(高考数学新题型)2024届湖南省长沙市部分中学高三下学期模拟(二)数学试卷
展开1.已知集合A={x∣−1
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查交并补混合运算,区间,属于基础题.
求出A∩B,A∪B,然后利用不等式性质、交集、并集、补集定义求解.
【解答】
解:由题意,A∩B=−1,1,A∪B=−2,2,所以∁A∪B(A∩B)=(−2,−1]∪[1,2).
故选:D.
2.已知z是虚数,z2+2z是实数,则z的( )
A. 实部为1B. 实部为−1C. 虚部为1D. 虚部为−1
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与计算,属于基础题.
设虚数z=a+bia,b∈R,b≠0,直接利用复数的运算求出结果.
【解答】
解:设虚数z=a+bia,b∈R,b≠0,
则z2+2z=(a+bi)2+2(a+bi)
=a2−b2+2a+2b(a+1)i,
而z2+2z是实数,
故2ba+1=0,得到a=−1.
故选:B.
3.设a,b为单位向量,a在b方向上的投影向量为−12b,则a−2b=( )
A. 2B. 3C. 5D. 7
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查投影向量,向量的模,属于基础题.
根据投影向量的定义,结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【解答】
解:因为a在b方向上的投影向量为−12b,
所以−12b=a⋅a⋅ba⋅b⋅bb⇒−12b=a⋅b⋅b⇒a⋅b=−12,
所以a−2b= a−2b2= a2+4b2−4a⋅b= 1+4−4×−12= 7,
故选:D.
4.若5个正数之和为2,且依次成等差数列,则公差d的取值范围是( )
A. 0,110B. −110,110C. 0,15D. −15,15
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质,属于基础题.
先求出a3=25,再由5个数均为正数,列d的不等式求解.
【解答】
解:设5个正数组成数列an,
则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=2,
∴a3=25,
则a1=25−2d>0a2=25−d>0a5=25+2d>0a4=25+d>0,解得−15
5.已知函数fx的部分图象如图所示,则函数fx的解析式可能为( )
A. fx=−2x2x−1B. fx=−2x2x+1C. fx=−2xx−1D. fx=−2xx2−1
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的识别,奇偶函数图象特征的应用,具体函数的定义域,属于基础题.
根据函数的奇偶性和定义域,利用排除法即可得解.
【解答】
解:由图可知,函数图象对应的函数为偶函数,对于C选项,f(−x)=−2−x|−x|−1=2x|x|−1=−f(x),所以C选项为奇函数,排除C;
由图可知,函数的定义域不是实数集,故排除B;
由图可知,当x→+∞时,y→−∞,
而对于D选项,当x→+∞时,y→0,故排除D.
对于A选项,f(−x)=−2(−x)2|−x|−1=f(x)=−2x2|x|−1,所以A选项为偶函数,A正确.
故选:A.
6.已知实数a>b>0,则下列选项可作为a−b<1的充分条件的是( )
A. a− b=1B. 1b−1a=12C. 2a−2b=1D. lg2a−lg2b=1
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查充分、必要、充要条件的判断,属于基础题.
利用特殊值判断A、B、D,根据指数函数的单调性可判断C.
【解答】
解:取a=4,b=1,满足 a− b=1,但是此时不满足a−b<1,故排除A;
取a=2,b=1,满足1b−1a=12,但是此时不满足a−b<1,故排除B;
取a=4,b=2,满足lg2a−lg2b=1,但是此时不满足a−b<1,故排除D;
由2a−2b=1,a>b>0,可得2a=2b+1<2b+1,即a故选:C.
7.若锐角α,β满足3csα+β=csαcsβ,则tanα+β的最小值为( )
A. 2 2B. 2 3C. 2 5D. 2 6
【答案】D
【解析】【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式得tanαtanβ,再由基本不等式求得tanα+β的最小值.
【详解】3csα+β=csαcsβ⇒3csαcsβ−3sinαsinβ=csαcsβ⇒tanαtanβ=23.
