第40练 圆与圆的位置关系及圆的综合性问题（精练）-【一轮复习讲义】2025年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．圆与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相交C．内切D．外切
【答案】B
【分析】根据两圆圆心距离与半径和差的关系判断即可.
【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，
则两圆圆心距离为，两圆半径之差为，两圆半径之和为，
因为，所以两圆相交.
故选：B.
2．已知圆：和：，则两圆的位置关系是（ ）
A．内切B．外切C．相交D．外离
【答案】B
【分析】根据两圆的圆心距与两圆半径和差的比较即可判断两圆位置关系.
【详解】因为圆：的圆心，半径为，
圆：即的圆心，半径为，
所以两个圆的圆心距，又两个圆的半径和为，
所以圆与圆的位置关系是外切.
故选：B.
3．圆与圆的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】根据两圆的位置关系即可求解.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为2.
圆与圆的圆心距为3，等于两个圆的半径之和，所以圆与圆外切，故圆与圆的公切线有3条.
故选：C
4．圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（ ）
A．B．C．3D．3或
【答案】D
【分析】根据题意，联立两个圆的方程，可得两圆的公共弦所在的直线的方程，由直线的方程可得该直线与,轴交点的坐标，进而可得，解可得的值，即可得答案．
【详解】根据题意，圆与圆，
即，两式相减可得：，
即两圆的公共弦所在的直线的方程为，
该直线与轴的交点为，与轴的交点为，
若公共弦所在的直线和两坐标轴所围成图形的面积为2，则有，
变形可得：，
解可得：或；
故选：D
5．圆关于点对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求得圆心关于点的对称点的坐标，由此求得对称圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于点的对称点为，
所以对称圆的方程为.
故选：A
6．已知在圆上恰有两个点到原点的距离为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求得的取值范围.
【详解】圆的圆心为，半径为，
依题意可知，以原点为圆心，半径为的圆，与圆相交，
，所以，
即，所以.
故选：C
7．圆与圆相交于两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出相交弦所在直线的方程，然后根据圆的弦长的求法求解即可.
【详解】由圆与圆，
将两圆方程相减整理得直线的方程：，
又，即，
圆心为，半径为，
所以到直线的距离为，
所以.
故选：B.
8．若圆与圆有公共点，则满足的条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系求得正确答案.
【详解】由得，圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
两圆圆心距为，
由于两圆有公共点，所以，解得，
所以.
故选：D
9．已知圆与圆相交，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据两圆相交时圆心距和半径的关系列不等式，然后解不等式即可.
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为.
依题意可得，即，解得.
故选：D.
10．已知圆和圆，其中，则使得两圆相交的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系求参数范围，结合充分、必要性定义确定答案即可.
【详解】由且半径，且半径，结合a大于0，
所以时，两圆相交，则，
由选项可得A选项为的充要条件；
B、D选项为的必要不充分条件；
C选项为的充分不必要条件；
故选：C
11．已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.
【详解】由圆，则其圆心，半径为，
设动圆的圆心为，半径为，
由圆在圆的内部与其相切，则，
由圆过点，则，即，
所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，
，所以其轨迹方程为.
故选：D.
12．已知两圆相交于两点，，且两圆圆心都在直线上，则的值为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】D
【分析】根据两圆的相交性质进行求解即可.
【详解】由直线的方程可知该直线的斜率为，
直线的斜率为，线段的中点坐标为，
因为两圆相交于两点，，且两圆圆心都在直线上，
所以有，
故选：D
13．已知圆：和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可得圆：与圆：（）位置关系为相交、内切或内含即可满足题意，进而求得a的值.
【详解】圆：的圆心，半径为，
因为圆上至少存在一点，使得，
所以圆：与圆：（）位置关系为相交、内切或内含，如图所示，
或 或
所以，
又因为，所以，即.
故选：B.
14．已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】分别求得圆的圆心坐标和半径，求得，结合图象，得，即可求解.
【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，
圆，可得圆心，半径为，
可得圆心距，
如图，，
所以，
当共线时，取得最小值，
故的最小值为.

