2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省绥化市绥化一中高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=2−i，则zz−z=( )
A. −12+iB. 12−iC. 12+iD. −12−i
2.某学校有小学生270人，初中生x人，高中生810人．为了调查学校学生的近视率，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为360的样本，且从初中生中抽取的人数为120人，则x为( )
A. 270B. 360C. 450D. 540
3.已知cs 2α+5sin α=3，则sin α=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
4.已知三条不重合的直线a，b，c和平面α，下列命题中是真命题的为( )
A. 若直线a，b和平面α所成的角相等，则a // b
B. 若a⊥c，b⊥c，则a // b
C. 若a⊥α，a⊥b，则b // α
D. 若a⊥α，b⊥α，则a // b
5.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7
则下列结论正确的是( )
A. 甲成绩的平均数较小B. 乙成绩的中位数较小
C. 乙成绩的极差较大D. 乙比甲的成绩稳定
6.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=30°，a=8，b=8 3，则△ABC的面积为( )
A. 32 3B. 16 3C. 32 3或16 3D. 12 3
7.在三棱锥D−ABC中，AD=2，BC=2 3，E，F分别是AB，CD的中点，EF= 6，则直线AD与BC所成的角的余弦值为( )
A. 33B. − 33C. 36D. − 36
8.已知△ABC的外接圆圆心为O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AC|=1，点D是线段BC上一动点，则DA⋅DB的最小值是( )
A. −14B. −116C. −916D. −38
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z满足iz=1−i，下列说法正确的是( )
A. z的虚部为−iB. z=−1+iC. |z|= 2D. z⋅z=z2
10.关于函数f(x)=2sin2x−π3+1，下列结论正确的是( )
A. π6,0是f(x)的一个对称中心
B. 函数f(x)在0,π6上单调递增
C. 函数f(x)图像可由函数g(x)=2cs 2x+1的图像向右平移5π12个单位得到
D. 若方程2f(x)−m=0在区间π12,π2上有两个不相等的实根，则m∈[2 3+2,6]
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中．F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论正确的是( )
A. 不存在点E，使EF //平面ABCD
B. 三棱锥B1−ACE的体积不随动点E变化而变化
C. 直线EF与AD1所成的角可能等于30°
D. 不存在点E，使EF⊥平面AB1C1D
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知p：向量a=(−1,1)与b=(m,2)的夹角为锐角．则实数m的取值范围为________．
13.在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)调查中，抽取了男生20人，其平均数和方差分别为174和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为164和30，根据这些数据计算出总样本的平均数为 ，方差为 ．
14.已知三棱锥P−ABC四个顶点在球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为 2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则此球的半径是________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(12分)已知平面向量a=2sinx, 3csπ2−x，b=sinπ2+x,2sinx，且函数f(x)=a⋅b− 3．
(1)求fπ3的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)求函数y=f(x)在0,π2上的最大值，并求出取得最大值时x的值．
16.(12分)某电力公司需要了解用户的用电情况(单位：度).现随机抽取了该片区100户进行调查，将数据分成6组：(0,100]，(100,200]，(200,300]，(300,400]，(400,500]，(500,600]，并整理得到如下频率分布直方图(用户的用电量均不超过600度)．
(1)求a；
(2)若每一组住户的用电量取该组区间中点值代替，估算该片区住户平均用电量；
(3)每户用电量不超过m度的电费是0.5元/度，超出m度的部分按1元/度收取，若该公司为了保证至少80%的住户电费都不超过0.5元/度，则m至少应为多少(m为整数)？
17.(12分)在三棱锥P−ABC中，PA=PC=BA=BC，AC=PB．
(1)求证：AC⊥PB；
(2)若PA=3，PB=2，求点P到平面ABC的距离．
18.(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin2A=asinB.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c= 2a，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
19.(12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，且∠DAB=60°，AC交BD于点O，PB=PD=3，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点．
(1)求证：MN//平面PCD；
(2)记二面角B−PC−D的平面角为θ，若csθ=−17．
①求PA与底面ABCD所成角的大小；
②求点N到平面CDP的距离．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：因为z=2−i，解：对于A，若直线a,b和平面α所成的角相等，则直线a,b可以相交或异面或平行，即 A错误；
对于B，若a⊥c,b⊥c，则直线a,b可以相交或异面或平行，即 B错误；
对于C，若a⊥α,a⊥b，则可能是b⊂α，即 C错误；
对于D，若a⊥α,b⊥α，由线面垂直性质可得a/​/b，即 D正确．
故选：D
5.【答案】D
【解析】将甲乙两位射击运动员的射击环数从小到大进行排列可得：甲：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，乙：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
对于选项A:甲的射击环数的平均数x1=4+4+5+7+7+7+8+9+9+1010=7，
乙的射击环数的平均数x2=5+6+6+7+7+7+7+8+8+910=7，所以甲乙成绩的平均数相等，故选项A错误;
对于选项B:易得甲的射击环数的中位数为7+72=7，乙的射击环数的中位数为7+72=7，所以甲乙成绩的中位数相等，故选项B错误;
对于选项C:易得甲的射击环数的极差为10−4=6，乙的射击环数的极差为9−5=4，所以甲成绩的极差较大，故选项C错误;
对于选项D:因为甲的射击环数的平均数x1=7，
所以甲的射击环数的方差为
S12=110[(4−7)2+(4−7)2+(5−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(9−7)2+(9−7)2+(10−7)2]=3.6
因为乙的射击环数的平均数x2=7，
所以乙的射击环数的方差为
S22=110[(5−7)2+(6−7)2+(6−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(7−7)2+(8−7)2+(8−7)2+(9−7)2]=1.2
所以S22