于是tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=3tanα+tanβ≥6 tanαtanβ=2 6,当且仅当tanα=tanβ= 63时取等号,
则tanα+β的最小值为2 6.
故选:D.
8.如图,在△ABC中,∠BAC=120∘,其内切圆与AC边相切于点D,且AD=1.延长BA至点E.使得BC=BE,连接CE.设以C,E两点为焦点且经过点A的椭圆的离心率为e1,以C,E两点为焦点且经过点A的双曲线的离心率为e2,则e1e2的取值范围是( )
A. 32,+∞B. 32,+∞C. 1,+∞D. 1,+∞
【答案】D
【解析】【分析】设内切圆与边BC,BE分别相切于点F,G,设CF=CD=EG=x,可得CE2=x2+3,结合椭圆和双曲线的定义可得e1e2=14x+3x,利用余弦定理求得x>3,结合对勾函数的单调性分析求解.
【详解】如图,设内切圆与边BC,BE分别相切于点F,G,
由切线长定理和△BCE的对称性,可设CF=CD=EG=x.
由AD=1,可得AC=x+1,AE=EG−AG=x−1.
在△ACE中,由余弦定理,CE2=(x+1)2+(x−1)2−2x+1x−1cs60∘=x2+3.
于是根据椭圆和双曲线的定义,e1e2=CEAC+AE⋅CEAC−AE=CE2AC2−AE2=x2+32x⋅2=14x+3x.
接下来确定x的取值范围.
设BF=BG=y,
在△ABC中,AC−x−1.AB=y+1,BC=x+y,
于是由余弦定理,(x+y)2=(x+1)2+(y+1)2−2x+1y+1cs120∘,
整理得xy−3x+y−3=0,于是y=3x+1x−3>0,故x>3,
又因为y=x+3x在3,+∞内单调递增,可知y=x+3x>3+31=4,
可得e1e2=14x+3x>1,所以e1e2的取值范围是1,+∞.
故选:D.
方法点睛:1.椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法:求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用a,c代换,求e的值;
2.焦点三角形的作用:在焦点三角形中,可以将圆锥曲线的定义,三角形中边角关系,如正余弦定理、勾股定理结合起来.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.某次数学考试后,为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩,整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况,计算得到这100名学生中,成绩位于80,90内的学生成绩方差为12,成绩位于90,100内的同学成绩方差为10.则( )参考公式:样本划分为2层,各层的容量、平均数和方差分别为: m,x,s12;n,y,s22.记样本平均数为ω,样本方差为s2,s2=mm+ns12+(x−ω)2+nm+ns22+(y−ω)2
A. a=0.004
B. 估计该年级学生成绩的中位数为77.14
C. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50
D. 估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查频率分布直方图,考查平均数、中位数及方差,属于中档题.
根据频率分布直方图结合平均数、中位数及方差定义逐项求解判断即可.
【解答】
解:由图可知,(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,解得a=0.005;
[50,70]频率为5×0.005×10=0.25<0.5,
[50,80]频率为12×0.005×10=0.6>0.5,
则中位数在[70,80]内,设中位数为x,
则0.25+(x−70)×7×0.005=0.5,解得x≈77.14;
成绩在80分及以上的同学的成绩的平均数为 34×85+14×95=87.5 分,
方差为 34×12+87.5−852+14×10+87.5−952=30.25 .
故选BCD.
10.在菱形ABCD中,AB=2 3,∠ABC=600,将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为θ(0∘<θ<180∘)的二面角B−AC−D,若折成的四面体ABCD内接于球O,则下列说法正确的是( )
A. 四面体ABCD的体积的最大值是3 3
B. BD的取值范围是3 2,6
C. 四面体ABCD的表面积的最大值是12+6 3
D. 当θ=600时,球O的体积为52 3927π
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查球的切、接问题,棱锥的表面积和体积,二面角,点面距离(几何法),线面垂直的判定与性质,利用余弦定理解三角形,属于难题.