故选：B
二、多选题
15．已知两圆，直线，则（ ）
A．圆的面积为B．圆的圆心为
C．圆与直线相切D．圆与圆外切
【答案】AD
【分析】由圆的一般方程写出圆的圆心与半径，运用几何法比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断直线与圆的位置关系，比较两圆心距与两圆的半径之和、半径之差的绝对值的大小来判断圆与圆的位置关系.
【详解】解：对于选项A，由题意得，圆的半径为3，所以圆的面积为，故选项A正确；
对于选项B，∵圆：，即：，
∴圆的圆心为，半径，故选项B错误；
对于选项C，由题得，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线l的距离为：，则 ，所以圆与直线相交，故选项C错误；
对于选项D，由题得，，所以圆与圆外切，故选项D正确.
故选：AD.
16．已知圆与圆，下列说法正确的是（ ）
A．与的公切线恰有4条
B．与相交弦的方程为
C．与相交弦的弦长为
D．若分别是圆上的动点，则
【答案】BD
【分析】由根据两圆之间的位置关系确定公切线个数；如果两圆相交，进行两圆方程的做差可以得到相交弦的直线方程；通过垂径定理可以求弦长；两圆上的点的最长距离为圆心距和两半径之和，逐项分析判断即可.
【详解】由已知得圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
，
故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；
做差可得与相交弦的方程为
到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，故C错误；
若分别是圆上的动点，则，故D正确.
故选：BD
17．已知圆：与圆：有四条公切线，则实数的取值可能是（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】ACD
【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相离，利用圆心距大于半径之和求出参数的取值范围.
【详解】解：由圆和的方程可知，
圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，
两圆圆心距，则，
解得或，即，
所以实数的取值可以是，，，不能是.
故选：ACD.
18．已知点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．两圆外离B．的最大值为9
C．的最小值为1D．两个圆的一条公切线方程为
【答案】ABC
【分析】将两圆的方程化为标准方程，求出两圆的圆心和半径，再逐项分析.
【详解】圆的圆心坐标，半径，
圆，即的圆心坐标，半径，
所以圆心距，
因为，所以两圆外离．故A正确；
因为在圆上，在圆上，所以，故B、C正确；
因为圆心到直线的距离，所以不是两圆公切线，故D错误；
故选：ABC．
19．已知圆和圆，则下列结论正确的是（ ）
A．圆与圆外切
B．直线与圆相切
C．直线被圆所截得的弦长为2
D．若分别为圆和圆上一点，则的最大值为10
【答案】ACD
【分析】利用配方法，根据两圆相切、圆的切线性质、垂径定理、两圆的位置关系逐一判断即可.
【详解】圆化为，圆心坐标为，半径为2，
圆化为，圆心坐标为，半径为3.
因为两个圆的圆心距为，等于两个圆半径的和，所以两个圆外切，正确.
圆的圆心到直线的距离为，所以直线与圆不相切，错误.
圆的圆心到直线的距离为，直线被圆所截得的弦长为，C正确.
若分别为圆和圆上一点，则的最大值为，正确.
故选：ACD
20．点在圆上，点在圆上，则（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为7
C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆相交
【答案】ABC
【分析】根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心分别为、，半径分别为、r=1；根据两点间距离公式求出圆心距，与两圆半径之和或半径之差比较即可判断两圆的位置关系，判断选项D；的最小值为可判断A；的最大值为可判断B；根据经过两点直线斜率计算公式即可计算经过两圆圆心的直线斜率，从而判断C.
【详解】根据题意，圆，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，圆心距>R+r，故两圆外离，故D错误；
则的最小值为，最大值为，故A正确，B正确；
对于C，两个圆心所在的直线斜率，故C正确.
故选：ABC.
三、填空题
21．圆：，圆：，则圆与圆的位置关系是 ．（选择以下答案填空：“相离”，“外切”，“相交”，“内切”，“内含”）
【答案】内切
【分析】首先计算两圆圆心之间的距离，利用圆心距与两圆半径作比较即可判断.
【详解】由题意可得圆：的圆心为，半径；
圆：的圆心为，半径，
两圆圆心距，
因为，所以两圆内切，
故答案为：内切
22．已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为 .（写出一个即可）
【答案】1（2,3均可）答案不唯一
【分析】根据题意，由已知利用圆与圆的位置关系即可求解.
【详解】由题意得，圆与圆有公共点，
∴，∴，且，
解得；故，2，3均可.
故答案为：1（2,3均可）
23．已知圆与圆外切，此时直线被圆所截的弦长为 ．
【答案】
【分析】根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得，接着计算到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果.
【详解】由题意可得：，
即圆的圆心为，半径为，
即圆心到直线的距离为，
故所截弦长为．
故答案为：
24．已知圆，圆，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数 .
【答案】或0
【分析】根据题意，分两圆内切与外切，即可得到结果.
【详解】∵两个圆有且只有一个公共点，∴两个圆内切或外切，
当两圆内切时，可得，
当两圆外切时，可得，
∴或0.
故答案为：或0
25．过点作圆C：的两条切线，设切点分别为A，B，则直线AB的方程为 .
【答案】
【分析】求出以MC为直径的圆的方程，可得AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，两圆方程相减可得答案.
【详解】可化为：，
∴圆心为，半径为，
∴MC的中点为，，
以MC为直径的圆的方程为：，
即
∵，，
∴M，A，C，B四点共圆，
∴AB的方程为两圆的公共弦所在的直线方程，
两圆方程相减得直线AB的方程为.
故答案为：.
26．已知圆C满足下列条件：①圆心C在第三象限；②与圆外切；③圆C的一条切线方程为，则圆C的标准方程可能是 .（写出一个即可）
【答案】(答案不唯一，但圆心坐标需满足，)
【分析】设所求圆的圆心和半径，根据条件得到关于的方程组，即可求解.
【详解】设圆心坐标为，由①可知，半径为，
由②③可知，整理可得，
当时，，，所以其中一个同时满足条件①②③的圆的标准方程是.
故答案为：．
27．已知点，，若圆上有且只有一点，使得，则实数的一个取值为 .（写出满足条件的一个即可）
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据题意，分析圆的圆心坐标以及半径，设中点为，由的坐标分析的坐标以及的值，可得以为直径的圆，进而分析，原问题可以转化为圆与圆相切，结合圆与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由题知，圆，
即，圆心为，半径，
设中点为，因，，
则，，
以为直径的圆为，
因为圆上有且只有一点，使得，
则圆与圆相切，
又，
即有或，
解得或.
故答案为：
28．若且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】首先根据题意得到圆与圆内切，从而得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为3.
因为圆和圆只有一条公切线，
所以圆与圆内切，所以，即，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为4．
故答案为：4
四、解答题
29．判断下列两个圆的位置关系：
(1)与；
(2)与．
【答案】(1)外切
(2)相交
【分析】（1）求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解；
（2）化简两圆为标准方程，求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解.
【详解】（1）解：由圆与，
可得两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和，
可得两个圆的圆心距，所以，
所以两个圆外切．
（2）解：将两个圆的方程都化为标准方程，可得，，
则两圆的圆心坐标分别为，半径分别为和，
可得两个圆的圆心距，
因为，所以两个圆相交．
30．已知圆，.
(1)求过两圆交点的直线方程；
(2)求过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）两圆方程直接作差即可整理得到所求直线方程；
（2）将过两圆交点的直线方程与圆的方程联立可得交点坐标；采用待定系数法，代入交点坐标和圆心所满足的直线方程可构造方程组求得圆心和半径，由此可得圆的方程.
【详解】（1）将两圆方程作差得：，即，
过两圆交点的直线方程为.
（2）由得：或，
即两圆交点的坐标为和；
设过两圆交点的圆的方程为，
则，解得：，
过两圆交点的圆的方程为.
31．圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点.
(1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程；
(2)若圆与圆相交于E，F两点，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据题意得到，从而得到，再利用点斜式求解直线方程即可.
（2）首先根据题意得到公共弦方程为，再求弦长即可.
【详解】（1）如图所示：
，
因为弦AB被平分，所以，即.
所以直线为，即.
（2）.
原点到直线的距离.
则.
32．已知圆
(1)若直线过定点，且与圆C相切，求直线的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）由点到直线的距离等于半径，即可分情况求解，
（2）由两圆外切圆心距与半径之和的关系，即可列方程求解.
【详解】（1）圆
化为标准方程为，
所以圆C的圆心为，半径为
①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意．
②若直线的斜率存在，设直线的方程为即
由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，
所以，即，
解得，所以直线方程为
综上，所求直线的方程为或
（2）依题意，设
又已知圆C的圆心为，半径为2，
由两圆外切，可知，
所以，
解得或所以或，
所以所求圆D的方程为或
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．已知点，若圆O：上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意知，A在圆O 上，PA中点也在圆上，根据中点位置列出方程式解得中点的轨迹为，然后根据两圆的位置关系求得a的取值范围.
【详解】设A的坐标为，PA的中点坐标为，
则有：，
解得：，
又线段PA中点也在圆上，所以两圆有公共点，
所以，
解得：，
解得：，
故选：B.
2．在直角坐标系内，已知是以点为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A分别与圆上不相同的两点（异于点A）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使得，其中点、，则的最大值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】利用圆的性质先确定圆，结合向量数量积得出三点共圆，再利用两圆的位置关系数形结合即可.
【详解】由题意可得圆心在两折痕方程上，联立方程得，
即圆心，半径，，即三点共圆，
该圆以为直径，故圆心为原点.

