求出结果.
详解：
原式=2+1+5-3
=5.
18. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用因式分解法即可解答；
（2）运用配方法即可解答；
【小问1详解】
∵
【小问2详解】
∵
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法或因式分解法，属于中考常考题型
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．

（1）已知与关于原点O成中心对称，请画出，并写出、、三点的坐标；
（2）求出的面积．
【答案】（1）见解析，， ，
（2）5
【解析】
【分析】（1）先作关于原点O成中心对称的对称点，再连接即可；
（2）先沿三个顶点围成一个矩形，再用矩形的面积减去三个直角三角形的面积，据此求解即可；
【小问1详解】
解：如图，就是所求作的图形，

由图形可得：， ，；
【小问2详解】
解：的面积．
【点睛】本题考查了作中心对称图形，中心对称与坐标，求网格中三角形的面积，熟练运用这些知识是解题的关键．
20. 为了解学校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2尚不完整的统计图
（1）本次抽测的男生共有________人，抽测成绩的众数是_________；
（2）请你将图（2）的统计图补充完整；
（3）求这组数据的平均数和中位数；
（4）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校600名九年级男生中，估计有多少人体能达标？
【答案】（1）50 ；5
（2）见解析 （3）平均数：5.16 中位数：5
（4）432人
【解析】
【分析】（1） 用4次的人数除以所占百分比即可得到总人数，人数最多的次数即为该组数据的众数；
（2）用总人数减去其他各组的人数即可得到成绩为 5 次的人数；
（3）根据图象和中位数、平均数的定义即可解答；
（4）用总人数乘以达标率即可得到达标人数；
【小问1详解】
从条形统计图和扇形统计图可知，达到 4 次的占总人数的 ，
故总人数为： 人，众数为 5 次；
【小问2详解】
如图：
【小问3详解】
，
故中位数在第25和26位，根据图像可知在第三组，
故中位数为5；
平均数：；
【小问4详解】
∵被调查的 50 人中有 36 人达标，
∴600名九年级男生中估计有 人，
故该校 600 名九年级男生中估计有 432人体能达标；
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；条形统 图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统 图直接反映部分占总体的百分比大小
21. 已知抛物线的顶点为 ，且过点 ．
（1）求二次函数解析式；
（2）当时，求x的范围；
（3）当时，求y的范围．
【答案】（1）
（2） 或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的顶点式 ，结合顶点 可得到 ，再根据二次函数过点 求出 ，即可得到答案；
（2）根据二次函数的开口方向，结合与 轴的交点可直接得到答案；
（3）根据图像求取最大值和最小值即可求解；
【小问1详解】
设二次函数的解析式为：，
根据题意得 ，
∴二次函数的解析式为：，
∵二次函数过点 ，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
∵二次函数 开口向上，且与 轴的交点为 和 ；
∴当 或 时， ；
【小问3详解】
由图像可知，当时，时取最小值，最小值为-4；
当时，取最大值，最大值为，
故
【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是掌握二次函数顶点公式
22. 随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
（1）该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率；
（2）该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？
【答案】（1）
（2）应定价为70元
【解析】
【分析】设该宾馆这两年床位的年平均增长率为x，根据该宾馆2021年底及2023年底的床位数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2) 设降价a元，根据利润=单个利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
【小问1详解】
设增长率为x，
则可列方程为，
解得（舍）
增长率为
【小问2详解】
设降价a元，
则可列方程，
化简得，
解得，
因为销量要尽可能大，所以降价30元，故应定价为70元；
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键
23. 在中，，将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点A、B的对应点分别是D、E．

（1）当点E恰好在上时，如图1，求的大小；
（2）若时，点F是边中点，如图2，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用旋转的性质得，，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，进而计算出的度数；
（2）利用直角三角形斜边上的中线性质得到，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，则，再根据旋转的性质得到，，，从而得到，和为等边三角形，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法得到结论．
【小问1详解】
解：∵将绕点C顺时针旋转一定的角度得到，点E恰好在上，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵点F是边中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图，连接，

∵将绕点C顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，和为等边三角形，
∴，
∵点F为的边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定等，综合性较强，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．
24. 定义：当取任意实数，函数值始终不小于一个常数时，称这个函数为“恒心函数”，这个常数称为“恒心值”．
（1）判断：函数是否为“恒心函数”，如果是，求出此时的“恒心值”，如果不是，请说明理由；
（2）已知“恒心函数”．
①当，时，此时的恒心值为______；
②若三个整数、、的和为12，且，求的最大值与最小值，并求出此时相应的、的值；
（3）恒心函数的恒心值为0，且恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）是，1；（2）①2；②a最大值为16，此时，；a最小值为4，此时，或，；（3）
【解析】
【分析】（1）根据“恒心函数”的定义即可判断；
（2）①根据，得到函数的图象恒在x轴的上方，即可求解；
②设，则，，构造关于x方程，分类讨论，根据根的判别式求解即可；
（3）由题意得恒成立，则，且，即，令整理即可求解．
【详解】解：（1），
∵，
∴，
∴函数是“恒心函数”，“恒心值”为；
（2）①对于“恒心函数”，
当，时，，
∴函数图象开口向上，与x轴有两个不同的交点，
即函数的图象恒在x轴的上方，
∴，
∴“恒心值”为；
②设，则，，
∴，
∴，
由题意知a、b、c为整数，则上述方程的解一定是有理数，
∴，，
∴，
当时，，，不是有理数，不符合题意；
当时，，，不是有理数，不符合题意；
当时，，，不是有理数，不符合题意；
当时，，，是有理数，
且，
∴a的最小值为4，此时，或，；
当时，，
解得：，
∴，；
综上，a的最小值为4，此时，或，；a的最大值为16，，；
（3）∵恒心值为0，
即恒成立，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
令（），
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了对新定义的阅读理解能力，考查了二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程根的判别式及根与系数关系等，准确理解新定义“恒心函数”，“恒心值”，熟练掌握二次函数等相关知识，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题关键．
25. 已知抛物线与x轴交于，与轴交于点．
（1）求抛物线对应的函数解析式；
（2）在轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点M为抛物线上一动点，在直线上是否存在点Q，使以点O、B、Q、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或或,或
（3）存在Q, ,，
【解析】
【分析】（1）运用二次函数交点式解析式，将点坐标代入求解；
（2）设，则，分三种情况讨论：①当时，②当时,③当时,分别构建方程求解；
（3）运用待定系数法确定直线的解析式为，设，分情况讨论： ①以为对角线，②以为对角线，③以为对角线，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，运用中点坐标构建方程求解．
【小问1详解】
根据题意，设解析式为，
与轴交于点，则，得
∴．
【小问2详解】
设，则
当为等腰三角形时，可分为以下几类：
① 当时，, 解得，此时P的坐标为
② 当时,，解得，不能和C重合，故此时P的坐标为
③ 当时,，解得或，此时P的坐标为
,或
综上，P的坐标为 或,或,或
【小问3详解】
存在Q；
设直线的解析式为，则
，解得
∴
设，
①以为对角线，要形成平行四边形，则
解得，
相应的，或
∴Q的坐标为,或 ,

②以为对角线，要形成平行四边形，则
，解得
相应的，或
∴点Q的坐标为，；
③以对角线，要形成平行四边形，则
，变形得，
此方程无解，故方程组无解，
∴不存在以为对角线的平行四边形．
综上，Q的坐标为, ,，
【点睛】本题考查待定系数法确定二次函数解析式，坐标系内两点间的距离，中点坐标求解，平行四边形的判定；由平行四边形的判定方法构建方程，用方程的思想解决函数问题是解题的关键．