分析得出θ=90∘时,四面体ABCD的体积取得最大值,利用棱锥的体积公式可判断A选项的正误;利用余弦定理求出BD的的取值范围,可判断B选项的正误;分析得出∠BAD=90∘时,四面体ABCD的表面积取得最大值,可判断C选项的正误;分析得出球O的球心位置,进而求出球O的半径和体积,可判断D选项的正误.
【解答】
解:对于A,因为AC=AB=AD=CD=2 3,∠ABC=∠ADC=60∘,
所以△ABC和△ACD是正三角形,
取AC的中点O1,连接O1B、O1D,则O1B⊥AC,O1D⊥AC,
则O1B=O1D=2 3sin60∘=3,
此时∠BO1D为二面角B−AC−D的平面角,即∠BO1D=θ,
设点B到平面ACD的距离为d,则d=O1Bsinθ=3sinθ,
则S△ACD=12AC×O1D=12×3×2 3=3 3,
故VB−ACD=13dS△ACD=13×3sinθ×3 3=3 3sinθ,
当θ=90∘时,四面ABCD的体积取得最大值3 3,故A正确;
对于B,在△BO1D中,O1B=O1D=3,∠BO1D=θ,
由余弦定理得BD2=O1B2+O1D2−2O1B×O1Dcsθ,即BD2=18−18csθ,
因为−1
所以S△ABD=S△BCD=12AB×ADsin∠BAD=6sin∠BAD≤6,
又因为S△ABC=S△ACD=3 3,
所以四面体ABCD的表面积的最大值是6×2+3 3×2=12+6 3,故C正确;
对于D,当θ=60∘时,△BO1D是边长为3的等边三角形,
设点O为△BO1D的外心,连接O1O交BD于点E,则点E为BD的中点,连接AO,
因为O1B⊥O1A,O1D⊥O1A,O1B∩O1D=O1,O1B、O1D⊂平面BO1D,
所以O1A⊥平面BO1D,因为OD⊂平面AO1E,所以O1A⊥OD,
又因为O1B⊥OD,O1A∩O1B=O1,O1A、O1B⊂平面ABC,所以OD⊥平面ABC,
同理可得OB⊥平面ACD,所以球心O在△BO1D的边BD的中线O1E上,
AO1= 3,BE=32,O1E=3 32,
设球O的半径为R,则OO1= R2−AO12,OE= R2−BE2,
由OO1+OE=O1E,可得 R2−3+ R2−94=3 32,解得R= 393,
所以球O的体积为43πR3=43π( 393)3=52 3927π,故D正确.
故选:ACD.
11.已知函数fx及其导函数f′x的定义域均为R,记gx=f′x.若fx满足f2+3x=f−3x,gx−2的图象关于直线x=2对称,且g0=1,则( )
A. gx是偶函数B. gx=gx+4
C. fx+f−x=0D. k=12024gk2=0
【答案】ABD
【解析】【分析】推导出函数g(x)的奇偶性,设h(x)=f(x)+f(−x),利用导数推导出h(x)=f(x)+f(−x)为常值函数,结合函数奇偶性的定义可判断A选项;推导出g(x+2)+g(−x)=0,令x=−1代值计算可判断B选项;由f(x)+f(−x)=C、f(x+2)=f(−x)推导可判断C选项;求出∑8k=1g(k2)的值,结合函数的周期性可判断D选项.
【详解】对于A选项,因为函数g(x−2)的图象关于直线x=2对称,
则g2−x−2=g2+x−2,
即g−x=gx,所以,函数gx为偶函数,故A正确;
对于B选项,因为f2+3x=f−3x,令t=3x,可得ft+2=f−t,即fx+2=f−x,
对等式fx+2=f−x两边求导得f′x+2=−f′−x,即gx−2+g−x=0,
故gx+2+gx=0,所以gx+4=−gx+2=gx,故B正确;
对于C选项,因为gx=f′x,则f′−x=f′x,
令hx=fx+f−x,则h′x=f′x−f′−x=0,所以,hx为常值函数,
设hx=fx+f−x=C,其中C为常数,
当C≠0时,f−x=C−fx≠−fx,故C错误;
对于D选项,因为gx+2⊥g−x=gx+2+gx=0,所以,g1=0,g32+g12=0.
g2+g0=g2+1=0,可得g2=−1,
g52+g72=g−32+g−12=g32+g12=0,g3=g3−4=g−1,
由gx+2+g−x=gx+2+gx=0,令x=1,可得g3+g1=0,则g3=0,g4=g0=1,
所以g12+g1+g32+g2+g52+g3+g72+g4=g1+g2+g3+g4=0−1+0+1=0,
因为2024=8×253,则k=12024gk2=253k=18gk2=0,故D正确.