如图所示连接交圆C于B点，当重合时此时两圆相内切，最大，
即.
故选：B
3．已知圆C：，若点P在直线上运动，过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，则直线过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出的圆心和半径，由几何关系得到四点共圆，设，得到的圆的方程，与相减后得到直线的方程，求出直线过定点坐标.
【详解】圆C：①的圆心为，半径为2，
过点P作圆C的两条切线，，切点分别为A，B，故四点共圆，
其中的中点为该圆心，为直径，
设，则的中点为，
，
故过的圆的方程为，
变形得到②，
由①②相减可得直线的方程，即，
整理得，
令，解得，
故直线过定点坐标.
故选：D
4．圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.
【详解】由两圆方程得：圆心，，半径，
两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条；
两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行，
经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：，
，解得：或，即公切线方程为：或；
，与平行的公切线方程为，即，
，解得：，即公切线方程为或；
综上所述：两圆的公切线方程为：或或或.
故选：C.
5．已知：，：，则下列说法中，正确的个数有（ ）个.
（1）若在内，则；
（2）当时，与共有两条公切线；
（3）当时，与的公共弦所在直线方程为；
（4），使得与公共弦的斜率为.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据点与圆的位置关系判断方法判断（1）；利用两圆的位置关系判断（2）；
通过判断圆与圆的位置关系确定与的公共切线的条数，通过将两圆方程相减，
确定两圆的公共弦的方程，判断（3）（4）.
【详解】因为：，：，
所以：，：，
则，，，，则，
由在内，可得，即，故（1）错误；
当时，，，，，
所以，所以两圆相交，共两条公切线，故（2）正确；
当时，：，：，两圆相交
由，得：，即故（3）正确；
公共弦所成直线的斜率为，令，无解，故（4）错误.
故选：B.
6．在平面直角坐标系xOy中，圆O：与圆M：相交于A，B两点，若对于直线AB上的任意一点P，均有成立，则半径r的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可知与直线AB位置关系，利用圆与圆的位置关系即可得出r的范围．
【详解】圆O的圆心为，半径为r，圆M的圆心为半径为2．
∴ ，
∵圆O与圆M相交，
∴．
∵对于直线AB上任意一点P，均有成立，
又，当直线AB过点M时，．
∴．
故答案为：．
7．若圆与圆的公共弦长为，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出方程，解方程即可.
【详解】圆与圆两式相减，
整理得公共弦所在直线方程为，
又，圆心为，半径为2，公共弦长为，
则圆心到直线的距离
，
化简得，
解得：．验证知符合题意.
故选：A.

8．已知圆与圆，则“”是“圆与圆外切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两圆相切圆心距与两半径之和相等，分别证明充分性和必要性是否成立即可得出答案.
【详解】根据题意将圆化成标准方程为；
易知，
所以可得圆心，半径为，圆心，半径为，
可得，两半径之和；
若，圆心距，两半径之和，此时，
所以圆与圆外切，即充分性成立；
若圆与圆外切，则，解得或（舍），
所以必要性成立；
即“”是“圆与圆外切”的充分必要条件.
故选：C
9．已知集合，若恰有一个元素，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据恰有一个元素，得到两圆只有一个公共点，分两圆相外切和内切求解.
【详解】解：，即，
则该圆的圆心为，半径为，
，即，
由题意可知集合表示圆，则该圆的圆心为，，半径为，
又圆心距为，且恰有一个元素，
即两圆只有一个公共点，
当两圆相外切时，，解得，
当两圆相内切时，，解得，
故选：D
10．已知圆C：，P为直线l：上的动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点为A，B，当四边形APBC的面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据圆的几何性质判断出直线时，四边形APBC的面积最小，利用圆与圆相交弦所在直线方程的求法求得正确答案.
【详解】圆的方程可化为，
点C到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离.
依圆的知识可知，四点A，P，B，C四点共圆，且，
所以四边形APBC的面积，而，
当直线时，，，此时四边形APBC的面积最小.
所以CP：即，由，解得，即.
所以以CP为直径的圆的方程为，即，
两圆的方程相减可得：，即为直线AB的方程.
故选：C

11．圆与圆的公共弦长的最大值是（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】将两圆转化成标准方程，根据标准方程得出两圆圆心均在直线上，再利用几何关系即可求出结果.
【详解】由，得，圆心，半径；
由，得，圆心，半径，
所以两圆圆心均在直线上，半径分别为1和，