故选:ABD.
结论点睛:本题考查抽象函数的对称性与周期性,一般可根据如下规则判断:
(1)若对任意的实数x,满足fx=fx+a,则函数fx的周期为a;
(2)若对任意的实数x,满足fx+b=f−x+a,则函数fx关于直线x=a+b2对称;
(3)若对任意的实数x,满足fx+b=−f−x+a,则函数fx关于点a+b2,0对称.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知直线l是圆O:x2+y2=1的切线,点A−2,1和点B0,3到l的距离相等,则直线l的方程可以是___________.(写出一个满足条件的即可)
【答案】x−y− 2=0,x−y+ 2=0,3x+4y−5=0,x=−1(写出一个满足条件的即可)
【解析】【分析】当l//AB时设l的方程为y=x+b,利用圆心到直线的距离等于半径求出b,若l经过AB的中点−1,1,分斜率存在与斜率不存在两种情况讨论,分别求出切线方程,即可得解.
【详解】若l//AB,此时l的斜率为3−10−−2=1.
设l的方程为y=x+b,则点O到l的距离b 2=1,解得b=± 2,
因此l的方程为x−y− 2=0或x−y+ 2=0.
若l经过AB的中点−1,1,
当l的斜率不存在时,此时l的方程为x=−1,满足与圆O:x2+y2=1相切;
当l的斜率存在时,设其方程为y=kx+1+2,
则点O到直线l的距离k+2 k2+1=1,解得k=−34,此时直线l的方程为3x+4y−5=0.
故答案为:x−y− 2=0,x−y+ 2=0,3x+4y−5=0,x=−1(写出一个满足条件的即可).
13.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出,后被拉格朗日等数学家证明.四平方和定理的内容是:任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和,例如正整数6=22+12+12+02.设25=a2+b2+c2+d2,其中a,b,c,d均为自然数,则满足条件的有序数组a,b,c,d的个数是__________.(用数字作答)
【答案】28
【解析】【分析】
本题考查排列问题以及分类加法计数原理,属于中档题.
先分类讨论四个数的组成,再由排列数公式与计数原理求解即可.
【解答】
解:显然a,b,c,d均为不超过5的自然数,下面进行讨论:
最大数为5的情况:
①25=52+02+02+02,此时共有A41=4种情况.
最大数为4的情况:
②25=42+32+02+02,此时共有A42=12种情况.
③25=42+22+22+12,此时共有A42=12种情况.
当最大数为3时,32+32+22+22>25>32+32+22+12,没有满足题意的情况.
由分类加法计数原理可知,满足条件的有序数组a,b,c,d的个数是4+12+12=28.
故答案为:28.
14.若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为1, 3,2,且该三棱台的所有顶点都在球O的表面上,则球O的表面积为__________.
【答案】112π
【解析】【分析】
本题考查正三棱台外接球的表面积计算,考查分类讨论思想.
设正三棱台ABC−A1B1C1,先观察正三棱台的一个侧面ABB1A1,设AB
(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;
(2)作截面:选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系),达到空间问题平面化的目的;
(3)求半径下结论:根据作出截面中的几何元素,建立关于球的半径的方程,并求解.
【解答】
解:设正三棱台ABC−A1B1C1.如图,先观察正三棱台的一个侧面ABB1A1.
设AB
若一边长1,一边长 3,则△AA1B变为直角三角形;
若两边长均为 3,则A1B1的长只能为1,与AB
设三棱台的上底面中心为D,下底面中心为D1.