如图，当两圆相交且相交弦经过小圆圆心，也即大圆圆心在小圆上时，两圆公共弦长最大，最大值为小圆的直径，即最大值为2.
故选：D.
12．已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据切线的特征可知所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程，
【详解】根据题意得所在的直线为圆和以的中点为圆心,以为直径的圆的公共弦所在的直线方程，
因为，所以圆，
两圆相减得所在的直线方程为.
故选：A.
二、多选题
13．已知圆：，下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内部
B．圆与圆相离
C．过的直线与圆相交，弦长为，则直线方程为或
D．若，，直线恒过圆的圆心，则恒成立
【答案】CD
【分析】利用点到圆心的距离与半径的关系可判断A选项；利用两圆的圆心距与半径的关系可判断B；利用点到直线的距离为1可判断C；直线恒过圆的圆心，可得，利用基本不等式求解可判断D.
【详解】对A，由方程可得圆心，半径为2，所以点到圆心的距离为，则点在圆外，故A错误；
对B，两圆的圆心距为，因为，所以两圆相交，故B错误；
对C，因为过点的直线与圆相交，弦长为，可得圆心到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时，即符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线为，由圆心到直线的距离为1，可得，解得，
即直线为，所以直线的方程为或，故C正确；
对D，由于直线恒过圆心，可得即，又，，所以，当且仅当即时等号成立，故D正确.
故选：CD.
14．已知圆，圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若点在圆的内部，则
B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是
C．若圆外切，则
D．过点作圆的切线，则的方程是或
【答案】BCD
【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.
【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误；
对于B，若，则圆，
将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确；
对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
若圆外切，则，即，解得，故C正确；
对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求，
当的斜率存在时，设的方程为，
圆心到的距离，解得，
所以的方程是，故D正确.
故选：BCD.
15．（多选题）点在圆：上，点在圆：上，则（ ）
A．实数的取值范围为
B．当时，的最小值为，最大值为
C．当圆和圆外切时，
D．当圆的圆心在圆上时，圆和圆的相交弦的长度为
【答案】ABD
【分析】将圆的方程化为标准方程即可判断A；分别求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，再根据最小值为圆心距减去半径之和，最大值为圆心距加上半径之和，即可判断B；根据两元外切可得圆心距等于半径之和即可判断C；先求出公共弦所在直线的方程，再根据圆的弦长公式即可判断D.
【详解】圆的圆心，半径，
圆：，即，
则圆的圆心，半径，
对于A，由题意，，解得，
所以实数的取值范围为，故A正确；
当时，圆的半径，
因为，
所以两圆外离，
所以的最小值为，最大值为，故B正确；
对于C，当圆和圆外切时，，
即，解得，故C错误；
对于D，当圆的圆心在圆上时，
则，解得，
所以圆：，
两圆的方程相减得，
即两圆的公共弦所在直线的方程为，
圆心到直线的距离，
所以公共弦长为，故D正确.
故选：ABD.
16．已知圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆与轴相切，则
B．若，则圆与圆相离
C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线与圆始终有两个交点
【答案】BD
【分析】求出两圆的圆心和半径，再逐项分析判断作答.
【详解】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，
对于A，圆与轴相切，则，解得，A错误；
对于B，当时，，圆与圆相离，B正确；
对于C，当圆与圆有公共弦时，公共弦所在的直线方程为，C错误；
对于D，直线，即恒过点，而点在圆内，
因此直线与圆相交，始终有两个交点，D正确.
故选：BD
三、填空题
17．如图，圆和圆的圆心分别为，，半径都为，写出一条与圆和圆都相切的直线的方程： .
【答案】（或或，答案不唯一，写出一个即可）.
【分析】由圆与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求解即可.
【详解】由已知，圆和圆的半径，
圆心距为，
∴圆和圆相外切.
如图易知与圆和圆都相切的直线斜率存在，设其方程为，即，
则到直线的距离，①
到直线的距离，②
由①、②得，即或即，
∴解得或或，
∴与圆和圆都相切的直线的方程为或或.
故答案为：（或或，答案不唯一，写出一个即可）.
18．已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 ．
【答案】5
【分析】假设点，然后得到以OP为直径的圆的方程，与已知圆的方程作差可得直线AB的方程，然后可知直线AB过定点，最后简单判断和计算可得结果.
【详解】设，则，OP的中点为，，
以OP为直径的圆的方程是，
与圆O的方程相减，得直线AB的方程为，即，
因为，所以，代入直线AB的方程，得，
即，当且，即，时该方程恒成立，
所以直线AB过定点，
点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，
所以点到直线AB距离的最大值为5.
故答案为：5.
19．已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则 .
【答案】
【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，可判断结果.
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，
将两圆方程作差可得，
因为圆平分圆的周长，则这两圆相交，且相交弦所在直线的方程为，
由题意可知，直线过圆心，
所以，，解得.
故答案为：.
20．若圆：与圆：相交于、两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长是 ．
【答案】
【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解.
【详解】如图，

由两圆在点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，
由相交圆公共弦的性质可知，
由切线性质可知，在中，，
所以，
又斜边上的高为，
由等面积法可知，，
即，解得.
故答案为：
21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，若圆上存在动点满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设，根据点到点的位置关系化简可得，再根据圆与圆的位置关系求解即可.
【详解】设，因为动点满足，所以，化简得．
又动点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以，解得．
故答案为：
22．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意结合两圆的相交弦的性质运算求解.
【详解】因为圆的圆心为，半径为2，
设为点P，可知，
以点P为圆心，3为半径作圆P，即，
两圆方程作差整理得，
所以直线（两圆公共弦所在直线）的方程为.
故答案为：.

四、解答题
23．已知圆方程：，圆相交点A、B．
(1)求经过点A、B的直线方程.
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）判断两圆相交，再将两圆方程相减即可作答.
（2）由（1）的结论，求出点到直线的距离，进而求出弦长，求出三角形面积作答.
【详解】（1）圆：的圆心，半径，圆的圆心，半径，
显然，且有，则圆与圆相交，

由消去二次项得，
所以直线的方程为.
（2）由（1）知，点到直线：的距离，
于是，
所以的面积.
24．已知圆E经过点，，圆E恒被直线平分；
(1)求圆E的方程；
(2)过点的直线l与圆E相交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)，.
【分析】（1）根据已知条件确定圆心、半径，写出圆的方程即可；
（2）由题意知，易知点M落在以EP为直径且在圆E内部的一段圆弧，再写出轨迹方程，注意范围.
【详解】（1）由直线方程知：，故直线恒过点，
因为圆E恒被直线平分，所以圆E的圆心为，
因为在圆上，故圆的半径，
综上，圆E的方程为：；
（2）
因为M为AB中点，E为圆心，根据垂径定理得：，
所以点M落在以EP为直径的圆上，且点M在圆E的内部，
即点M的轨迹为以EP为直径的圆落在圆E内的一段弧．
因为、，以EP为直径的圆的方程为，
由，
所以M的轨迹方程为：，.
25．在平面直角坐标系中，已知四点，，，.
(1)求过，，三点的圆方程，并判断点与圆的位置关系；
(2)求圆与圆的公共弦长.
【答案】(1)，在圆上
(2).
【分析】（1）设出圆的一般式方程，把点的坐标代入列方程组求解即可，把点的坐标代入检验点与圆的位置关系；
（2）两圆相减得公共弦所在直线方程，然后结合点到直线距离公式利用垂径定理求弦长.
【详解】（1）设圆方程为，
把，，三点坐标代入可得：，
解得，，，所以圆方程是；
把点坐标代入可得：，故在圆上.
（2）两圆方程相减得两圆公共弦所在的直线方程为：，
又圆的圆心，半径为2，则圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
26．在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或．
【分析】（1）由题意求出圆，圆的圆心和半径，由两圆外切，可得，即可求出答案.
（2）由，可求出圆心O1到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.
【详解】（1）圆：，
则圆的标准方程为，
即圆的圆心坐标为，半径为，
因为圆与x轴相切，与圆O1外切，则圆心，，
则圆的半径为，
则，解得，
即圆的标准方程为；
（2）由（1）知O2（﹣6，1），则，
所以直线l的斜率为，
设直线l的方程为，
因为，则圆心O1到直线l的距离，
所以，解得或，
所以直线l的方程为或．
27．已知圆，M是y轴上的动点，MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
(1)如果点M的坐标为，求直线MA、MB的方程；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）利用直线MA、MB到圆心距离为半径可求出相应直线方程；
（2）设M，利用两圆方程相减可得直线方程，后利用其分别得到，AB边上高关于的表达式，即可得答案.
【详解】（1）由题意可知显然切线斜率存在，故设过点的圆C的切线方程为，则圆心C到切线距离等于半径1，即或.
则直线MA方程为，MB的方程为.或直线MA方程为，MB的方程为.
（2）设M，因MA、MB分别与圆C相切于A、B两点，
则，则以M为圆心，为半径的圆的方程为：，将其与圆C方程相减得直线AB方程：.则中，AB边上的高，即C到直线AB距离为：，
则由垂径定理，，
则，注意到函数在上单调递增，，则，当且仅当时取等号.
则面积的最大值为.
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．已知过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线必过定点（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过过点作圆的两条切线，，切点分别为，，能得到是以为直径的圆和圆的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，从而求得直线恒过定点坐标.
【详解】圆的方程可化为，所以圆心.
则以为直径的圆的圆心为，设以为直径的圆的半径为，
则.
所以以为直径的圆的方程为.
过点作圆的切点分别为，,
两圆的交点为,,即两圆的公共弦为.
将两圆的方程相减可得直线的方程为，
即.令得.
所以直线必过定点.
故选：A.
【点睛】本题解题的关键是把圆的切线问题转化为求两圆的公共弦问题，然后就能得到直线的方程，再利用含参直线过定点的解题策略求定点坐标即可.
2．在平面直角坐标系中，已知点.若圆上存在唯一点，使得直线在轴上的截距之积为5，则实数的值为（ ）
A．B．C．和D．和
【答案】C
【分析】设出点的坐标，根据直线在轴上的截距之积列方程，根据唯一性求得的值.
【详解】圆的圆心在直线上，半径为，所以在圆外，
设，其中且，
直线的方程为，纵截距为，
直线的方程为，纵截距为，
依题意有，整理得，
所以在圆上，圆心为，半径为.
则圆与圆有且只有一个公共点，
则两圆外切或内切，或圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为，
当两圆外切或内切时：
圆的圆心为，半径为，
则或，
前者无解，后者解得.
当圆与圆相交，且其中一个交点的横坐标为时，
，将代入，
得.