如图,在直角梯形ADD1A1中求球O的半径,
在直角梯形ADD1A1中,求得AD= 33,A1D1=2 33,DD1= 63,
设球O的半径为R,OD1=x,x>0,
由图1 得R2=x2+2 332= 63−x2+ 332,
解得x=− 612,R2=118(舍),
由图2得R2=x2+2 332= 63+x2+ 332,解得x= 612,R2=118,
故球O的表面积为4πR2=112π.
故答案为:112π.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形,∠ABC=60∘,BD1⊥平面A1C1D.
(1)求四棱柱ABCD−A1B1C1D1的体积;
(2)设点D1关于平面A1C1D的对称点为E,点E和点C1关于平面α对称(E和α未在图中标出),求平面A1C1D与平面α所成锐二面角的大小.
【答案】解:(1)
在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,连B1D1∩A1C1=O,由菱形A1B1C1D1,得OC1⊥OD1,令AA1=a,
以O为坐标原点,直线OC1,OD1分别为x,y轴,过O平行于AA1的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
则点C1(1,0,0),D1(0, 3,0),B(0,− 3,a),D(0, 3,a),BD1=(0,2 3,−a),C1D=(−1, 3,a),
由BD1⊥平面A1C1D,C1D⊂平面A1C1D,得BD1⊥C1D,则BD1⋅C1D=6−a2=0,解得a= 6,
所以四棱柱的体积V=SA1B1C1D1⋅AA1=2S△A1B1C1⋅a=2× 34×22× 6=6 2.
(2)
由(1)知,B(0,− 3, 6),BD1=(0,2 3,− 6),
由BD1⊥平面A1C1D,点D1关于平面A1C1D的对称点为E,则点E在线段BD1上,且C1E=C1D1=2,
设Ex,y,z,BE=λBD1(0<λ<1),则x,y+ 3,z−a=λ0,2 3,−a,
所以E(0,(2λ−1) 3,(1−λ) 6),C1E=(−1, 3(2λ−1), 6(1−λ)),
于是C1E2=12+3(2λ−1)2+6(1−λ)2=4,解得λ=13,则E(0,− 33,2 63),
由点E和点C1关于平面α对称,得C1E=(−1,− 33,2 63)是平面α的一个法向量,
又BD1=(0,2 3,− 6)是平面A1C1D的一个法向量,
因此|cs⟨BD1,C1E⟩|=|BD1⋅C1E||BD1||C1E|=|− 33×2 3− 6×2 63|3 2×2= 22,
所以平面A1C1D和平面α所成锐二面角的大小为π4.
【解析】【分析】(1)连B1D1∩A1C1=O,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,借助向量垂直的坐标表示求出四棱柱的高,进而求出体积.
(2)利用对称求出点E的坐标,进而求出平面A1C1D与平面α的法向量,再借助面面角的向量求法求得结果.
16.(本小题15分)
记Sn为数列an的前n项和,已知na1+n−1a2+⋯+an=2Sn−1.
(1)证明:数列Sn是等比数列;
(2)求最小的正整数m,使得m≥1a1+2a2+⋯+nan对一切n∈N*都成立.
【答案】解:(1)
由题知na1+n−1a2+⋯+an=2Sn−1,
用n+1替换上式的n,得n+1a1+na2+⋯+an+1=2Sn+1−1.
两式作差,a1+a2+⋯+an+an+1=Sn+1=2Sn+1−2Sn,即Sn+1=2Sn.
而由1×a1=2S1−1,可得S1=1≠0.
从而Sn是首项为1,公比为2的等比数列.
(2)
由(1)得Sn=2n−1,于是an=Sn−Sn−1=2n−2,n≥21,n=1,
设Tn=1a1+2a2+⋯+nan,则T1=1,
当n≥2时,Tn=1+2×20+⋯+n×22−n,故12Tn=12+2×2−1+⋯+n×21−n,
两式作差,得12Tn=52+2−1+2−2+⋯+22−n−n×21−n=52+2−11−22−n1−2−1−n×21−n.