综上所述，的值为或.
故选：C
【点睛】关键点睛：求直线方程时，可以根据已知条件，利用合适的求法来求，如本题中，已知两点，则可以考虑两点式，也可以考虑点斜式来求解.圆有关的问题，可考虑方程的思想，如本题中“截距之积”，这就是一个方程，也即是一个等量关系式，是解题的突破口.
3．已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.
【详解】因为圆：可化为，
所以圆心，半径为，

因为，是圆的两条切线，则，
由圆的知识可知，四点共圆，且，，
所以，又，
所以当最小，即时，取得最小值，此时的方程为，
联立，解得，即，
故以为直径的圆的方程为，即，，
又圆，
两圆的方程相减即为直线的方程：.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将转化为，从而确定最小时的坐标，从而利用两圆相减可得相交弦方程的技巧得解.
4．已知是圆上两点，且．若存在，使得直线与的交点恰为的中点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线与圆相交弦长可得的中点的轨迹方程为圆，又根据直线的方程可确定，交点的轨迹，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系即可得实数的取值范围.
【详解】解：圆，半径，
因为恰为的中点，直线与圆相交弦长，所以，
的轨迹方程是．
又直线过定点，直线过定点，且，
则点是两垂线的交点，所以在以为直径的圆上，则圆心，半径为
的轨迹方程是由于的斜率存在，所以点的轨迹要除去点，
由已知得圆与圆有公共点，
，即，又，所以，解得.
∴实数的取值范围为.
故选：B.
5．已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是的内心，且，则a的值为（ ）
A．9B．11C．17或19D．19
【答案】C
【分析】由两圆方程得圆内含于圆，由P是的内心，且得，动圆M内切于圆，分别讨论圆内切、外切于动圆M，由圆心距得，即可求解
【详解】根据题意：圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，
又因为，所以圆心距，所以圆内含于圆，
因为P为的内心，设内切圆的半径为，又由，则有，得，
因为动圆M与圆，圆均相切，设圆M的半径为r，
（1）当动圆M内切于圆，与圆外切（），
则有，，所以，所以，得a＝17；
（2）当动圆M内切于圆，圆内切于动圆M，
则有，，所以，所以，得a＝19.
综上可得：a＝17或19；
故选：C．
二、多选题
6．已知圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．若点，则直线的方程为B．四边形面积的最小值为
C．线段的最小值为D．点始终在以线段为直径的圆上
【答案】ABC
【分析】求出以为直径的圆的方程，和相减，即可得直线的方程，判断A；求出边形面积的表达式，结合几何意义即可求得最小值，判断B；求出直线AB经过的定点，结合几何意义可求得线段的最小值，判断C；根据点和圆的位置关系的判断可判断D.
【详解】对于A，点，连接，则，

故在以为直径的圆上，而,
则以为直径的圆的方程为，
将方程和相减得，
即直线的方程为，A正确；
对于B，由题意知，则的面积为，
而的最小值即为原点O到直线的距离，
故的面积的最小值为，B正确；
对于C，设，则以为直径的圆的方程为，
和相减，即得直线的方程为，
又，故，即，
令，则，
即直线过定点，设为E，则，

当时，最小，最小值为，C正确；
对于D，在四边形中，不一定是直角，
故点不一定在以线段为直径的圆上，D错误，
故选：ABC
【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB所过的定点，然后利用几何意义即可求解答案.
7．已知的顶点在圆上，顶点在圆上.若，则（ ）
A．的面积的最大值为
B．直线被圆截得的弦长的最小值为
C．有且仅有一个点，使得为等边三角形
D．有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线
【答案】ACD
【分析】设点到直线的距离为，由求得的最大值判断A，利用直线和圆的位置关系判断B，利用为等边三角形，则需，判断C，利用射影定理可得进而判断D.
【详解】设线段的中点为，因为圆的半径为2，，
所以，且，

对于A选项，设点到直线的距离为，则，
所以当且仅当四点共线时，点到直线距离的最大值为15，所以的面积的最大值为，故A正确；
对于B选项，点到直线的距离小于等于，当时，等号成立，又的最大值为7，
所以点到直线的距离的最大值为7，这时直线被圆截得的弦长的最小值为，故B错误；
对于C选项，若为等边三角形，则需，，因为，
所以点的轨迹是以为圆心的单位圆，所以，又的最小值为4，所以，
当且仅当四点共线时成立，因此有且仅有一个点，使得为等边三角形，故C正确；
对于D选项，若直线，都是圆的切线，则，由射影定理，可得，
同上，当且仅当三点共线时，，因此有且仅有一个点，使得直线，都是圆的切线，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
8．已知P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点分别为A，B，则当四边形面积最小时，直线的方程为 ．
【答案】
【分析】求得四边形面积最小时点的坐标，再根据圆与圆的位置关系求得直线的方程.
【详解】圆，即，
所以圆心为，半径，
，
所以当最小，也即垂直时，四边形面积最小，
直线的斜率为，则此时直线的斜率为，
则直线的方程为，由，解得，
即，对应，，
以为圆心，半径为的圆的方程为：，
即，
由，
两式相减并化简得，
也即直线的方程为.
故答案为：

【点睛】研究直线和圆的位置关系问题，主要思路是数形结合的数学思想方法，直线和圆有关的相切问题，连接圆心和切点的直线，与切线相互垂直.与四边形面积的最值有关问题，可先求得面积的表达式，再根据表达式来求最值.
9．已知点P为圆：上一动点，直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点，则的周长能取得的整数值为 ．（写出1个即可）
【答案】7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一个均可）
【分析】连接，由题意可知圆与y轴切于点，则可得，所以将的周长的周长转化为，所以只要求出的范围，就可得到的周长的范围，从而可得答案.
【详解】连接，
圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，则圆与y轴切于点，
因为直线PA，PB分别与圆：相切于A，B两点，且直线PA，PB分别与y轴交于C，D两点，
所以，
所以的周长为
，
由图可知，所以，即，
所以，所以，所以，
所以，
所以的周长的范围为，
所以的周长能取得的整数值为7，或8，或9，或，10，或11，
故答案为：7（答案不唯一，7，8，9，10，11中任意一个均可）

【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查圆的切线长定理的应用，解题的关键是结合图形根据切线长定理将的周长转化为，然后根据圆的性质可得答案，考查数形结合的思想，属于较难题.
10．若对于圆上任意的点，直线上总存在不同两点，，使得，则的最小值为 .
【答案】10
【分析】将问题转化为直线上任意两点为直径的圆包含圆，结合直线上与圆最近的点，与圆上点距离的范围，即可确定的最小值.
【详解】由题设圆，故圆心，半径为，
所以到的距离，故直线与圆相离，
故圆上点到直线的距离范围为，
圆上任意的点，直线上总存在不同两点、，使，
即以为直径的圆包含圆，至少要保证直线上与圆最近的点，与圆上点距离最大值为半径的圆包含圆，
所以.
故答案为：10
11．已知平面上两定点A、B，且，动点P满足，若点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，则负数的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用解析方法，以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，得到动点P点的轨迹方程，分和两种情况讨论，当时，利用两圆的位置关系得到关于的不等式，进而求解得到的取值范围.
【详解】以所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则
．
设，且动点P满足，
即，
则，
当时，满足题意；
当时，点P在以原点为圆心，为半径的圆上，同时点P总不在以点B为圆心，为半径的圆内，
即圆与圆相离或外切内切或内含，
所以或，
解得或（舍去），
所以负数的最大值为．故答案为：.
四、解答题
12．如图，已知圆，点.

(1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程；
(2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）通过求圆的圆心和半径来求得圆的方程.
（2）首先判断出，求得到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）由，
化为标准方程：.
所以圆的圆心坐标为，
又圆的圆心在直线上，
所以当两圆外切时，切点为，设圆的圆心坐标为，
则有，
解得，
所以圆的圆心坐标为，半径，
故圆的方程为.

（2）因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以.
所以点到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，点C到轴的距离为，直线即为轴，
所以此时直线的方程为.

当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，
即.
所以，解得.
所以此时直线的方程为，
即，故所求直线的方程为或.

【点睛】求圆的方程，有很多方法，一是求得圆心和半径，从而求得圆的标准方程；一是根据圆所过的三个点，设出圆的一般方程，然后列方程组来求解；一是利用相关点代入法进行求解.求解直线和圆的位置关系有关题目时，要注意直线的斜率是否存在.
13．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点．
(1)当在直线上时，求的值；
(2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)直线过定点
【分析】（1）求出点的坐标，分析可知过点且与圆相切的直线的斜率存在，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线的斜率，求出两条切线的方程，可求得点、的坐标，再利用平面内两点间的距离公式可求得的值；
（2）设点，写出以点为圆心，为半径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差，可得出直线的方程，化简直线的方程，可得出直线所过定点的坐标.
【详解】（1）解：联立可得，即点，
若过点的直线垂直于轴，则该直线的方程为，显然直线与圆不相切，
设过点且与圆相切的直线的方程为，即，
则圆心到切线的距离为，整理可得，解得，，
由图可知，直线的方程为，则直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
在直线的方程中，令，可得，即点，
，，
因此，.
（2）解：分析知、在以为圆心，为半径的圆上，设，
，，，
所以，以点为圆心，半径为的圆的方程为，
将圆和圆的方程作差，消去、可得，
即，故直线的方程为.
由可得，因此，直线过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.