整理可得Tn=7−n+2×22−n.
故Tn<7,又T5=498>6,因此满足条件的最小正整数m为7.
【解析】【分析】(1)用n+1替换已知,再与已知作差,得到Sn+1=2Sn,即可得证;
(2)由(1)可得an=Sn−Sn−1=2n−2,n≥21,n=1,利用错位相减法求出Tn=1a1+2a2+⋯+nan=7−n+2×22−n,进而得到结果.
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右顶点为(2,0),离心率为 32,P是直线x=4上任一点,过点M(1,0)且与PM垂直的直线交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线PA,PM,PB的斜率分别为k1,k2,k3,问:是否存在常数λ,使得k1+k3=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)由题知a=2,e=ca= 32,
∴c= 3,b2=a2−c2=1,
∴椭圆方程为x24+y2=1.
(2)假设存在常数λ,使得k1+k3=λk2.
当直线AB的斜率不存在时,直线AB的方程为x=1,代入椭圆方程得A(1, 32),B(1,− 32),
此时P(4,0),易得k1+k3=0=k2;
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x−1),A(x1,y1),B(x2,y2),
代入椭圆方程得(1+4k2)x2−8k2x+4k2−4=0,
可知:Δ>0,
∴x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2−41+4k2,
直线PM方程为y=−1k(x−1),则P(4,−3k),
则k2=−1k,
k1=y1+3kx1−4,k3=y2+3kx2−4,
由k1+k3=λk2,
得y1+3kx1−4+y2+3kx2−4=λ(−1k),
即(y1+3k)(x2−4)+(y2+3k)(x1−4)(x1−4)(x2−4)=−λk,
化简得:x1y2+x2y1+3k(x1+x2)−24k−4y1+y2x1x2−4(x1+x2)+16=−λk,
将x1+x2=8k21+4k2,x1x2=4k2−41+4k2,y1=k(x1−1),y2=k(x2−1),代入并化简得:−2k=−λk,
∴λ=2;
综上:存在常数λ=2,使得k1+k3=2k2.
【解析】本题考查直线与椭圆的位置关系,计算量较大,属于较难题.
(1)根据题意,可得a=2,e=ca= 32,即可得出椭圆的方程;
(3)根据题意,对直线AB的斜率是否存在进行讨论,进行求解即可.
18.(本小题17分)
某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼,也可选择不锻炼,一天最多锻炼一次,一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为12,每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为X,已知X的分布列如下:(其中a>0,0
(1)记事件Ai表示王同学假期三天内去运动场锻炼i次i=0,1,2,3,事件B表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当p=12时,试根据全概率公式求PB的值; 令h′p<0,得0 0,得45 则hp在0,45上单调递减,在45,1上单调递增,所以hp的最小值为h(p)min=h45=1825>0, P(M)×P(N)−P(NM),
(2)是否存在实数p,使得EX=53?若存在,求p的值:若不存在,请说明理由;
(3)记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”,N表示事件“王同学去甲运动场锻炼”,0
【答案】解:(1)当p=12时,P(A0)=a4,P(A1)=2a,P(A2)=a,P(A3)=a2,
则a4+2a+a+a2=1,解得a=415,
由题意得P(B|A1)=C11×12=12,P(B|A2)=C22(12)2=14,P(B|A3)=C32(12)3+C33(12)3=12,
由全概率公式可得P(B)=i=13P(B|Ai)P(Ai)=12×2a+14×a+12×a2=a+a4+a4=32a=32×415=25;
(2)由ap+a+a1−p+a(1−p)2=1,得1a=p2−3p+1p+3,
假设存在p,使EX=ap+2a+3a1−p=53,
将上述两式左右分别相乘,得1p+5−3p=5p23−5p+53p+5,化简得5p3−6p2+2=0,
设hp=5p3−6p2+2,0
所以不存在实数p使得h(p)=0,
即不存在实数p,使得EX=53.
(3)由题知P(N|M)>P(N|M),所以P(NM)P(M)>P(NM)P(M)=P(N)−P(NM)1−P(M),
因为0
故PNM>PNPM,
所以PNM−PNPNM>PNPM−PNPNM,
即PNM⋅PN>PN⋅PNM,
所以P(NM)P(N)>P(NM)P(N),即P(M∣N)>P(M∣N),证毕.
【解析】本题考查全概率公式,离散型随机变量的分布列及期望,条件概率的概念与计算,属于较难题.
(1)根据离散型随机变量的分布列可求得a=415,再计算出PB∣Ai,(i=1,2,3),代入全概率公式计算即可;
(2)先由i=03P(Ai)=1得到1a=p2−3p+1p+3,再结合EX=ap+2a+3a1−p=53,消去a得出方程5p3−6p2+2=0,分析函数hp=5p3−6p2+2得其最小值大于零,方程无解,即不存在p值,使得EX=53;
(3)由题意得P(N∣M)>P(N∣M),运用条件概率公式化简得PNM>PNPM,再两边同减PNPNM构造出PNM⋅PN>PN⋅PNM,整理即可证明PM∣N>PM∣N.
19.(本小题17分)
已知函数fx=sinωx+φ(ω>0,0<φ<π),满足f0=fπ4=−fπ2,且fx在区间π4,π2上无极值点.
(1)求fx的单调递减区间;
(2)当x1,x2∈t,t+π4t∈R时,设fx1−fx2的最大值为Ft,求Ft的值域;
(3)把曲线y=fx向左平移7π8个单位,再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变.得到曲线y=gx.设函数φx=x−kgxk∈R,将φx在区间−π2,+∞上的极值点按从小到大的顺序排列成数列xn.若φx1+φx2=0,求实数k的值.
【答案】解:(1)
由题设知直线x=π8是fx的一条对称轴,点3π8,0是fx的一个对称中心,
所以fx的最小正周期T满足3π8−π8=T4,故T=π,从而ω=2πT=2,
令2×π8+φ=π2+kπ,得φ=π4+kπk∈Z,
结合0<φ<π知φ=π4,故fx=sin2x+π4,
令π2+2kπ≤2x+π4≤3π2+2kπ,得fx的单调递减区间为π8+kπ,5π8+kπk∈Z.
(2)
由题意知Ft的值域就是fx在区间t,t+π4上最大值与最小值之差的取值范围.
①若fx的对称轴在区间t,t+π4内,不妨设对称轴x=π8在t,t+π4内,则fx的最大值为1,当ft+π4=ft,即fπ4=f0= 22时,Ft的最小值为1− 22=2− 22;
②若fx的对称轴不在区间t,t+π4内,则fx在区间t,t+π4内单调,在两端点处取得最大值与最小值,则
Ft=ft+π4−ft=sin2t+π2+π4−sin2t+π4
=cs2t+π4−sin2t+π4= 2sin2t+π4−π4= 2sin2t≤ 2
故函数f(x)=sin (2x+π4)在区间t,t+π4上的最大值与最小值之差的取值范围为2− 22, 2.
综上所述,Ft的值域为2− 22, 2.
(3)
由题设可求得gx=sinx,φx=x−ksinx,
当−π2
此时,当−π2
同理,存在唯一x′0∈π2,3π2,使得tanx′0+x′0=k.
此时,当π2
同理,φx2=−sin2x2csx2=csx2−1csx2.
由φx1+φx2=0,整理得:csx1+csx21−1csx1csx2=0.
又−π2
所以x1=−x2−π,即x1+x2=π ,则k=x1+tanx1+x2+tanx22=π2.
综上所述,k=π2.
【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质以及导数的综合应用,属于难题.
(1)直接利用函数的对称轴和函数的最小正周期求出函数的关系式,进一步利用整体思想求出函数的单调递减区间;
(2)利用三角函数的关系式的变换和函数的性质求出函数的值域;
(3)利用三角函数的求导和函数的单调性的关系求出实数k的值.
X
0
1
2
3
P
a(1−p)2
ap
a
a1−p
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